局所的な表面力を受けるWinkler基礎上の周面単純支持短形板の静的

大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
局所的な表⾯⼒を受けるWinkler基礎上の周⾯単純⽀持矩形板
の静的曲げ変形問題における三次元弾性論と板理論との⽐較
―
局所的な表⾯⼒の載荷幅が板の辺⻑の⼀割の場合
―
志賀有人1・名木野晴暢2・足立忠晴3・水澤富作4・三上隆5
1ショーボンド建設株式会社，2都市・環境工学科，3豊橋技術科学大学，4大同大学，5北海道大学
著者らはWinkler基礎上の矩形板の静的曲げ変形問題における古典理論とMindlin理論の適用範囲を明
らかにすることを目的とし，周面単純支持された正方形板を対象として三次元弾性論に基づく解を正解
とした理論比較を行ってきた．これまでに板部材に作用する面外荷重が，(1) 物体力として自重のみが作
用する場合，(2) 表面力として全面等分布荷重のみが板上面に作用する場合，(3) 局所的な表面力として
荷重載荷幅が板の辺長の半分である部分等分布荷重のみが板の上面に作用する場合，について検討を行
い，両理論の適用範囲を提案してきた．本稿では集中荷重に近い荷重状態として局所的な表面力の載荷
幅を板の辺長の一割に設定し，これまでと同様の検討を行った．
キーワード : 矩形板，Winkler基礎，局所的な表面力，古典理論，Mindlin理論
1. まえがき
ここで，a は板の長さ，b は幅，h は厚さであり，k1 は地
盤反力係数である．文献 4)，文献 5) および文献 6) では，
著者らは面外荷重を受ける Winkler 基礎上の矩形板の静
的曲げ変形問題における古典理論 1) と Mindlin 理論 2) の適
用範囲を明らかにすることを目的とし，板の周面が単純支
持された正方形板を対象として三次元弾性論
3)
に基づく
解を正解とした理論比較を行ってきた 4) – 6)．
板の厚さを表す無次元量を板厚比 h / a と定義し，また，
地盤反力係数を表す無次元量として，
Q=
k1a
,
(1)
E
を用いている．ただし，E は矩形板の縦弾性係数である．
文献 4)，文献 5) および文献 6) で取り扱っている解析
このように無次元量を定義した時，志賀ら 4) は面外方向の
モデルを図-1 に示す．ただし，板部材に作用する面外荷重
物体力を受ける Winkler 基礎上の周面単純支持正方形板の
は省略している．
静的曲げ変形問題における古典理論と Mindlin 理論の適用
範囲を次のように提案している．
[1]
y
z
物体力を受ける Winkler 基礎上にある h / a ≤ 0.01 なる
薄板部材の静的曲げ変形問題における古典理論と
Mindlin 理論の適用範囲は ≤ 10–4の範囲である．
[2]
b
物体力を受ける Winkler 基礎上にある板部材 (0.01 <
h / a ≤ 0.5) の静的曲げ変形問題における Mindlin 理
論の適用範囲は ≤ 10–2の範囲である．
k1
また，名木野ら 5) は表面力として全面等分布荷重を受ける
h
x
o
Winkler 基礎上の周面単純支持正方形板の静的曲げ変形問
題における古典理論と Mindlin 理論の適用範囲を次のよう
に提案している．
[3]
全面等分布荷重を受ける Winkler 基礎上にある h / a ≤
0.01 なる薄板部材の静的曲げ変形問題における古典
a
理論と Mindlin 理論の適用範囲は，[1] と同様に ≤
図-1 Winkler 基礎上の周面単純支持矩形板 4) – 6)
10–4の範囲である．
― 45 ―
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
[4]
全面等分布荷重を受ける Winkler 基礎上にある正方
y, v
z, w
形の板部材の曲げ問題における Mindlin 理論の適用
範囲は，0.01 < h / a ≤ 0.3 かつ ≤ 10–2の範囲である．
更に，志賀ら
6)
は表面力として部分等分布荷重を受ける
q
Winkler 基礎上の周面単純支持正方形板の静的曲げ変形問
題における古典理論と Mindlin 理論の適用範囲を次のよう
2d
に提案している．
[5]
b
k1
2c
