Title Author(s) Citation Issue Date Type 非負行列などに関する若干のノート 荒, 憲治郎 一橋論叢, 65(3): 394-402 1971-03-01 Departmental Bulletin Paper Text Version publisher URL http://hdl.handle.net/10086/2283 Right Hitotsubashi University Repository 非負行列 な ど に 関 す る若 干 の ノ ト ー 荒 以 下 の 論構 は た三 つ の ノ か , 者が英文 で て筆 つ §1 ･ §i . 1 . 1 投入 . 列 とす る こ の 行列 A . (i ) 時 次 の 諸性質 が明 ら か と な る , は 正 則 変換 に よ り B ･ とが で きる こ は各列 ( ii ) Sh ペ ウ ニ - P ri B ト レ (i v ) S h ad う意 味 で §§ 1 . . こ の で P P , レ エ A P1 1 メ は対角 2 E 行列 の o w ユ ト ス ル の P l ぺ ば Sh ･ - P ri c ニ フ ロ [ ペ /レ ニ の エ ad o w ある B - レ エ メ レ -P 示 し で A , ∼ 3 94 ( ･ ..,,-- ＼ ､ ー )I , を 分解 不 可能 行 . ン トがす べ レ メ ン トの和を て に 一 行列 の 対角 エ 正値で あ る 対 角行 列 メ レ ン ン ト の 列 和 ( 上 の (i) の トは タ よ に [ っ あ で . す る よ う な 行 列) する 正規化さ れ た特性ベ ウ ネ根 と 同 じ 大 き さ で あ る j l / レに を簡 単 に 行列 の 等 しい フ ロ . て それはす こ とが で き な い ベ て . 方 法 以外 の 方法 で ほ 求 め る . の 転置行列 A ′ 定理 に よ り A ･ が 所属 して ′ は 分 解 不 可 能 な る 非 負 行列 で あ る い る . は絶 対 値 最 大 の 正 の 特 性 根 } 1 すな わち ′ ー 発表 し > 0 メ ri c e に所属 エ 行 列 は 上 の (ii) e ク で ー ク A p ￣ ･､.ノ-I.yJ￣ に (1 ) い て つ . か く して に は正 の 特性 ( 2) ウ cs . 仮定 に よ り A ニ mi c o n o トの 列和 が すべ て 等 しい 正 行列で あ る ン 行列 ( 対角 行列と よ 行列 の 各 列 べ は A ･ タ c e 等 しい) い of て っ 根 ( A 行 列 の 最 大 特 性 根) ス ( iii) と ベ こ ･ 正規化 さ れた ad o w 産 出 行列 に ･ ら れ る よ うな非負 の 正 方行列 を A い P とす る o u r n al J . 投入 ･ a shi . 産 出 分析 で 用 ･ = it o t s u b ト に加筆 した も の で あ る - 憲 治 郎 l - l lP l > 0 ( p l > 0) をも ち , }1 , フ ロ ベ べ ク 研 究 で ある 般性 を失う こ となく 一 . トを対角 レ エ 数 字 を書 き な ら べ た 列 ベ t タ を / レ , e 示せ ば で A P 方複式の 両辺に 左側 か ら の こ . は単位行列 で あ る E . P P とお けば すぺ }l て ′ B , に 行 列 の 各行 等 しい こ ベ と が 判 明 した 次に とも }i (i v ) , エ メ レ e 上 の (i) , 証明の た め に は の は 負債 の つ 一 以上で . トをも ン - 1 A P / l - ある ただ し . q , i は Ii B て っ B A 行列 の 各列 ベ ト ク 列 和) の ル は こ 1) l ′ 証明が 終了 した ･ 所属 す る 1 l 以 外 の 特 性 根 の 特 性 ベ に つ e - の , と を明ら か に すれ ば よ い . い ま , } ク l ト ル は少く . 