平成 25 年度 ミクロ計量経済学
講義ノート 4: BLP
このノートでは、離散型需要の財のマーケットシェアのモデルとして、広く使用されてい
る BLP 法 (Berry, Levinshon and Pakes, 1995) を紹介する。この方法には、以下のような
利点があり、経済学の実証研究で頻繁に使用されている。
• マーケットシェアのデータを使用して推定できる。
• 価格の内生性を取り扱うことができる。
• 多くの財の需要構造をモデル化できる。
• 消費者の異質性 (heterogeneity) をモデルに組み込める。
• 消費の弾力性、特に交叉弾力性を、現実的にモデル化できる。
このノートでは、まずは、BLP の設定とモデルを紹介し、標準的な推定法を紹介する。次
に、Nevo (2000) に従い、モデルの仮定が実証研究上でどのような意味を持つかを解説する。
続いて、BLP の標準的な推定法の問題点を解説する。
4.1
設定
BLP 法が分析の対象としているデータは、離散的に需要される財のマーケットシェアに
関するデータである。例えば、自動車の地域ごとのマーケットシェアのデータが多くの地域
で入手できる場合などを考えるとよい。
• t: マーケット。マーケット (地域や、人口学的属性によってマーケットが分かれてい
るとする) を t = 1, . . . , T とする。マーケットの例としては、年 (BLP)、都市 (Nevo
(2000))、所得水準別などがある。
• j: 財。財を j = 1, . . . , J とする。財は、購入する場合は一種類しか購入しないものと
する。どの財も購入しない場合は、j = 0 という財を購入したものとする。j = 0 であ
る財は outside good と呼ばれる。
データとして観測可能なものは、各財の特性、価格そしてマーケットシェアである。そ
れぞれ、xj,t , pj,t , Sj,t と表記する。またこれらを各マーケットごとにまとめたベクトルを
xt = (x1,t , . . . , xJ,t ), pt = (p1,t , . . . , pJ,t ), St = (S1,t , . . . , SJ,t ) とする。各財の特性とは、自
動車の例をあげると排気量や車の大きさなどである。
各個人の効用は、確率的効用モデルによって表現されるとする。個人の指標は i とする。
ui,j,t = βi0 + x′j,t βix − βip pj,t + ξj,t + ϵi,j,t
(1)
係数 (β) は、個人ごとに異なるとしている。ξj,t と ϵi,j,t は観測できない部分である。このモ
デルでは、財を消費するというよりは財の属性を消費していると考えた方がよいかもしれ
ない。
効用をもたらす観測できない属性のうち、個人間では共通な ξj,t と、個人間で異なる ϵi,j,t
に分けている。この観測できない効用の分解は重要である。特に ξj,t をどのように取り扱う
かが、BLP 法の焦点となる。
1
βi = (βi0 , βix , βip ) の分布を Fβ (β; θ) とし、ϵ の分布を Fϵ (ϵ) とする。ϵ はすべての他の変数
と独立とする。θ は β の分布を決めるパラメーターである。BLP モデルの推定とは θ の推
定に当たり、推定は次の節で議論する。この節では、ひとまずパラメーターを所与として考
える。
効用最大化を仮定すると、マーケットシェアは、
∫
sj (xt , pt , ξt ; θ) =
dFβ (β; θ)dFϵ (ϵ)
(2)
{βi ,ϵi,t |ui,j,t ≥ui,j ′ ,t ,∀j ′ ̸=j}
とかける。ϵ の分布として、Type I extereme distribution を仮定すると、
∫
sj (xt , pt , ξt ; θ) =
β
exp(β 0 + x′j,t β x − β p pj,t + ξj,t )
dFβ (β; θ)
∑J
1 + k=1 exp(β 0 + x′k,t β x − β p pk,t + ξk,t )
(3)
となる。これは、random coefficient logit モデルと同形である。Type I extereme distribution
の仮定は、便利であるため、非常に良く使用される。
このままでは、β に関する積分を解く必要があるが、これは Monte Carlo 積分によって求
められる。つまり、βr を Fβ,θ から生成した乱数として、このような乱数を R 回発生させる
とすると、
s˜j (xt , pt , ξt ; θ) =
R
exp(βr0 + x′j,t βrx − βrp pj,t + ξj,t )
1 ∑
∑
R
1 + Jk=1 exp(βr0 + x′k,t βrx − βrp pk,t + ξk,t )
(4)
r=1
として、積分の近似を行うのである。もちろん、他の数値積分の方法を使用してもよい。
4.2
推定法
この節では、θ の推定を考察する。推定において注意すべき点は、pt は価格であるため、
内生性があり、特に ξt と相関があることである。そのため、単にマーケットシェアのデー
タと、上記のモデルから得られるマーケットシェアをマッチさせることでは、一致性のある
推定量を得ることはできない。そこで、操作変数法を使用する。
なお、pt は内生であるが、ϵ とは相関がないとしている。pt の内生性を生むものは、ξj,t
というマーケットにいるすべての人に共通の影響を与える観測できないものである。
推定は、次のモーメント条件をもとに行う。
E(ξj,t h(zj,t , xj,t )) = 0.