荷重載荷幅 2c × 2d = 0.5a × 0.5b である部分等分布荷
x, u
h o
重を受ける Winkler 基礎上にある h / a ≤ 0.01 なる薄板
部材の静的曲げ変形問題における古典理論と
Mindlin 理論の適用範囲は，[1], [3] と同様に無次元地
盤反力係数 ≤ 10–4の範囲である．
[6]
a
荷重載荷幅 2c × 2d = 0.5a × 0.5b である部分等分布荷
重を受ける Winkler 基礎上にある正方形の板部材の
図-2 部分等分布荷重を受ける Winkler 基礎上の矩形板と
曲げ問題における Mindlin 理論の適用範囲は，[4] と
直交座標系
同様に板厚比 0.01 < h / a ≤ 0.3かつ  ≤ 10–2の範囲
である．
y
これらの結果から，Winkler 基礎上にある周面単純支持矩
形板に作用する面外荷重が物体力の場合は板厚比 h / a =
0.5 なるかなり厚肉な板部材まで Mindlin 理論で解析する
c
c
ことができるのに対して，板部材に作用する面外荷重が板
上面に作用する表面力の場合は板厚比 h / a ≤ 0.3 なる厚肉
d
な板部材まで Mindlin 理論によって解析することができる
b
ことがわかる．このように，面外荷重の状態は Mindlin 理
x0
d
論の適用範囲に影響する要因の一つであると考えられる．
y0
よって，集中荷重のように表面力の局所性が大きくなる面
x
o
外荷重モデルを対象として，本問題の古典理論と Mindlin
a
理論の適用範囲を検討することには十分な意義がある．
図-3 板上面に作用する局所荷重
本稿では，集中荷重に近い荷重状態として部分等分布荷
重の載荷幅を板の辺長の一割に設定し，文献 4)，文献 5) お
よび文献 6) と同様の検討を行った．
3. 理論解析および考察
2. 解析モデル
ここでは，三次元弾性論に基づく解を正解とし，矩形板
図-2 には，部分等分布荷重を受けるWinkler基礎上にあ
に蓄積されるひずみエネルギーと弾性基礎に蓄えられる
る矩形板，直交座標系および変位方向の定義が示してある．
弾性エネルギーおよび矩形板の変位や応力の面内方向ま
ここで，等質・等方な矩形板は微小変形かつ線形弾性であ
たは板厚方向分布を評価指標とした理論比較を行い，疑似
り，その周面は単純支持されているとする．また，Winkler
的な集中荷重として載荷幅の小さい部分等分布荷重を受
7)
基礎は板下面で滑らかに完全密着しているものとする．
けるWinkler基礎上の周面単純支持矩形板の静的曲げ変形
なお，図-3 に示すような点 (x0, y0) を中心とする載荷幅2c
問題における古典理論とMindlin理論の適用範囲を明らか
× 2d かつ荷重強度がq0である部分等分布荷重q (x, y) は板
にする．
上面に作用する表面力とし，物体力 (自重) の影響は無視
本稿では，文献4)，文献5) および文献6) と同様に板厚
する．さらに，a は板の長さ，b は幅，h は厚さ，k1は地
と辺長を表す無次元量を，それぞれ，板厚比h / a，辺長比
盤反力係数，u (x, y, z), v (x, y, z), w (x, y, z) は，それぞれ，
b / a と定義し，(0.01 ≤ h / a < 0.1) の範囲を薄板，(0.1 ≤ h /
x, y, z 方向の変位成分である．なお，三次元弾性論 3) ，
a < 0.3) の範囲を中等厚板，(0.3 ≤ h / a < 0.5) の範囲を厚
Mindlin理論 2) および古典理論 1) に基づく支配方程式と境
板，(h / a ≥ 0.5) の範囲を極厚板と呼ぶことにする．なお，
界条件については，文献6) を参照されたい．
地盤反力係数を表す無次元量には，文献4)，文献5) および
文献6) で用いられている式(1)の無次元地盤反力係数を
― 46 ―
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
8
8
3-D ( = 0)
6
U* × 103
U*
6
4
CPT
MPT
3-D
2
3-D ()
4
2
CPT
MPT
3-D
0
0
10-1010-910-810-710-610-510-410-310-210-1 100 101 102

