八元数とSU(3)

八元数とSU(3)
Cayley-Dicksonの構成法（二重化法）
𝑪 = 𝑹 ⊕ 𝑹𝒊 𝒊2 = −1
𝑯 = 𝑪 ⊕ 𝑪𝒋 𝒋2 = −1
𝑶 = 𝑯 ⨁𝑯𝒆 (𝒆2 = −1)
積を定義
対合（共役）、ノルム（長さ）を定義
複素数体（𝑪）
𝛼 = 𝑥 + 𝑦𝒊,
𝛽 = 𝑧 + 𝑤𝒊 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑹, 𝒊2 = −1
𝛼𝛽 ≡ 𝑥𝑧 − 𝑦𝑤 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 𝒊
𝛼 ∗ ≡ 𝑥 − 𝑦𝒊 （対合（共役））
𝛼 2 = 𝛼 ∗ 𝛼 = 𝑥 − 𝑦𝒊 𝑥 + 𝑦𝒊 = 𝑥 2 + 𝑦 2
𝛼, 𝛽 は可換 (𝛼𝛽 = 𝛽𝛼)
四元数体（𝑯）
𝑝 = 𝛼 + 𝛽𝒋,
𝑞 = 𝛾 + 𝛿𝒋 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ 𝑪, 𝒋2 = −1
𝑝𝑞 ≡ 𝛼𝛾 − 𝛽𝛿 ∗ + 𝛼𝛿 + 𝛽𝛾 ∗ 𝒋
𝑝∗ ≡ 𝛼 ∗ − 𝛽𝒋
𝑝 2 = 𝑝∗ 𝑝 = 𝛼 ∗ − 𝛽𝒋 𝛼 + 𝛽𝒋 = 𝛼 2 + 𝛽 2
𝑝, 𝑞 は非可換 (𝑝𝑞 ≠ 𝑞𝑝)
結合法則( 𝑝𝑞 𝑟 = 𝑝 𝑞𝑟 (𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑯))が成立
八元数（𝑶）
𝑋 = 𝑝 + 𝑞𝒆,
𝑌 = 𝑟 + 𝑠𝒆 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑯, 𝒆2 = −1
𝑋𝑌 ≡ 𝑝𝑟 − 𝑠 ∗ 𝑞 + 𝑠𝑝 + 𝑞𝑟 ∗ 𝒆
𝑋 ∗ ≡ 𝑝∗ − 𝑞𝒆
𝑋 2 = 𝑋 ∗ 𝑋 = 𝑝∗ − 𝑞𝒆 𝑝 + 𝑞𝒆 = 𝑝 2 + 𝑞 2
𝑋, 𝑌 は非可換 (𝑋𝑌 ≠ 𝑌𝑋)
非結合的( 𝑋𝑌 𝑍 ≠ 𝑋 𝑌𝑍 (𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝑶))
組成法則( 𝑋𝑌 = 𝑋 𝑌 )が成立
四元数体
𝐻 = 𝑅⨁𝑅𝒊⨁𝑅𝒋⨁𝑅𝒌 = 𝑥 + 𝑦𝒊 + 𝑧𝒋 + 𝑤𝒌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑅
𝒊2 = 𝒋2 = 𝒌2 = −1, 𝒊𝒋 = −𝒋𝒊 = 𝒌, 𝒋𝒌 = −𝒌𝒋 = 𝒊, 𝒌𝒊 = −𝒊𝒌 = 𝒋
は、通常の和と積に関して体である。この体Hを四元数体という。
i
j
k
𝐶 = 𝑅⨁𝑅𝑖 (𝑖 2 = −1)
より、
𝐻 = 𝐶⨁𝐶𝑗 (𝑗 2 = −1)
と表される。(”2x2”表現)
練習問題）以下の計算をしなさい
（１） (1 + 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘) + 2 + 3𝑖 + 4𝑗 + 5𝑘
（２） −2 + 4𝑖 − 5𝑘 − (−5 + 2𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘)
（３） 1 + 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 4 − 𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘
（４） (6𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘)(𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘)
３つの虚数単位→３次元回転に対応
四元数の“１＋３”（スカラー＋ベクト
ル）表示
実部
虚部
𝑝 = 𝑝0 , 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 = 𝑝0 , 𝑝
と表す。同様に、𝑞 = 𝑞0 , 𝑞
また、対合（共役）は、 𝑝∗ = 𝑝0 , −𝑝 , 𝑞 ∗ = 𝑞0 , −𝑞