以外の 根 を }iq i - i 所 属 す る特 性 に ベ トル で あ る ク 上式の 左側か ら ･ p l を乗 ず , ′ p を得 る A qi l スi P - となる q ′ q - i i 然 る に } l 幸; i で L . ' l 1 lq i p ′ - l l で なければならない が レ メ , p l > 0 で トほ 負で な け れ ば な らない §§ 1 ･ q i - 0 あるから ' . ′ かく して . p ン A p ′ l ( l l - l i) p . 0 - 示す と で ると ' (e ie Aq で の ′ B ≡ ( ii) ( iii) , , ン なぜ な ら ば . ′ B だからで ある メ e } l E] e - ト ル の 行和 ( 従 ク レ 行 列 と 同 じ次 数 だ け 1 P , エ 1 逆 行列 P - を 乗 ず る と の ′ で こ の l , 1 lP - そ ･ p ま い . e P 1 [ P- A となる 示す で ′ を得 る ( 1 2 5) ト ー は す で に 正 規 化 さ れ て い る と考 え l ト と す る 対角 行 列 を P ン メ p , ノ i q あ るか ら , . i - 0 特性 ベ タ t か く し て (i v ) の )レ q i の 中の 少く と も 証明が 完了 した 一 個の エ . 3 数 倍 例 で 示 して み よ う . い ま ) ( 1 2 6) とすれ ば 第3 号 特 性 方程 式 は の こ , 第 65 巻 橋 論叢 一 F ( i) } - 8 12 1 0 3 7 1 0 3 - . - . o o24 . ( スー0 8 ) ( 1 2 ＋ 0 51 ＋ o - . となり 0 8 が求めるフ ･ , ペ ロ ウ ニ o 3) ･ 根で ある ス そ . こ で . こ 0 - の フ ロ ペ ニ ウ ス 根 に 所属す る 特 性 ベ タ トレ を求 め ると 5 14 4 P = l 14 5 -. 1 J】 となる な ぜ なら ば . [ 0 だか らで あ る ･ か く して - . 70 0 250 - 0 1 25 . . 0 60 i† 二 :Z . . - L : E ;;] I() 0 700 0 24 - . . - o o 上で 展開 した手続 き に 従 っ , て 5 元 P = o 0 0 土 o 14 o ヱ o 14 と い う 対角 行列 を作 て っ P A P- を 計算 す る と l , 5 14 0 土 0 14 o 14 0 […… ≡[ ] o o : :; i ‡ o ' o . 3 0 600 0 125 . ペ ニ こ の , ､L▲ ･ ” ー ( + ___ - 3 行列の 各列 ベ ウ ス 根 の大 きさ 0 8 〟 6J - , B 1 / に タ r 等 しい / レの こ 0 空 o 4 0 100 . o 14 とな り 0 . 列和 が す べ て A 壬竺 5 ′ 行列 ( 従 っ と が判明す るの で あ る . て A 行列) の フ ロ 研 究 §§ 1 . . . 4 投入 , 定理 そ の も の は 産 出 分析 で 用 い ら れ る 行 列 を 中心 に し て 分析 を進 め た が ･ 分 解 不 可 能 な非 負 行列 で あ れ ば よ , 話題 が 限 定 さ れ る 訳 で ほ な い 例 えば . と い う微 分 方程 式 の 体 系 を 考 え て み る (また y p 長 率) が 時 点 の 如 何 に か か わ ら ず 常 に l l 次 の 如く で ある ′ 虎 l 9 ≡ P - 1P ′ P A e - 次 の よう に も証明 で き る , 産 出分 析 の み ･ 等 しい に 対する 9 y に , の /レ l 比率 ( 従 っ と が 知れ るの で あ る こ P と て y a' の の 成 そ の 証明 は ･ . p 或い は 投入 , 上 で 定 義 した 粋 睦 べ ク r , 示すと で て っ で の こ x そ羊 で . と ょ の 内 債 を 9) l A = = あ の で い こ , を非 負 の 分 解 不 可 能 行 列 と し て l J , d 内積 を ( 1 2 7) ト ー . 