2014-電磁気学演習 II
問題 C) 以下の問いに答えよ。
√
(a) 関数 r = x2 + y 2 + z 2 の逆数の勾配 ∇(1/r) を求めよ。ただし x、y 、z 軸の単位ベクトル
をそれぞれ i、j 、k とする。
∂ 1
( ) = (1) ∂x r
∂r ∂
(1/r)
∂x ∂r
= −x/r3 より
∂ 1
∂ 1
( ) = (2) −y/r3 ,
( ) = (3) −z/r3 ,
∂y r
∂z r
以上から
1
∇( ) = (4) −x/r3 i − y/r3 j − z/r3 k = −r/r3 r
(b) r = xi + yj + zk について、r/r3 (r ̸= 0) の発散を求めよ。
∇·(
r
) = (5)
r3
∂
(x/r3 )
∂x
+
∂
(y/r3 )
∂y
+
∂
(z/r3 )
∂z
= (6) 1/r3 − 3x2 /r5 + 1/r3 − 3y 2 /r5 + 1/r3 − 3z 2 /r5 = (7) 3/r3 − 3(x2 + y 2 + z 2 )/r5 = (8) 0 (c)r = xi + yj + zk について、∇2 1/r (r ̸= 0) を求めよ。
まずラプラシアン ∇2 =div grad= ∇ · ∇ を計算すると、
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ j ∂y
+ k ∂z
) · (i ∂x
+ j ∂y
+ k ∂z
) ∇2 = ∇ · ∇ = (9) (i ∂x
= (10)
∂2
∂x2
∂2
(1/r)
∂x2
+
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
これより
1
∇2 ( ) = (11)
r
∂2
(1/r)
∂y 2
+
∂2
(1/r)
∂z 2
= (12) −1/r3 + 3x2 /r5 − 1/r3 + 3y 2 /r5 − 1/r3 + 3z 2 /r5 = (13) −3/r3 + 3(x2 + y 2 + z 2 )/r5 = (14) 0 である。
16

A B a b q Q ε ε0 ε0

2014-電磁気学演習 II 問題 3) ベクトル A = (Ax,Ay,Az)、B = (Bx,By,Bz

∫ ∫ ( )

2016-電磁気学演習 II 問題 20) 誘電率 ϵ1、ϵ2 の誘電体の境界面に