(5)
zj,t は需要関数には入ってこない操作変数である。h(·) は z と x の関数であり、これは研究
者が決める。
• 操作変数の選び方としては、以下のようなものが提唱されている。まず、これは需要
関数の推定であるので、需要に影響を与えず供給曲線に影響を与えるような変数があ
ると操作変数として使用できる。例えば、生産要素の費用にのみ影響を与える変数が
操作変数として使用できる。しかし、財ごとに異なる影響を与える変数を見つけるの
は難しい。利用しやすいものとして、同じ企業から提供されてる他の財の属性の和を
使用することや、他の企業から提供されている財の属性の和を使用することなどがで
きる。あるいは、他のマーケットでのその財の価格を利用することもある。
2
しかし、ξj,t は観測できず、明示的に書くこともできないため、数値計算の方法によって
値を求める必要がある。この ξj,t を導出する仕方が BLP 法の最も重要で、革新的であり、そ
して多くの問題点をはらんでいる部分である。
ξ の計算には、マーケットシェアの関数の逆を取ることで行う。つまり、St = s(xt , pt , ξt ; θ)
と書くと、このマーケットシェアの関数の s() は逆関数が存在することが Berry (1994) に
よって証明されている。その逆関数を s−1 (St ; θ) とすると、GMM のモーメント条件の標本
版は
g(ξ(θ)) =
T
J
T
J
1 ∑∑
1 ∑ ∑ −1
ξj,t (θ)h(zj,t xj,t ) =
sj (St ; θ)h(zj,t xj,t )
T
T
t=1 j=1
(6)
t=1 j=1
となる。なお、文献にしたがって j について和を取っているが、j ごとに別のモーメント条
件としてもよい。
θ は次の GMM の目的関数を解くことで推定できる。W は GMM の重み付け行列である。
θˆ = arg min Q(ξ(θ)) = arg min(g(ξ(θ)))′ W g(ξ(θ)))
(7)
実際の推定では、s−1 の明示的な式を得ることができないため、次のようなアルゴリズムを
用いて計算することになる。θ に対応する ξ の値を求める。ここでは、contraction mapping
による計算を行う。つまり、適当な初期値から始めて、
ξth+1 = ξth + log St − log s(xt , pt , ξth ; θk )
(8)
として、繰り返し、収束すれば、それを ξt (θ) とする。
4.3
マーケットシェアの逆関数について
マーケットシェアの逆関数が存在し、ξ について解くことができるという点が、BLP 法の
重要な点であるので、この点をもう少し詳しく解説する。
まず、個人間の異質性がない場合を考える。この場合、マーケットシェアは、logit モデル
の選択確率として与えられる。つまり、
sj (ξt ) =
exp(β 0 + x′j,t β x − β p pj,t + ξj,t )
∑
1 + Jk=1 exp(β 0 + x′k,t β x − β p pk,t + ξk,t )
(9)
である。従って、
δj,t = β 0 + x′j,t β x − β p pj,t + ξj,t
(10)
sj (ξt ) = s0 (ξt ) exp(δj,t )
(11)
δj,t = log sj (ξt ) − log s0 (ξt )
(12)
δj,t = log Sj,t − log S0,t
(13)
とおくと、
となるため、
となる。したがって、
3
が成り立つ。そのため、
ξj,t = log Sj,t − log S0,t − (β 0 + x′j,t β x − β p pj,t )
(14)
として、ξj,t を求めることができる。なお、この場合は、log Sj,t − log S0,t を被説明変数と
し、xj,t と pj,t を説明変数とした回帰モデルを pj,t に操作変数を当てる 2SLS で推定できる。
個人の異質性がある場合の繰り返しの式は、上でみた異質性のない場合の式を援用したも
のであるが、この繰り返しの式はそれほど理論的にできている訳ではない。もう一度繰り返
しの式を記載すると、
ξth+1 = ξth + log St − log s(xt , pt , ξth ; θk )
(15)
である。この式は、マーケットシェアの式を変形しても出てこない。単に異質性がない場合
の式から、想像できる式であるだけである。
繰り返しの式の正当性を示すためには、従って、別途その収束を示す必要がある。まず、式
をみればすぐにわかる通り、繰り返しが収束するならば、St = s(ξt ; θk ) が成り立つので、収
