Statistical Estimation for Optimal Dividend Barrier

Statistical Estimation for Optimal Dividend Barrier
慶應義塾大学理工学研究科小泉健太
慶應義塾大学理工学部白石博
保険会社の破産リスクに関する理論（risk theory, ruin theory）の応用として、会社の余剰資本（サープ
ラス, surplus）がある境界（barrier）を上回ったときに、その部分を株主に返還する配当（dividend）の問
題がある。本報告では、伝統的な複合ポアソンモデルを想定し、最適な境界（optimal dividend barrier）の
推定問題を考える。
配当が無い場合の時刻 t ≥ 0 におけるサープラス過程 U (t) を
∑
N (t)
U (t) := u + ct − S(t);
S(t) =
Xi
i=1
と定義する。ここで、u ≥ 0 は初期サープラス；c > 0 は単位時間あたりの保険料率；N (t) を時刻 t までの
クレーム（保険金請求）頻度；Xi を第 i 回目におけるクレーム金額；S(t) を時刻 t までのクレーム累積額
とする。本報告では、伝統的なモデルとして、{N (t)} を強度 λ を持つポアソン過程；Xi を i.i.d. で確率密
度関数 f (x) を持つ正値確率変数とし、S(t) が複合ポアソン過程に従うと仮定する。また、b ≥ u を配当境
界（dividend barrier）とし、サープラス過程 U (t) が b を上回る部分を配当として株主に返還すると仮定す
る。このときの区間 (0, t] における配当総額を D(t) とすると、微小区間 (t, t + dt] における配当額 dD(t) は
{
0
if Ub (t) < b
dD(t) = D(t + dt) − D(t) =
cdt if Ub (t) = b
と表すことができる。ここで、Ub (t) とは、配当がある場合のサープラス過程であり
Ub (t) = U (t) − D(t)
と表すことができる。最適配当問題（optimal dividend problem）として、破産時刻 T = inf{t|Ub (t) < 0}
までに支払われる配当の現在価値の累積の期待値
[∫
V (u, b) = E
T
]
−δt
e
dD(t)
0
が最大となる b（b∗ とする。）を最適な境界（optimal dividend barrier）とする。
本研究では、n 組のクレーム金額およびクレーム発生間隔 {(X1 , T1 ), (X2 , T2 ), . . . , (Xn , Tn )} が観測され
たときの b∗ を推定する。また、リサンプリングによって b∗ の信頼区間を構成する。
参考文献
1. Dickson D. C. M.(2005) Insurance risk and ruin. International Series on Actuarial Science. Cambridge University Press, Cambridge.
2. Lin X.S., Willmot G.E. and Drekic S.(2003) The classical risk model with a constant dividend
barrier: analysis of the Gerber-Shiu discounted penalty function. Insurance: Mathematics and
Economics 33, 551-566.

Download Report