情報論理学第7回講義復習問題

2014 年 6 月 10 日
情報論理学第 7 回講義復習問題
次のハッセ図で与えられる半順序集合による L-構造を考える．
b
b
b
b
a
c
問題 1 v を任意の付値として，以下の真理値を計算せよ．
(1) [[∀x ∃y (x ≤ y)]]v
(2) [[∃x ∀y (x ≤ y)]]v
問題 2 v を任意の付値として，以下の真理値を計算せよ．
(1) [[∀y ∃x (x ≤ y)]]v
(2) [[∃y ∀x (x ≤ y)]]v
問題 3 v を任意の付値として，以下の真理値を計算せよ．
(1) [[∀x ∀y ((x ≈ y) ∨ (x < y))]]v
(2) [[∃x ∃y (¬(x ≈ y) ∧ (y ≤ x))]]v
問題 4 v を任意の付値として，以下の真理値を計算せよ．
(1) [[∀x ¬∀y (x ≤ y)]]v
(2) [[∀x (∀y (y ≤ x) → ∃y (y < x))]]v
1
情報論理学第 7 回講義復習問題解答
問題 1
(1) [[∀x ∃y (x ≤ y)]]v = T
[[∀x ∃y A]]
T
(2) [[∃x ∀y (x ≤ y)]]v = F
[[A]]
x [[∃y A]] y [[x ≤ y]]
a
a
T
b
T
T
c
F
b
a
F
b
T
T
c
F
c
a
F
b
T
T
c
T
問題 2
(1) [[∀y ∃x (x ≤ y)]]v = T
[[∀y ∃x A]]
T
[[∃x ∀y A]] x [[∀y A]]
a
F
b
F
c
F
F
[[A]]
y [[x ≤ y]]
a
T
b
T
c
F
a
F
b
T
c
F
a
F
b
T
c
T
(2) [[∃y ∀x (x ≤ y)]]v = T
[[A]]
y [[∃x A]] x [[x ≤ y]]
a
a
T
b
F
T
c
T
b
a
T
b
T
T
c
T
c
a
F
b
F
T
c
T
[[∃y ∀x A]] y [[∀x A]]
a
F
b
T
c
T
F
[[A]]
x [[x ≤ y]]
a
T
b
F
c
T
a
T
b
T
c
T
a
F
b
F
c
T
問題 3
(1) [[∀x ∀y ((x ≈ y) ∨ (x < y))]]v = F
[[∀x ∀y A]]
x [[∀y A]]
a
F
b
F
c
F
F
[[A]]
[[P ]]
[[Q]]
y [[P ∨Q]] [[x ≈ y]] [[x < y]]
a
T
T
F
b
T
F
T
c
F
F
F
a
F
F
F
b
T
T
F
c
F
F
F
a
F
F
F
b
T
F
T
c
T
T
F
2
(2) [[∃x ∃y (¬(x ≈ y) ∧ (y ≤ x))]]v = T
[[A]]
[[P ]]
[[Q]]
[[∃x ∃y A]] x [[∃y A]] y [[¬P ∧ Q]] [[¬P ]] [[x ≈ y]] [[y ≤ x]]
a
a
F
F
T
T
b
F
T
F
F
F
c
F
T
F
F
b
a
T
T
F
T
b
F
F
T
T
T
c
T
T
F
T
c
a
F
T
F
F
b
F
T
F
F
T
F
c
F
F
T
T
問題 4
(1) [[∀x ¬∀y (x ≤ y)]]v = T
[[∀x ¬∀y (x ≤ y)]]
x [[¬∀y (x ≤ y)]] [[∀y (x ≤ y)]]
a
T
F
T
F
T
F
b
c
T
y [[x ≤ y]]
a
T
b
T
c
F
a
F
b
T
c
F
a
F
b
T
c
T
(2) [[∀x (∀y (y ≤ x) → ∃y (y < x))]]v = T
[[∀x (A→B)]]
[[A]]
x [[A→B]] [[∀y (y ≤ x)]]
a
T
F
T
T
T
F
b
c
T
3
[[B]]
y [[y ≤ x]] [[∃y (y < x)]]
a
T
b
F
c
F
F
a
T
b
T
c
T
T
a
F
b
F
c
T
F
y [[y < x]]
a
F
b
F
c
F
a
T
b
F
c
T
a
F
b
F
c
F

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