束先は、ξt = s−1 (St ; θk ) を満たすことはすぐにわかる。一方で、この繰り返しが収束するた
めには contraction mapping theorem を使う。BLP にこの繰り返しが、contraction mapping
になっていることが証明されている。
また、BLP では、ξ に関する繰り返しでなく、β の期待値を β¯ として、δj,t = β¯0 + x′j,t β¯x −
β¯p pj,t + ξj,t の繰り返しを使用している。δj,t の繰り返しとした方が、異質性のない logit モ
デルとの関係は明確であるが、そもそも繰り返しの式は BLP モデルから出てくるものでは
なく、contraction mapping になっていることのみが重要であるので、ξ に関する繰り返し
を考えることで十分である。
4.4
4.4.1
モデルの意味
消費者の異質性
BLP 法は、消費者の属性に関する情報は、βi という係数にまとめられており、消費者属
性の情報が利用可能な場合は、F (β, θ) への追加的な情報として利用する。なお、BLP 法は、
消費者属性のデータはなくとも推定はできる。しかし、消費者属性のデータが利用可能であ
れば使用した方が、よい精度の高い推定が可能である。また消費者属性のデータとして利用
するものは、各マーケットにおける消費者属性の分布であることに注意すること。
消費者属性を組み入れたモデルでは、βi を次のようにモデル化する。
βi = β0 + ΠDi + vi
(16)
ここで、β0 は係数 β0 の期待値であり、Di が消費者属性としてデータがとれるもの、Π は推
定すべきパラメーターになり、そして vi は観測できない項であり、確率変数として取り扱
う。vi の分布を決める母数を Σ とする。このモデル化では、θ は (β0 , Π, Σ) となる。F (β, θ)
は Di の分布 (観測できる) と vi の分布 (モデル化する) から決まる。
例として、Di と vi の分布が独立であり、Di の分布を Pˆ (D), vi の分布を N (0, Σ) とする。
このとき、
βi |Di ∼ N (β0 + ΠDi , Σ)
4
(17)
であり、この分布を P (β|D) とすると、F (β, θ) は、
∫
F (β, θ) =
P (β|D)dPˆ (D)
(18)
D
となる。
注意するべき点は、データとして必要なのは、各マーケットごとの D の分布であり、ま
た D の同時分布が必要になることである。すべてのマーケットでの D の分布しかわからな
い場合は、D の分布がマーケットごとに異ならないという仮定が必要になる。また D の周
辺分布しかわからない場合は、D の要素が独立であるという仮定が必要だが、この仮定は現
実的ではない。
また、BLP 法によって推定する母数は、効用の係数の分布を決める母数である。したがっ
て、BLP 法で推定する母数の値の解釈は、意外と難しい。
4.4.2
所得と価格
BLP のモデルでは、所得は明示的にモデルに入ってこない場合が多く、また価格は効用
に線形に入っているモデルがよく使われる。なぜ、このようなモデル化がなされているかを
ここでは考察する。
BLP で効用と呼ばれているものは、厳密な意味での効用関数ではない。なお、効用関数
は、財の消費量によってのみ決まるものであり、価格とは関係がない。BLP の効用関数は、
outside goods の消費量を予算制約式をもちいて財の価格と所得で置き換え、さらに outside
goods のみを消費する場合の効用を 0 と標準化したものである。
まずは、所得がモデルに入ってこない場合を考える。効用関数が quasilinear である場合
には、yi を所得として、間接効用関数は、
uijt = αi (yi − pjt ) + その他の項
(19)
とかける。なお、αi は係数である。すべての財について、上記のような関係が成り立り、ま
た離散選択では、効用の差のみが結果を決めるため、すべての財に対しての効用に入ってく
る αi yi はモデルから抜いたとしても問題は生じない。そのため、最初から、所得をモデル
に含めないことが正当化されるのである。
一方で、所得をモデルに含めないということは、所得効果がないと仮定しており、考えて
いる財によっては、現実的とはいえない。例えば自動車の需要を考える際には所得の変化に
よって購入する自動車が変化するであろうとする方が自然である。所得効果を考慮したい場
合には、例えば、
uijt = αi log(yi − pjt ) + その他の項
(20)