10-710-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105

(a)
h / a = 0.01
(b)
h / a = 0.1
8
8
3-D ()
3-D ()
6
U* × 104
U* × 104
6
4
CPT
MPT
3-D
2
4
CPT
MPT
3-D
2
0
0
10-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105 106

10-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105 106

(c)
h / a = 0.3
(d)
h / a = 0.5
図-4 Winkler 基礎上の矩形板の全ひずみエネルギーU *の理論比較
20
CPT (h / a = 0.01)
MPT (h / a = 0.01)
0
-5
-10
10
Error (%)
Error (%)
5
CPT (h / a = 0.05)
MPT (h / a = 0.05)
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

(a)
0.01 ≤ h / a < 0.1
80
MPT (h / a = 0.1)
MPT (h / a = 0.2)
MPT (h / a = 0.3)
MPT (h / a = 0.4)
MPT (h / a = 0.5)
40
Error (%)
10
0
-10
0
-40
-20
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

(b)
-80
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
0.1 ≤ h / a < 0.3

(c)
0.3 ≤ h / a ≤ 0.5
図-5 Winkler 基礎上の矩形板の全ひずみエネルギーU *の相対誤差と地盤反力係数および板厚の関係
用いる．ここで，鋼材とコンクリートからなる板部材を想
Error (%) =
定すると，無次元地盤反力係数 は次の範囲の値を取る8)．
10-4 £ Q £ 10-2
(2)
ゆえに，実際の構造設計を念頭に置いた場合，無次元地盤
反力係数 ≤ 10 –2 の範囲が工学的に意味を持つ．よって，
(MPT) - (3-D)
´ 100 .
3-D
(3)
なお，文献4)，文献5) および文献6) と同様に，許容誤差
は±10 %とした．
理論解析では，特に断りがない限り，正方形の板部材b /
a = 1，ポアソン比 = 0.2，Mindlin理論のせん断修正係数
本稿では，主にこの範囲を対象として議論するものとする．
= 5 / 6を用いる．また，板上面に作用する部分等分布荷重
三次元弾性論 (3-D) に基づく解に対する古典理論
は板の中央 (x0, y0) = (a / 2, b / 2) に作用するものとし，そ
(CPT) およびMindlin理論 (MPT) に基づく解の相対誤差
の載荷幅2c × 2d は板の辺長a, b の一割として2c × 2d =
は，次のように算出する．
Error (%) =
(CPT) - (3-D)
´ 100 ,
3-D
0.1a × 0.1b に設定した．なお，全ての数値計算はFortran
の四倍精度計算を実施し，変位成分，ひずみエネルギー成
― 47 ―
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
8
8
1.5
3-D ()
3-D ()
CPT
MPT
3-D
2
0.9
4
UW
4
2
0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(a)
0.6
0.3
MPT
3-D
0
-10
CPT
MPT
3-D
1.2
6
Us × 103
Ub
6
-9
-8
-7
0.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
10-1010-910-810-710-610-510-410-310-210-1 100 101 102

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Ub
(b)
Us
(c)
UW
図-6 Winkler 基礎上の薄板の各ひずみエネルギー成分の理論比較：h / a = 0.01
8
8
1.5
3-D ()
CPT
MPT
3-D
2
UW × 103
3-D ()
4
4
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-7
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(a)
0.9
0.6
0.3
MPT
3-D
0
-7
CPT
MPT
3-D
1.2
6
Us × 104
Ub × 103
6
-6
-5
-4
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
10-710-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(b)
Ub
Us
(c)
UW
図-7 Winkler 基礎上の中等厚板の各ひずみエネルギー成分の理論比較：h / a = 0.1
3.0
1.0
2.0
0.8
Us × 104
2.0
1.5
1.0
CPT
MPT
3-D
0.5
0.0
-6
-5
-4
-3
3-D ()
1.5
UW × 104
2.5
Ub × 104
2.5
3-D ()
1.0
0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(a)
0.6
0.4
0.2
MPT
3-D
0.0
-2
CPT
MPT
3-D
-5
-4
-3
0.0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
10-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105 106

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(b)
Ub
Us
(c)
UW
図-8 Winkler 基礎上の厚板の各ひずみエネルギー成分の理論比較：h / a = 0.3
2.5
1.0
3-D ()
2.0
0.4
CPT
MPT
3-D
0.2
0.0
-6
-5
-4
-3
2.5
1.5
UW × 105
0.6
Us × 104
Ub × 104
0.8
3.0
3-D ()
1.0
MPT
3-D
0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(a)
1.5
1.0
0.5
0.0
-2
CPT
MPT
3-D
2.0
0.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(b)
Ub
Us
10-610-510-410-310-210-1 100 101 102 103 104 105 106

