2016-電磁気学演習 II 問題 20) 誘電率 ϵ1 、ϵ2 の誘電体の境界面に単位面積当たり σ の真電荷が一様に分布している。両誘 電体側の電場 E1 、E2 が境界面の法線となす角を θ1 、θ2 とする。 (a) 電場の横方向の関係を求めよ。(閉曲線の績分を考える) (b) 電場の縦方向の関係を求めよ。(閉曲面の績分を考える) (c) 次の関係が成り立つことを確かめよ。 ϵ2 cot θ2 = ϵ1 cot θ1 (1 − σ ) ϵ1 E1 cos θ1 解答 (a) 境界面にまたがる微小な長方形で線積分を考える 境界面に垂直な辺の長さを無限小にし、平行な辺の長さを ∆r とすると ∫ C E(x) · dx = E1 sin θ1 ∆r − E2 sin θ2 ∆r = 0 E1 sin θ1 = E2 sin θ2 となる。 (b) 境界面にまたがる薄い微小円筒に関してガウスの法則を適用する ∫ S D(x) · n(x)dS = ∫ ρ(x)d3 x V 円筒の厚さを無限小にすると、側面は無視できるので D1 · n1 ∆S + D2 · n2 ∆S = σ∆S ϵ1 E1 cos θ1 ∆S − ϵ2 E2 cos θ2 ∆S = σ∆S ϵ1 E1 cos θ1 − ϵ2 E2 cos θ2 = σ (c) それぞれの両辺を割ると ϵ2 E2 cos θ2 ϵ1 E1 cos θ1 − σ = E2 sin θ2 E1 sin θ1 σ ϵ2 cot θ2 = ϵ1 cot θ1 − E1 sin θ1 σ 1 ) = ϵ1 cot θ1 (1 − ϵ1 cot θ1 E1 sin θ1 σ = ϵ1 cot θ1 (1 − ) ϵ1 E1 cos θ1
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