として、モデル化する。なお推定の際には、αi も yi も積分を取って消えるので、マーケッ
トシェアの式には、所得は明示的には入ってこない。
4.4.3
Outside good
BLP が考えている需要構造では、どの財も購入しないことが考えられるので、モデルに
は outside goods を含めることが重要になる。一方で、outside goods の意味やモデル化には
注意が必要である。
5
まず、outside goods の効用は ui0t = 0 と標準化することが通常である。この標準化は、効
用が quasilinear であれば、特に問題はなく、ただの標準化である。しかし、効用が quasilinear
でない場合には、outside goods からの効用もモデル化する必要がある。
つぎに、outside goods のマーケットシェアのデータが必要であるが、そのためにはマー
ケットのサイズを決める必要がある。BLP では自動車の需要を調べているが、マーケット
サイズとしては自動車の売れた総数を使用している。これは、アメリカのような自動車に乗
る人は全て自動車を保有しているような状況では適切であるが、日本の都市部のように自動
車の購入意欲があっても自動車を保有しない選択肢がありえる場合では適切ではないであろ
う。このように、マーケットのサイズをどのように決めるかにも注意が必要である。
4.4.4
財の数の豊富さ
BLP モデルでは、多くの種類の財を考慮することができる。この理由は、財をその属性
で記述し、各属性への効用をモデル化しているからである。そして、属性への効用に還元で
きない部分は、ξj,t という誤差項として記述している。
財ごとの 2 項変数を使用して、財効果を推定することもできる。これは、ξj,t を分解し、
ξj,t = ξj + ξ˜j,t のようにかき、そして ξj を母数として推定する。しかし、そうすると、推定
すべき母数の数が多くなる。少ない母数で多くの種類の財を扱うことのできる BLP の利点
に反するので、注意が必要である。なお、想像できるように ξj という財効果を入れた方が、
モデルの当てはまりはよくなる。
4.4.5
交叉弾力性
BLP のモデルでは、現実的な交叉弾力性の値を出すことができ、この利点は BLP 法が広
く使われる一因になっている。これまで使われてきた他のモデルでは、交叉弾力性の値とし
て、限られた、非現実的なものしか出せなかったり、あるいは、現実的な交叉弾力性の値を
出すのに多くの母数を含んだモデルを推定する必要があった。この利点を作り出しているの
は、係数 β に個人ごとの異質性を許していることがポイントである。
仮に個人間に係数の異質性がない場合を考える。この場合は、通常の logit モデルになり、
マーケットシェアは
exp(β 0 + x′j,t β x − β p pj,t + ξj,t )
sjt =
∑
1 + Jk=1 exp(β 0 + x′k,t β x − β p pk,t + ξk,t )
とかける。この場合、交叉弾力性は、
∂sjt pkt −β p pjt (1 − sjt )
=
∂pkt sjt β p pkt skt
if j = k,
それ以外
(21)
(22)
となる。したがって、交叉弾力性は、k 財へのマーケットでの支出額のみによって決まる。
しかし、この結果は代替効果などを考慮しておらず非現実的である。
こうした非現実的な交叉弾力性が、異質性を考慮しないモデルからでる理由は、離散選択モ
デルにおける、IIA の問題と関連している。従って、nested logit モデルの使用や multinomial
probit モデルの使用により部分的に解決することができる。しかし、これらのモデルを財の
数が非常に多い状況で使うのには難点がある。
6
BLP モデルは、確率的係数を加えた logit モデルを使用することにより、現実的な交叉弾
力性を出すことに成功している。確率的係数を加える目的は、個人間の異質性を考慮するこ
ともあるが、少ない母数で現実的な交叉弾力性の値を出すことも重要な目的と考えられて
いる。
BLP モデルの交叉弾力性は、
pjt ∫
∂sjt pkt − sjt β p sijt (1 − sijt )dF (β, θ) if j = k,
=
(23)
∫
∂pkt sjt pkt β p sijt sikt dF (β, θ)
それ以外
sjt
である。従って、交叉弾力性は、sjt にも依存し、財の代替関係も捉えることが可能になる。
4.5
BLP 推定量の問題点
BLP の推定は難しい。これは、単にコードを作るのが難しいといった問題や、計算に時