(c)
UW
図-9 Winkler 基礎上の極厚板の各ひずみエネルギー成分の理論比較：h / a = 0.5
分と弾性エネルギー成分の値は有効数字四桁での収束値，
よび古典理論 (CPT) に基づいて求めた Winkler 基礎上に
応力成分の値は有効数字三桁での収束値で数値実験結果
ある矩形板の全ひずみエネルギーU*と無次元地盤反力係
を整理した．
数および板厚比 h / a の関係を示したものである．ここ
で，板厚比 h / a は 0.01 (薄板), 0.1 (中等厚板), 0.3 (厚板), 0.5
(1) ひずみエネルギーと弾性エネルギーを指標とした理
(極厚板) に設定し，無次元地盤反力係数の値は 10–10 か
ら 106 と広範囲で変化させた．また，青色の実線は，三次
論比較
図-4 は，三次元弾性論 (3-D)，Mindlin 理論 (MPT) お
元弾性論に基づく Winkler 基礎に接していない矩形板 (
― 48 ―
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
0
-5
-10
MPT (h / a = 0.1)
MPT (h / a = 0.2)
-40
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100


0.01 ≤ h / a < 0.1
(b)
0
-20
-10
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
(a)
0
-5
CPT (h / a = 0.05)
MPT (h / a = 0.05)
MPT (h / a = 0.3)
MPT (h / a = 0.4)
MPT (h / a = 0.5)
20
5
Error (%)
Error (%)
5
40
10
CPT (h / a = 0.01)
MPT (h / a = 0.01)
Error (%)
10

0.1 ≤ h / a < 0.3
(c)
0.3 ≤ h / a ≤ 0.5
図-10 矩形板の曲げ変形成分のひずみエネルギーUb の相対誤差と地盤反力係数および板厚の関係
Error (%)
5
Error (%)
40
10
0
MPT (h / a = 0.01)
MPT (h / a = 0.05)
-5
MPT (h / a = 0.1)
MPT (h / a = 0.2)
5
0
-5
-10
(a)
-40
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100


0.01 ≤ h / a < 0.1
0
-20
-10
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
MPT (h / a = 0.3)
MPT (h / a = 0.4)
MPT (h / a = 0.5)
20
Error (%)
10
(b)

0.1 ≤ h / a < 0.3
(c)
0.3 ≤ h / a ≤ 0.5
図-11 矩形板の面外せん断変形成分のひずみエネルギーUs の相対誤差と地盤反力係数および板厚の関係
0
-5
-8
10
-7
10
-6
10
(a)
-5
10
-4
10

0
-5
CPT (h / a = 0.05)
MPT (h / a = 0.05)
-10
40
5
Error (%)
Error (%)
5
80
10
CPT (h / a = 0.01)
MPT (h / a = 0.01)
Error (%)
10
MPT (h / a = 0.1)
MPT (h / a = 0.2)
10
-2
10
0.01 ≤ h / a < 0.1
-1
10
0
10
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

(b)
MPT (h / a = 0.3)
MPT (h / a = 0.4)
MPT (h / a = 0.5)
-40
-10
-3
0
0.1 ≤ h / a < 0.3
-80
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