これらより、𝑝𝑞 = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝 ∙ 𝑞, 𝑝0 𝑞 + 𝑞0 𝑝 + 𝑝 × 𝑞
𝑞𝑝 = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝 ∙ 𝑞, 𝑝0 𝑞 + 𝑞0 𝑝 − 𝑝 × 𝑞 (𝑞 × 𝑝 = −𝑝 × 𝑞 より）
(𝑝𝑞)∗ = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝 ∙ 𝑞, −𝑝0 𝑞 − 𝑞0 𝑝 − 𝑝 × 𝑞
𝑝∗ 𝑞 ∗ = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝 ∙ 𝑞, −𝑝0 𝑞 − 𝑞0 𝑝 + 𝑝 × 𝑞 ≠ (𝑝𝑞)∗
𝑞 ∗ 𝑝∗ = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝 ∙ 𝑞, −𝑝0 𝑞 − 𝑞0 𝑝 − 𝑝 × 𝑞 = (𝑝𝑞)∗
以下を証明しなさい
1 𝑝, 𝑞 ≡ 𝑝𝑞 − 𝑞𝑝 = 0,2𝑝 × 𝑞
2 𝑝𝑞 + 𝑞∗ 𝑝∗ は実数
3 𝑝𝑞 + 𝑞∗ 𝑝∗ − 𝑞𝑝 − 𝑝∗ 𝑞∗ = 0
八元数
1
5
6
7
𝑋 = 𝑥0 𝑒0 +
𝑥𝐴 𝑒𝐴
𝐴=1
𝑒𝐴 𝑒𝐵 = −𝛿𝐴𝐵 𝑒0 + 𝑓𝐴𝐵𝐶 𝑒𝐶
7
2
3
4
𝑓123 = 𝑓147 = 𝑓257 = 𝑓367 = 𝑓165 = 𝑓246 = 𝑓354 = 1
八元数
1
1
5
6
5
6
7
2
5
6
7
7
3
2
3
4
𝑓123 = 1
1
𝑓165
4
= 𝑓246 = 𝑓354 = 1
3
2
4
𝑓147 = 𝑓257 = 𝑓367 = 1
G2群とSU（３）群
𝑒𝐴 , 𝑒𝐵 のSO(2)回転
SO(7), G2
(𝑒𝐴 𝑒𝐵 )(𝐴, 𝐵 = 1, ⋯ , 7, 𝐴 ≠ 𝐵)の線型結合をつくる
𝑒1 を固定→𝑋7 =
𝑒2 を固定→𝑋5 =
𝑒3 を固定→𝑋2 =
𝑒4 を固定→𝑋6 =
𝑒5 を固定→𝑋4 =
𝑒6 を固定→𝑋1 =
𝑒7 を固定→𝑋3 =
23
31
12
62
43
51
14
−
−
−
−
−
−
−
65
46
54
35
16
24
25
, 𝑋9 = 23 + 65 − 2 47
, 𝑋10 = 31 + 46 − 2 57
, 𝑋11 = 12 + 54 − 2 67
, 𝑋12 = 62 + 35 − 2 71
, 𝑋13 = 43 + 16 − 2 72
, 𝑋14 = 51 + 24 − 2 73
, 𝑋8 = 14 + 25 − 2 36
＊規格化定数は省略
𝑋1 ~𝑋14 → 𝐺2の生成演算子
𝑋1 ~𝑋8 → 𝑆𝑈(3)の生成演算子（𝑒7 を含まない回転）
14 = 8 + 3 + 3
∗
𝑒0 (= 1) 𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒7
𝑒5
𝑒6
𝑒4
𝑔 ∈G2 は自己同型の条件
𝑔(𝑒𝐴 )𝑔 𝑒𝐵 = 𝑓𝐴𝐵𝐶 𝑔(𝑒𝐶 )
をみたす。(𝑒𝐴 ≠ 𝑒𝐵 )
SU(3)
𝑒0 (= 1) 𝑒1
𝑒7
𝑒4
𝑒2
𝑒5
𝑒3
𝑒6
実と虚
の関係
メソン８重項(𝑞 𝑞)
3⨂3 = 8⨁1
𝑠
𝐾 0 (𝑑 𝑠)
𝐾 + (𝑢𝑠)
𝑢
𝑑
𝑢(𝑑)
𝜋0, 𝜂
𝜋 − (𝑢𝑑)
𝑢(𝑑)
𝜋 + (𝑢𝑑)
𝑠
𝑑
𝑢
𝐾 − (𝑢𝑠)
𝐾 0 (𝑑𝑠)
𝑠
1重項
𝜂′
=
1
3
𝑢𝑢 + 𝑑𝑑 + 𝑠𝑠
𝜋 + = −𝑢𝑑
1
3重項 𝜋 0 =
𝑢𝑢 − 𝑑𝑑
2
𝜂=
1
6
𝜋 − = 𝑑𝑢
𝑢 𝑢 + 𝑑 𝑑 − 2𝑠𝑠
バリオン８重項(𝑞𝑞𝑞)
3⨂3⨂3 = 6 ⊕ 3 ⊗ 3
n(𝑢𝑑𝑑)
p(𝑢𝑢𝑑)
Σ0 , Λ
Σ− (𝑑𝑑s)
= 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
𝑢
𝑑
Σ + (𝑢𝑢𝑠)
𝑠
Ξ− (𝑑𝑠𝑠)
Ξ0 (𝑢𝑠𝑠)
メソン８重項の𝑢 → 𝑑𝑠, 𝑑 → 𝑢𝑠, 𝑠 → 𝑢𝑑 に変えると、スピン1/2
のバリオン８重項となる。

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