補足９半無限平板上の境界層に対する積分プロフィル法解くべき方程式第２項にy成分の速度 v y が入っており，まともに解く方法はかなり面倒で，実際不可能！ ∂v x ∂v x ∂ 2v x vx + vy = ν 2 ∂x ∂y ∂y vx vy しかし，対象としている系ではやの変化は平板近傍に限定されていると考えることができる。ここが要点で，境界層を導入できる拠り所になっている。 € では境界層を設定しよう（速度に対する境界層）バルク境界層は定常であるがδが V € x の関数となっている vy V € x =0 € € 境界層 vx δv (x) 半無限平板 € 境界層内の変数の変化，この v x の変化 0 → V x を正規化して φ (= v / V ) の v x 場合は流速変化が € 0 →1 € € xの微分は合成関数の微分を適用して v x = Vφ v € € 3 1 3 φ v = ηv − ηv 2 2 vx V φv = 1 φv = δv (x) ηv = 0 を使う。 € € φv = 0 € € € € φv は ηv の関数で，ηv は y と δv の関数で，さらに δv は x の関数 € ! $ ∂vx ∂φ (η ) dφ (η ) ∂ηv dδv y dδ € ! η $ dδ =V v v =V v v = V φv ' # − 2 & v = V φv ' # − v & v ∂x ∂x dηv ∂δv dx " δv % dx " δv % dx ∂2 v x ∂φv ' ∂φv ' ∂€ ηv 1 1 = V = V = V φv '' 2 2 ∂y ∂y ∂ηv ∂y δv δv ∂vx ∂φ (η ) ∂φ (η ) ∂ηv 1 =V v v =V v v = V φv ' ∂y ∂y ∂ηv ∂y δv 同様にyの微分も y δv ηv = 1 ηv = プロフィールの決定となるので解くべき微分方程式の各構成要素を書き下す。 € € まず，定義より € ここで dφv = φv ' dηv dφv ' = φv '' dηv v y はどうするのか？に関する方程式を持ち出すのか？それでは複雑になるばかりで，ここでは連続の式を使う。 vy v x を代入して境界層は薄く変数が分離上の vy = 0 なので y では =0 連続の式（２成分）できるとして ηv η y # ∂v ∂vy ∂vx ηˆ dδ dδ v ∂v ∂v & ∂v dvy = ∫ V φv ' v v dy = V v ∫ ηˆvφv 'dηˆv + =0 % y =− x( v y = − ∫ x dy dvy = − x dy δv dx dx 0 ∂y ∂x ∂x ' € $ ∂y ∂x 0 0 ∂x € ηv    1 dδv    ηv ν V 元の方程式 2 2 1 dδ v ˆ ˆ ˆ ˆ V − η φ φ '+V φ ' η φ 'd η = ν φ '' − η φ φ '+ φ ' η φ 'd η dx    v v v   v ∫ v v v v v v v ∫ v v v (δ v dδ v ) = φ v '' 2 v に代入 V δv  δv dx   δv dx  0   0 € この段階では変数は分離できているものの，y方向（境界層の厚さ方向）に変数は分布しており，偏微分方程式が複雑なことになっている。境界層が薄いということで，yすなわちηに関する関数（分離されている）だけを，境界層にわたり ( 0 → y → δv , 0 → η v 定積分することにより，y方向への分布（y方向に変化しているはずの分）を定数とすることができる。 € € →1 ) これが積分プロフィール法の特徴，偏微分方程式を近似的に解く方法の１つとして修得するべき！ 1 # 1 ηv & ν 1 % ∫ φv ' ∫ ηˆvφv ' dηˆv dηv − ∫ ηvφvφv 'dηv ( (δv dδv ) = ∫ φv ''dηv dx V 0 $0 ' 0 0 プロフィールを代入して定積分値を求める定積分なのでそれぞれを定数としてまとめる ( B − A) (δv dδv ) = δに関する単純な微分方程式 1 1 ν Cdx V 31 3# 4 1 & 9 A = ∫ ηvφvφv 'dηv = ∫ ηv2 (3− ηv2 )(1− ηv2 )dηv = %ηv3 − ηv5 + ηv7 ( = 40 4$ 5 7 '0 35 0 1 ηv 1 " 1 % 3 9 1 9 )2 3 1 , 33 B = ∫ $φv ' ∫ ηˆvφv 'dηˆv 'dηv = ∫ φv ' ηv2 (2 − ηv2 )dηv = ∫ ηv2 (2 − 3ηv2 + ηv4 )dηv = + ηv3 − ηv5 + ηv7 . = 8 16 0 16 * 3 5 7 -0 280 & 0 # 0 0 1 2 δv = € V 0 2C νx B− A V 最初の問題設定に戻ってバルク € V ! 3 2$ 3 ηv & = − 2 %0 2 ∫ (−3ηv )dηv = #"− δv = x € δv −1/ 2 = 4.64Rex x ! ν$ δv = # 4.64 & x V% " Rex = Vx ν vx vy プロフィールを使ってとの分布を描く冒頭で描いていた境界層の厚さの変化はおおよそ正解で，境界層理論ではx平板先端からの距離のルートに比例することがわ € かった。 δv (x) 境界層 2C νx 280 νx = B− A V 13 V 1" € € η 0 δの微分方程式を積分して 1 1 C = ∫ φv ''dηv = € 0.5" 半無限平板 € € 0" 0" € 0.5" v/V 1" イメージとしては流れが平板によって上下に分かれて広がってゆくが全体の流れに押されてある程度までしか広がらないという状況