(c)
0.3 ≤ h / a ≤ 0.5
図-12 Winkler基礎に蓄えられる弾性エネルギーUW の相対誤差と地盤反力係数および板厚の関係
= 0) の全ひずみエネルギーU*である．次いで，Winkler 基
および板厚比 h / a の関係を示した．
礎上にある矩形板の全ひずみエネルギーU*の Mindlin 理
これらの結果より，板部材に蓄積されるひずみエネルギ
論と古典理論との相対誤差と無次元地盤反力係数およ
ーと Winkler 基礎に蓄えられる弾性エネルギーの値を指標
び板厚比 h / a の関係を図-5 に示す．ここで，図中の赤色
とし，無次元地盤反力係数が  ≤ 10 –2 の範囲を対象と
の実線は許容誤差±10 % を意味する．参考までに，図-6，
すれば，古典理論は板厚比 h / a < 0.1 の範囲，Mindlin 理
図-7，図-8，図-9 には，それぞれ，板厚比 h / a が 0.01 (薄
論は板厚比 h / a ≤ 0.1 の範囲で適用できる可能性がある．
板), 0.1 (中等厚板), 0.3 (厚板) および 0.5 (極厚板) である
矩形板の曲げ変形成分のひずみエネルギーUb，矩形板の面
(2) 変位と応力の面内方向または板厚方向分布を指標と
外せん断変形成分のひずみエネルギーUs および Winkler
基礎に蓄えられる弾性エネルギーUW と無次元地盤反力
した理論比較
図-13 から図-16 は，それぞれ，無次元地盤反力係数 =
係数の関係を，図-10，図-11，図-12 には，それぞれ，
10–4, 10–2, 100であるWinkler基礎上の薄板 (h / a = 0.01) の
矩形板の曲げ変形成分のひずみエネルギーUb，矩形板の面
板中央点 (x, y) = (a / 2, b / 2) における面外変位w*と応力
外せん断変形成分のひずみエネルギーUs，Winkler 基礎に
蓄えられる弾性エネルギー UW の古典理論 (CPT) と
x*の板厚方向分布，部分等分布荷重が作用していない点
(x, y) = (a / 5, b / 5) の位置における面外せん断応力zx*の
Mindlin 理論 (MPT) の相対誤差と無次元地盤反力係数
板厚方向分布および部分等分布荷重が作用している境界
― 49 ―
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
0.50
0.50
CPT
MPT
3-D
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
0.00
-0.25
-0.50
-500
-400
-300
-200
-100
0.00
-0.25
-0.50
-40
0
CPT
MPT
3-D
0.25
z/h
0.25
z/h
z/h
0.25
0.50
-30
-20
*
-10
-0.50
-1.2
0
-1.0
-0.8
-0.6
*
w
-0.4
-0.2
0
w*
w
(a)  = 10– 4
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
図-13 Winkler基礎上の薄板の面外変位の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.01, (x, y) = (a / 2, b / 2)
0.50
0.50
CPT
MPT
3-D
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
0.00
-0.25
-0.50
-120
-80
-40
0
x*
40
80
0.00
-0.25
-0.50
-40
120
CPT
MPT
3-D
0.25
z/h
0.25
z/h
z/h
0.25
0.50
-20
0
x*
20
-0.50
-3
40
-2
-1
0
x*
1
2
3
0.50
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
-0.25
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-14 Winkler基礎上の薄板の応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.01, (x, y) = (a / 2, b / 2)
-0.25
-0.50
-0.012
-0.009
-0.006
zx*
-0.003
-0.25
-0.50
-0.0020
0
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.0015
-0.0010
zx*
-0.0005
-0.50
0
0
2
4
zx* × 10
6
8
0.50
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
-0.25
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-15 Winkler基礎上の薄板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.01, (x, y) = (a / 5, b / 5)
-0.25
-0.25
-0.50
-5
-4
-3
zx*
-2
-1
0
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.50
-4
-3
-2
zx*
-1
-0.50
-1.0
0
-0.8
-0.6
zx*
-0.4
-0.2
0
(a)  = 10– 4
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
図-16 Winkler基礎上の薄板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.01, (x, y) = (0.45a, 0.45b)
0
1
z / h = + 0.5
z/h=0
z / h =  0.5
-3
-1
-2
-4
-3
-5
-4
0
0.25
(a)
0.50
x/a
0.75
1
-0.2
w*
-2
0.0
