Lineare Algebra f¨ur Informatiker
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
19. Mai 2015
Vorlesung 9
Wiederholung (1)
I
m, n ∈ N0 , A ∈ K m×n
ϕA : K n×1 →P
K m×1 , x 7→ Ax Spalteninterpretation von A
⇒ ϕA (x) = j∈[1,n] xj A−,j f¨
ur x ∈ K n×1
Wiederholung (2)
I
V Vektorraum u
¨ber K , n ∈PN0 , s = (s1 , . . . , sn ) Basis von V
v ∈ V , a ∈ K n×1 mit v = i∈[1,n] ai si
κs (v ) = a
Koordinatenspalte von v bzgl. s
P
(κs : V → K n×1 ist invers zu K n×1 → V , a 7→ i∈[1,n] ai si )
I
ϕ : V → W Homomorphismus u
¨ber K , m, n ∈ N0 ,
s = (s1 , . . . , sn ) Basis von V , t = (t1 , . . . , tm ) Basis von W
Mt,s (ϕ) = κt (ϕ(s1 )) . . .
Darstellungsmatrix von ϕ bzgl. s und t
κt (ϕ(sn ))
Wiederholung (3)
Proposition
ϕ : V → W Homomorphismus u
¨ber K , m, n ∈ N0 ,
s = (s1 , . . . , sn ) Basis von V , t = (t1 , . . . , tm ) Basis von W
f¨
ur v ∈ V :
κt (ϕ(v )) = Mt,s (ϕ) κs (v )
Wiederholung (4)
Proposition
I
ϕ : V → W , ψ : W → X Homomorphismen u
¨ber K ,
m, n, p ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sp ) Basis von V ,
t = (t1 , . . . , tn ) Basis von W , u = (u1 , . . . , um ) Basis von X
Mu,s (ψ ◦ ϕ) = Mu,t (ψ) Mt,s (ϕ)
I
V Vektorraum u
¨ber K , n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) Basis von V
Ms,s (idV ) = En
Wiederholung (5)
Korollar
ϕ : V → W Isomorphismus u
¨ber K , n ∈ N0 ,
s = (s1 , . . . , sn ) Basis von V , t = (t1 , . . . , tn ) Basis von W
⇒ Mt,s (ϕ) invertierbar mit
(Mt,s (ϕ))−1 = Ms,t (ϕ−1 )
Basiswechsel (1)
Beispiel
K 2 mit Basen e = ((1, 0), (0, 1)) und s = ((1, 0), (1, 1))
s1 = (1, 0) = e1
s2 = (1, 1) = e1 + e2
1 1
Me,s (idK 2 ) =
0 1
Basiswechsel (2)
Beispiel
ϕ : R2×1 → R2×1 , x 7→
1
5
−3 4
x mit Basis
4 3
1
−2
s=(
,
)
2
1
Me,s (idR2×1 ) =
1 −2
2 1
−1
Ms,e (idR2×1 ) = (Me,s (idR2×1 ))
1
=
5
1 2
−2 1
Ms,s (ϕ) = (Me,s (idR2×1 ))−1 Me,e (ϕA ) Me,s (idR2×1 )
1 1 2 1 −3 4
1 −2
1 0
=
= ... =
2 1
0 −1
5 −2 1 5 4 3
Spaltenraum


−2 −1 4
A = −3 −1 5  ∈ Q3×3
2
2 −6
     
−2
−1
4





C(A) = h −3 , −1 , 5 i
2
2
−6
Vereinfachen des Erzeugendensystems von C(A):




−2 −3 2
1 0 −4
−1 −1 2  7→ . . . 7→ 0 1 2 
4
5 −6
0 0 0

  
1
0



C(A) = h 0 , 1i
−4
2
Rang einer Matrix


−2 −1 4
A = −3 −1 5  ∈ Q3×3
2
2 −6
   
1
0
rk A = dim C(A) = dim h 0  , 1i = 2
−4
2

Vorlesung 6

Gebruiksaanwijzingen toestellen PTT/KPN

練習問題その6(解答）

Gebruiksaanwijzing Twintoon 10 (N)