3.7

経済学のためのゲーム理論入門
第 3 章不完備情報の静学ゲーム
3.7
プレイヤー（入札者）の集合を I = {1, 2} とする．3.6 同様，各プレイヤー i の行動空
間は Ai = [0, ∞)，タイプ空間は Ti = [0, 1]，wi ∈ Ti ，wi ∼ U [0, 1], i.i.d.
*1 ．戦略空間は
Si = {si | si : Ti → Ai } である．利得は，

( if si > sj )
 wi − si
(wi − si )/2 ( if si = sj )
ui =

0
( otherwise )
(1)
で表すことができる*2 ．3.6 の解答で見たように，一位価格・封印入札オークションのベイジアン・
ナッシュ均衡における戦略は，
∫ wi
s∗i (wi )
=
0
v hi (v) dv
Hi (wi )
(2)
で表すことができる．ここで Hi (wi ): Ti → [0, 1] であり，Hi はタイプ wi のプレイヤーがオーク
ションに勝つことのできる確率を表している．また，hi は Hi の導関数を表す．プレイヤーが 2 人
しかおらず，かつ各プレイヤーのタイプが確率密度関数 f (wi ) に従っていると仮定すれば，タイプ
wi のプレイヤーがこのオークションに勝つことのできる確率は，
Hi (wi ) = F (wi )
(3)
と求めることができる．ここで，F (wi ) は確率密度関数 f (wi ) の原始関数（累積分布関数）であ
る*3 ．さらに，hi = Hi′ (wi ) = f (wi ) となることを踏まえると，(3) 式から，(2) 式は
∫ wi
s∗i (wi )
=
0
vf (v) dv
F (wi )
(4)
と変形することができ，これがプレイヤー（入札者）が 2 人の場合の一位価格・封印入札オーク
ションにおける対称的ベイジアン・ナッシュ均衡である．
*1
本問 3.7 では，タイプ wi の従う確率密度関数が f (wi ) で定義されている．3.6. では，
「プレイヤー i が si をビッド
してオークションに勝つ確率」を Fi (si ) とおき，これの導関数を fi (si ) とおいたが，これと混同しないよう注意さ
れたい
*2 3.6 においても 3.7 においても，si = sj となる確率が数学的に 0 となることに注意して各プレイヤーの期待利得を
定式化する．
*3 タイプが wi のプレイヤー i がこのオークションに勝つための必要十分条件は，プレイヤー j（j ̸= i）のタイプ wj
が wj よりも小さくなっていることであり，その実現確率は，
Prob(wj < wi ) = F (wi )
で表すことができる．
1

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