0
w* × 101
w* × 102
-1
0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0
0.25
0.50
x/a
0.75
1
-1.2
0
0.25
0.50
x/a
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
 = 10– 4
図-17 Winkler基礎上の薄板の面外変位のx軸方向分布：h / a = 0.01, y = 0.5b
― 50 ―
0.75
1
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
0.50
0.50
CPT
MPT
3-D
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
0.00
-0.25
-0.50
-1.5
-1.2
-0.9
-0.6
-0.3
0.00
-0.25
-0.50
-1.5
0
CPT
MPT
3-D
0.25
z/h
0.25
z/h
z/h
0.25
0.50
-1.2
-0.9
*
-0.6
-0.3
-0.50
-0.20
0
-0.15
-0.10
*
w
-0.05
0
w*
w
(a)  = 10– 4
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
図-18 Winkler基礎上の中等厚板の面外変位の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.1, (x, y) = (a / 2, b / 2)
0.50
0.50
CPT
MPT
3-D
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
0.00
-0.25
-0.50
-2.4
-1.6
-0.8
0
x*
0.8
1.6
0.00
-0.25
-0.50
-2.4
2.4
CPT
MPT
3-D
0.25
z/h
0.25
z/h
z/h
0.25
0.50
-1.6
-0.8
0
x*
0.8
1.6
-0.50
-1.2
2.4
-0.8
-0.4
0
x*
0.4
0.8
1.2
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
0.50
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-19 Winkler基礎上の中等厚板の応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.1, (x, y) = (a / 2, b / 2)
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.04
-0.03
-0.02
zx*
-0.01
-0.50
-0.04
0
CPT
MPT
3-D
-0.03
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
-0.02
zx*
-0.01
-0.50
0
0
0.001
0.002
zx*
0.003
0.004
0.005
0.50
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
-0.25
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-20 Winkler基礎上の中等厚板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.1, (x, y) = (a / 5, b / 5)
-0.25
-0.50
-0.5
-0.4
-0.3
zx*
-0.2
-0.1
-0.25
-0.50
-0.5
0
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.4
-0.3
zx*
-0.2
-0.1
-0.50
-0.5
0
-0.4
-0.3
zx*
-0.2
-0.1
0
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-21 Winkler基礎上の中等厚板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.1, (x, y) = (0.45a, 0.45b)
0.0
0.0
z / h = + 0.5
z/h=0
z / h =  0.5
-0.6
-0.05
-0.10
w*
w*
-0.6
-0.3
w*
-0.3
0.00
z / h = + 0.5
z/h=0
z / h =  0.5
-0.9
-0.9
-0.15
-1.2
-1.2
-0.20
-1.5
0
0.25
(a)
0.50
x/a
0.75
1
-1.5
0
0.25
0.50
x/a
0.75
1
-0.25
0
0.25
0.50
x/a
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
 = 10– 4
図-22 Winkler基礎上の中等厚板の面外変位のx軸方向分布：h / a = 0.1, y = 0.5b
― 51 ―
0.75
1
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
0.00
CPT
MPT
3-D
-0.25
z/h
0.50
z/h
z/h
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
0.00
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.50
-0.18 -0.15 -0.12 -0.09 -0.06 -0.03
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.50
-0.18 -0.15 -0.12 -0.09 -0.06 -0.03
0
*
0.00
-0.50
-0.18 -0.15 -0.12 -0.09 -0.06 -0.03
0
