数値解析演習平成２６年４月２３日超越方程式の解法 f ( x) = x − cos( x) = 0 (1) 問題１．ニュートン法のアルゴリズムを用いて、(1)式の解を求めよ。アルゴリズムの入力は初期値 x ( 0 ) 、出力は解 x ( N ) である。ただし、上付き括弧の数字はアルゴリズムの繰り返しの回数を表し、 N は解にたどり着くまでの回数である。また、解くべき超越方程式とその一階微分はサンプルプログラムのように関数として定義しておく。ヒント x ( k +1) = x ( k ) − f ( x(k ) ) , k = 0, 1, ... f ' ( x(k ) ) これは、 x の更新式である。プログラムで記述すると、 x = x – f(x)/fdx(x); と書ける。ただし、f(x)と fdx(x)はそれぞれ f (x) と、一階微分 f ' ( x) の値を返す関数である。問題２．ニュートン法のアルゴリズムを用いて、(2)式の非線形連立方程式の解を求めよ。 x + y2 = 0 x 2 + ( y − 1) 2 − 1 = 0 ヒント ∂f ( k ) ( k ) ⎞ ⎛ ∂f ( k ) ( k ) ( x , y ) ⎟ ⎜ ( x , y ) (k ) (k ) ⎛ ⎞ ∂y ⎜ ∂x ⎟ ⎛⎜ h1 ⎞⎟ = −⎜ f ( x , y ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ g ( x ( k ) , y ( k ) ) ⎟ ⎜ ∂g ( k ) ( k ) ∂g ( k ) ( k ) ⎟ ⎝ h2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ∂x ( x , y ) ∂y ( x , y ) ⎟ ⎝ ⎠ x ( k +1) = x ( k ) + h1 , y ( k +1) = y ( k ) + h2 (2) サンプルプログラム（問題１） /* サンプルプログラム１ #include <stdio.h> #include <m ath.h> #include <stdlib.h> 2014/04/23 */ /* 超越関数 f(x) = x - cos(x) double f(double x) { return x - cos(x); } */ /* 一階微分 double fdx(double x) { return 1 + sin(x); } */ /* メインプログラム int m ain(int argc, char *argv[]) { double x, th; */ /* 初期値 */ x = atof(argv[1]); /* 終了条件 */ th = atof(argv[2]); /* ニュートン法 */ } /* 結果の表示 */ printf("x = %10.8lf¥n", x); printf("f(x) = %10.8lf¥n", f(x)); ○ コンパイル ○ 実行 ○ 実行(Linux) $ gcc sample1.c －lm $ ./a.exe $ ./a.out レポートは、「学籍番号」、「氏名」、「作成したプログラムの説明」をメールに書き、プログラム、実行結果を添付した上、下記のアドレスへ提出してください。その際、メールの題名に、「数値解析演習レポート」と書くこと。提出先：[email protected] 〆切：平成２６年４月３０日（水曜日）