連続確率分布

「連続的な確率分布」
キーワード
• 連続的な確率変数（p.42）
• 確率密度関数（p.42）
• 平均（平均値、期待値）、分散（p.48）
目標：語句の意味と求め方について理解する！
1
連続的な確率変数と確率密度関数
2
復習
例：
：離散的な確率変数
試行：サイコロを1回投げる
（1より大きく4以下の目がでる確率）
単純に加えればよい！
3
：連続的な確率変数
試行： 100m走り、何秒かかるか調べる
事象
： t 秒かかった
時間 t
…
12秒
12.25秒 12.5秒
13秒
…
根元事象をすべて書く事はできない！
連続的な確率変数に対して、確率分布を次のように定義する。
4
定義（確率密度関数）：（⇒ 教科書 p.42）
連続的な確率変数
が、任意の
に対して
重要：定義は覚えよう！
となるような関数
確率変数
の確率密度関数といい、
をもつとき、
を
は確率分布
に従うという。
5
：離散的な確率変数
：連続的な確率変数
確率を積分で定義する！
6
確率変数の範囲について（⇒ 教科書 p.43 ）
この部分
などで定義してもよい（定理2.4（ ⇒ p.44 ）で詳しく解説）。
が
や
が
のときは等号なしの不等号となる
7
定理 2.4：
（⇒ 教科書 p.44）
連続的な確率変数 X の確率密度関数を f (x) とするとき,
次の式が成立する。
（1）
定理は証明を理解して、結
果を使えるようになろう！
（2）任意の実数 a に対して
（3）任意の実数
に対して
8
【証明】
（⇒ 教科書 p.44）
(1) 全事象を
とすると、
(2)
を求めるため、
（ただし、
）を考える。
全事象
9
(2) の証明のつづき：
のとき積分する領域が小さくなり、値が
に近づく。これを式であらわすと、
10
(3) の証明：
と
（２）より
は排反事象
の値はゼロ
他の式も同様に求める事ができる。（証明終）
11
（⇒ p.45）
（2）省略
積分する範囲で関数が異なるので注意！
12
（⇒ p.45）
重要：初めは解答を
見ないで考えよう！
13
（⇒ p.46）
積分する範囲で関数が異なるので注意！
14
例題18の続き：
（⇒ p.47）
15
（⇒ p.47）
重要：初めは解答を
見ないで考えよう！
16
平均（平均値、期待値）と分散
17
定義（平均（平均値、期待値）、分散）：（⇒教科書 p.48）
連続的な確率変数
を
の確率密度関数を
とするとき、
の平均（平均値または、期待値）という。また
（ただし、
）を
の分散という。
重要：定義は覚えよう！
18
平均、分散の説明
：
（⇒ 教科書 p.48の下）
分散
平均
（意味）：
平均 ⇒
の分布の平均的な値
（意味）：
（ミュー）の記号
分散 ⇒
分散の正の平方根
といい、記号
の分布のちらばり具合
（シグマの2乗）の記号
を
の標準偏差
を使う事が多い。
平均：
（左のグラフでは0）
標準偏差：
19
平均、分散の説明
：（⇒ 教科書 p.48の下）
２つのグラフの平均： 0 （平均が等しい！）
⇒ 青のグラフの分散
とする。このとき、上のグラフでは
⇒ 緑のグラフの分散
となる。
※ 分散の値が小さい方が平均の周りに多く値が
分布している。
20
定理 2.5：
（⇒ 教科書 p.49）
連続的な確率変数
の確率密度関数を
とし,
定理は証明を理解して、結
果を使えるようになろう！
とするとき、
が成立する。
2乗の付いている位置に注意！
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【証明】：（⇒ 教科書 p.49）
2乗を展開する
全体の無限積分を個々の部分積分に分ける事ができる
とすると、
22
証明のつづき：
平均の定義
定理2.4 （1）
（証明終）
⇒
の 1次のモーメント
⇒
の 2次のモーメント
23
定理 2.6：
（⇒ 教科書 p.50）
を定数とするとき、次式が成立する。
（1）
（2）
定理は証明を理解して、結
果を使えるようになろう！
【略証明】：
（1）
（平均の定義）
24
（⇒ 教科書 p.50）
個々の部分積分に
分ければよい。
⇒ 平均の定義
教科書 p.48
⇒ 定理2.4 （1） p.44
25
（⇒ 教科書 p.50）
（2）
（定理2.5）
平均の定義 p.44
定理2.4 （1） p.44
定理2.5 p.49
（1）の結果と合わせればよい。（証明終）
26
（⇒ p.51）
平均
積分する区間に注意！
分散
標準偏差は
（解終）
27
（⇒ p.51）
1
1
2
-1
-1
28
（⇒ p.52）
確率分布
(⇒ p.46)
平均
積分する区間に注意！
29
（⇒ p.52の真ん中）
部分積分
適用する
平均の値
適用する
30
（⇒ p.52
からp. 53）
部分積分（ 2回やる）
分散
定理2.5 （p. 49）を用いる
分散の値
標準偏差の値＝１
（解終）
31

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