*
w
0
w*
w
(a)  = 10– 4
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
図-23 Winkler基礎上の厚板の面外変位の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.3, (x, y) = (a / 2, b / 2)
0.50
0.50
CPT
MPT
3-D
CPT
MPT
3-D
0.00
-0.25
0.00
-0.25
-0.50
-1.0
-0.5
0
x*
0.5
0.00
-0.25
-0.50
-1.0
1.0
CPT
MPT
3-D
0.25
z/h
0.25
z/h
z/h
0.25
0.50
-0.5
0
x*
0.5
-0.50
-1.0
1.0
-0.5
0
x*
0.5
1.0
-0.006
zx*
-0.003
0
-0.2
zx*
-0.1
0.50
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
-0.25
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
CPT
MPT
3-D
0.00
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-24 Winkler基礎上の厚板の応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.3, (x, y) = (a / 2, b / 2)
-0.25
-0.50
-0.012
-0.009
-0.006
zx*
-0.003
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.50
-0.012
0
0.00
-0.009
-0.006
zx*
-0.003
-0.50
-0.012
0
-0.009
0.50
0.50
0.25
0.25
0.25
0.00
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.50
-0.4
-0.3
z/h
0.50
z/h
z/h
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
(a)  = 10– 4
図-25 Winkler基礎上の厚板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.3, (x, y) = (a / 5, b / 5)
0.00
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.2
zx*
-0.1
-0.50
-0.4
0
-0.3
0.00
CPT
MPT
3-D
-0.25
-0.2
zx*
-0.1
-0.50
-0.4
0
-0.3
0
0.00
0.00
-0.05
-0.05
-0.05
-0.10
-0.10
-0.15
-0.20
w*
0.00
w*
w*
(a)  = 10– 4
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
図-26 Winkler基礎上の厚板の面外せん断応力の板厚方向分布の理論比較：h / a = 0.3, (x, y) = (0.45a, 0.45b)
-0.15
0
0.25
(a)
0.50
x/a
0.75
1
-0.20
-0.10
-0.15
0
0.25
0.50
x/a
0.75
1
-0.20
0
0.25
0.50
x/a
(b)  = 10– 2
(c)  = 100
 = 10– 4
図-27 Winkler基礎上の厚板の面外変位のx軸方向分布：h / a = 0.3, y = 0.5b
― 52 ―
z / h = + 0.5
z/h=0
z / h =  0.5
0.75
1
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
位置である点 (x, y) = (0.45a, 0.45b) における面外せん断
板厚方向分布を精度良く再現できないことがわかる．
応力zx*の板厚方向分布の理論比較を示したものである．
–4
–2
0
また，無次元地盤反力係数 = 10 , 10 , 10 である
Winkler基礎上の薄板 (h / a = 0.01) の y = 0.5b の位置に
4. あとがき
おける面外変位w* の x軸方向分布の理論比較を図-17 に
示した．ただし，無次元地盤反力係数 = 100の結果は参
本稿では，集中荷重に近い荷重状態として載荷幅を板の
辺長の一割に設定した部分等分布荷重を受けるWinkler基
考として示している．
図-13 から図-16 より，古典理論とMindlin理論ともに無
–4
–2
礎上にある周面単純支持された矩形板の静的曲げ変形問
次元地盤反力係数 = 10 , 10 であるWinkler基礎上の薄
題における古典理論とMindlin理論の適用範囲を明らかに
板の面外変位w* の板厚方向分布は一定であり，応力x* の
することを目的とし，三次元弾性論に基づく解を正解とし
板厚方向分布は板中央面 (z = 0) に対して逆対称な直線分
た理論比較を行った．
布，面外せん断応力zx*は板中央面 (z = 0) に関して対称
な放物線分布である．よって，薄板は曲げ変形状態 (曲げ
本稿で得られた知見は，次の通りである．
(1) 荷重載荷幅2c × 2d = 0.1a × 0.1b である載荷幅の小さ
応力状態) であることがわかる．また，古典理論とMindlin
な部分等分布荷重を受けるWinkler基礎上にある h /
理論に基づく解は，三次元弾性論による解と良い一致を示
a ≤ 0.01 なる薄肉な周面単純支持された正方形板の
している．ここで，図-17 に着目してみると，無次元地盤
静的曲げ変形問題における古典理論とMindlin理論の
反力係数 = 10–4 なるWinkler基礎上の薄板の面外変位w*
適用範囲は  ≤ 10–2の範囲である．
は曲げ変形状態，無次元地盤反力係数 = 10–2なるWinkler
(2)
