練習問題その６ (解答）
問題 1. (i) 表現行列の定義より、
idR2 (u1 ) = u1 = 2e1 + 5e2
idR2 (u2 ) = u2 = 3e1 + 7e2
であるため、

P =
2 3
5 7


が分かる。
(ii) 例１より、恒等写像 idR2 の基底 R ⊂ R2 と R′ ⊂ R2 に関する表現行列 Q は、P の逆行列
であるため、




3
1  7 −3 −7

=
Q=
−1 −5
2
5 −2
を得る。
問題 2. (i) 表現行列の定義より、

A=
2 4 1
1 5 3


1 1 0




P = 0 2 1 ,


1 2 1

,


1 2

Q=
2 3
を得る。
(ii)
A
((
R
HH
ROO 3
P
idR3
R3
R′
F
SVV
// R2
OO
idR2
F
B
1
Q
// R2
66
S′
(iii) 以上の図式を考えると、QB = AP が分かるため、




 1 1 0



−3
2
2
4
1
−1 −2



B = Q−1 AP = 
0 2 1 = 

2 −1
1 5 3 
2
7
1 2 1
1
2


を得る。
問題 3. (i) 表現行列の定義より、

2
0


A = −1 −3

2
5
1


1


P = 1

0


1 ,

2
2
3



1

1
1
1
が分かる。
(ii)
A
((
SVV
S
HH
ROO 3
F
// R3
OO
idR3
P
R3
S′
idR3
F
P
// R3
66
B
S′
(iii) 以上の図式を考えると、P B = AP が分かるため、B = P −1 AP である。P −1 を掃き出
し法で計算すると、



1
1


1 1

0
2
0
1 −1
2
0





B = P −1 AP = −1
1
2 −1 −3


1 −1 −1
2
5
を得る。
2
2
1
1
3



−11 −15 −18
 

 

13
14
1 =  8
 

1
−1 −2 −1
問題 4. 表現行列の定義と以下の計算より、

1 1


0 1


A = 0 0


0 0

0 0
1 1 1
2 3
1 3
0 1
0 0



4


6


4

1
が分かる。
F (1) = 1
= 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4
F (x) = x + 1
= 1 · 1 + 1 · x + 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4
F (x2 ) = (x + 1)2 = 1 · 1 + 2 · x + 1 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4
F (x3 ) = (x + 1)3 = 1 · 1 + 3 · x + 3 · x2 + 1 · x3 + 0 · x4
F (x4 ) = (x + 1)4 = 1 · 1 + 4 · x + 6 · x2 + 4 · x3 + 1 · x4
以上、1 ∈ R[x]4 は、定数多項式 f (x) = 1 であるため、F (1) = 1 である。
注 5. 問題 4 における線形写像 F の逆写像 F −1 は、次のように与えられる。
F −1 (f (x)) = f (x − 1)
さらに、F −1 の基底 S ⊂ R[x]4 と S ⊂ R[x]4 に関する表現行列は、A−1 であるため、


1 −1
1 −1
1




0
1 −2
3 −4




A−1 = 0
0
1 −3
6




0
0
0
1 −4


0
0
0
0
1
が分かる。
3

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Vorlesung 9

因子分析の SMC 法 - OGIFEST