間がかかるという難しさもあるが、もっと本質的に推定量の計算をする際に、GMM の目的
関数の真の最小値を得ることが非常に難しく、本当の推定量とは違った値を得てしまうこと
があるということである。
この BLP 推定量の不安定性は近年になってようやく認識された問題である。この問題を
扱った論文としては、Knittel and Metaxoglou (2011, 2012) がある。これらの論文では、
BLP 推定量の値が使用する最適化ルーチンによって大きく変わり、信頼できる BLP 推定量
を得ることが非常に難しいことが鮮やかに示されている。
Dub´e, Fox nad Su (2012) は、この問題の原点が、ξ を計算する繰り返しの部分の誤差が、
推定量に影響を与えることであると、理論的に示した。したがって、BLP 推定量の問題点
は、モデルというよりも、その計算において ξ の計算をするために、inner loop をまわす必
要があることである。
Dub´e, Fox and Su (2012) による、BLP 推定の問題の解決策は、この inner loop を行わ
ず、GMM の最適化問題の制約式においてしまうことである。つまり、BLP 推定として、
min Q(ξ)
s.t. s(ξt , θ) = St , ∀t
(24)
という問題を解く、というものである。しかし、この最適化問題は、多くのパラメーター
を含むものであるため、通常利用可能なプログラム言語に最初から入っている最適化ルー
チンで解くのは無理がある。Dub´e, Fox and Su (2012) は、MATLAB などで利用可能な、
KNITRO というパッケージを勧めているが非常に高価である。なお、こうした inner loop
を使用しない推定法は、Su and Judd (2012) によって提唱された。
参考文献
[1] S. Berry, J. Levinsohn, and A. Pakes. Automobile prices in market equilibrium. Econometrica,
63(4):841–890, 1995.
[2] S. T. Berry. Estimating discrete-choice models of product differentiation. Rand Journal of
Economics, 25(2):242–262, 1994.
[3] J.-P. Dub´e, J. T. Fox, and C.-L. Su. Improving the numerical performance of static and dynamic
aggregate discrete choice random coefficients demand estimation. Econometrica, 80(5):2231–
2267, 2012.
7
[4] C. R. Knittel and K. Metaxoglou. Challenges in merger simulation analysis. American Economic Review: Papers & Proceedings, 101(3):56–59, 2011.
[5] C. R. Knittel and K. Metaxoglou. Estimation of random coefficient demand models: Two
empiricists’ perspective. Review of Economics and Statistics, forthcoming.
[6] A. Nevo. A practitioner’s guide to estimation of random-coefficients logit models of demand.
Journal of Economics & Management Strategy, 9(4):513–548, 2000.
[7] A. Nevo. Measuring market power in the ready-to-eat cereal industry. Econometrica, 69(2):307–
342, 2001.
[8] C.-L. Su and K. L. Judd. Constrained optimization approaches to estimation of structural
models. Econometrica, 80(5):2213–2230, 2012.
8
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