荷重載荷幅2c × 2d = 0.1a × 0.1b である載荷幅の小さ
基礎上の薄板の面外変位w* は部分等分布荷重が作用して
な部分等分布荷重を受けるWinkler基礎上にある周面
いる領域付近での局所的な曲げ変形状態であることがわ
単純支持された正方形の板部材の曲げ問題における
Mindlin理論の適用範囲は 0.01 < h / a ≤ 0.1かつ ≤
かる．
図-18 から図-21 は，それぞれ，無次元地盤反力係数 =
10–2 の範囲であるが，h / a = 0.1 なる中等厚板では，
–4
10 , 10 , 10 であるWinkler基礎上の中等厚板 (h / a = 0.1)
板上面に生じる最大圧縮応力 x* の値および部分等
の板中央点 (x, y) = (a / 2, b / 2) における面外変位w*と応
分布荷重の作用境界位置で生じる最大面外せん断応
力x*の板厚方向分布，点 (x, y) = (a / 5, b / 5) の位置にお
力zx*の発生位置に注意する必要がある．
–2
0
ける面外せん断応力zx*の板厚方向分布および点 (x, y) =
(0.45a, 0.45b) における面外せん断応力 zx*の板厚方向分
ただし，本稿で提案する古典理論とMindlin理論の適用範
布の理論比較を示したものである．また，無次元地盤反力
係数 = 10–4, 10–2, 100であるWinkler基礎上の中等厚板 (h
文献5)，文献6) および本稿の結果より，板上面に作用す
る表面力の局所性が大きくなる，すなわち荷重載荷幅を小
/ a = 0.1) の y = 0.5b の位置における面外変位w*の x軸方
さくする効果は，表面力を受けるWinkler基礎上にある周
向分布の理論比較を図-22 に示す．参考までに，図-18 か
ら図-22 については無次元地盤反力係数 = 100の結果を，
面単純支持された矩形板の静的曲げ変形問題における
Mindlin理論の板厚に関する適用範囲にその影響が表れる
図-18 から図-21 については古典理論の結果を併記して
ことを理論解析に基づく数値実験によって明らかにした．
ある．
また，文献4)，文献5)，文献6) から本稿にわたる検討によ
–2
囲は，今回検討した条件の下での適用範囲である．
これらの結果より，無次元地盤反力係数 ≥ 10 の範囲
り，面外荷重を受けるWinkler基礎上にある周面単純支持
であれば，中等厚板は曲げ変形状態であるが，部分等分布
荷重q が作用している範囲では面の位置によって面外変
された矩形板の静的曲げ変形問題における古典理論と
Mindlin理論の適用範囲の目安を提案することができた．
位w*の値がわずかに異なっている．また，応力x*の板厚
今後は，境界条件 (支持条件) やせん断修正係数を設計変
方向分布に着目すると，Mindlin理論により求められる板
数として取り扱い，より実用性のある古典理論とMindlin
上面で生じる最大圧縮応力x*の値は三次元弾性論により
理論の適用範囲を検討していく予定である．
求められるそれよりも小さい．更に，Mindlin理論では点 (x,
y) = (0.45a, 0.45b) における面外せん断応力zx*の板厚方向
謝辞：本研究の一部は，平成21年度九州建設弘済会 (現九
分布を精度良く再現することができない．特に，最大面外
州地域づくり協会) 研究助成事業および平成24年度豊橋
せん断応力zx*の発生位置には注意が必要であろう．
技術科学大学高専連携教育研究プロジェクトによる助成
最後に，図-23 から図-26 および図-27 は，厚板 (h / a =
0.3) を対象として，これまでと同様の検討を行った結果で
を受けて行われました．ここに記して，関係各位に御礼申
し上げます．
ある．
これより，無次元地盤反力係数 の値に係らず，Mindlin
理論では，厚板の変形状態および面外変位w*と応力x*の
参考文献
1)
― 53 ―
Wang, C.M., Reddy, J.N. and Lee, K.H.: Shear deformable
大分工業高等専門学校紀要第 51 号 (平成 26 年 11 月)
beams and plates – Relationship with classical solutions,
Elsevier, pp.2-7, pp.89-109, 2000.
2)
3)
文集A2分冊 (応用力学), 2014 (投稿中).
6)
局所的な表面力を受けるWinkler基礎上の周面単純支
flexural motion of isotropic, elastic plates, Journal of
持矩形板の静的曲げ変形問題における三次元弾性論
Applied Mechanics, Vol.18, pp.31-38, 1951.
と板理論との比較－局所的な表面力の載荷幅が板の
Timoshenko, S. and Goodier, J.N.: Theory of elasticity,
辺長の半分の場合－，大分工業高等専門学校紀要第
McGraw-Hill, New York, 1951.
4)
5)
志賀有人，名木野晴暢，足立忠晴，水澤富作，三上隆：
Mindlin, R.D.: Influence of rotatory inertia and shear
志賀有人，名木野晴暢，足立忠晴，水澤富作，三上隆：
Winkler基礎上の矩形板の曲げ問題における三次元弾
7)
性論と板理論との比較，土木構造・材料論文集，第30
8)
51号，pp.33-44, 2014.
Winkler, E.: Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit,
Prag, Dominicus, 1867.
名木野晴暢，大川茉友子，樋口理宏，足立忠晴，水澤
号, 2014 (投稿中).
富作，三上隆：種々の面外荷重を受ける弾性基礎上に
名木野晴暢，志賀有人，足立忠晴，水澤富作，三上隆：
表面力を受ける弾性基礎上の矩形板の曲げ問題にお
ある厚肉平板の三次元応力解析，構造工学論文集，
Vol.58A, pp.26-39, 2012.
ける古典理論とMindlin理論の適用範囲，土木学会論
(2014.9.30 受付)
― 54 ―

Download Report