以上で は に ノ ′ B P x ≡ e 上式の . x l - ′ P le 般解 は 一 x 1 lP - x - を初 期 条 件 を 示 す パ ラ メ タ oi , 1 ly ′ l ー と して ( i) x は 自然 対 数 の 底) ある ( e で 性根に 所属 する特性 ベ タ cI - レ P (i i p となり ( 1 l 3 K ) E 2 ( p , A . c o n o m D ) ( i) i ra cs , v ol , eb r et1, 皿 e t ri c a 19 , N A " 53 G 3 . ot e , o 2 . I N ･ O ct リ p p , . ユl - ･ J tln e H - 5 97 , e r st ei n 607 p p , " , N n q r タ /レ P は l } , l 以外 の 特 か く して , とが 判明する の で あ る こ 68 ･ el J e l lt e s, 70 - a shi . u r n al Jo of ･ g a ti v o n n e H it o t s u b ” 班a t ri c t u 1963 p n と直 交 す る か ら ) n l ▲t ≡ le p l ＋e ･ する 特性 ベ - ′ P - 成長率 を も つ の ･ = , 01 - ･ - , ＋ , l n p ll t O t lt P o n N a nd . ll ほ常に y ( t) ≡ 1 26 に所属 3 , ( i) x l 2 - ′ ′ 十o 2 P 然 るに 1 l . い l lt le P S q lla e r e M ri at ce s ” , E c o n o 一 ･ (1 ) §2 . §§2 . y . . 1 変 容 関 数 に お け る 投 入 量 の 加 法性 . . ぉよび (i x i - 1 , 2 ･ , ･ ･ ･ ･ ･ , n を そ れ ぞ れ 産 出量 お よ び 投 入 量 と よ び ) に お い て 投 入量 の 限界 的 貢 献 が す % な る場合 F( - y べ 3 1 3 , て ゼ - i . 2 - 1 ･ ･ ･ ･ X ･ , で ロ ･ , 2 ･ ･ ･ ･ ･ . ･ ･ 変容 関 数 を簡単 に 正 則 的 で あ る と い お う 変容関数 ) な い 場合 ･ , n , す な わち , n , こ の 時 , われ われ は 次の 命題 を証 -- 39 i , , 7 ) ド ( 1 28 ) 橋論叢 一 明する とが で きる こ 命題 正 A rJ な る 変 容 関 数 お い て F (x - 形 で 示すこ と の で F (a - き る必要 且 つ lX 関係 が 成立する こ と で あ る . . 2 . , B ･ 3 . , , ＋ 2 t n ) ＋a A ･ ･ (i i a i 1 - 1 2 n ) 二 任意 の - , x n , ･ (i ただ し . 23 充分 な る条件は n st a n c - §§ 2 X , ＋a l 監/ 誌 ム の l そ れ が 常に 加法的な る , y の 第3 号 . y に 第 65 巻 2 , - - ) , ) n , は n ･ , ･ ･ 偶 の 投入 量の 間に 常 に コ ン ス タ ン トで ある . . 必 要性 の 証 明 a lX と おく ＋a l 2X 3 十 ･ 十a - 3: n ≡ g n か くして . ay dy = 転 扇 (i ai 1 = 2 ･ ) n - , ･ ノ と なり 従っ , て ;/ ある で 8y a i - -a ≡ ∂3 ;) c o n st a n t = (i j 1 = , 2 , ･ , ･ n ･ , ) ) (Q . . E . D ) . 充分性 の 証明 監/ 監 ≡ a とお く a ･ 関 して a は lX 19 l 十a コ 2 ン X 2 タ ス ( a 12 トで ある ン … a / a 2) y で ある . a l l;1 ＋a 2 X2 ≡ Zl の l I( - とお く a こ の 方程 式 を 解 け ば y は , y で ある 39 8 こ と を知 る . こ zl - 1 ∂y = 転 g( l X l ＋a 1 X 2 2 X , ･ 3 X - , , n x ＋a α3 1 ≡ ∂y a ay 8 = 瓦7 に X 2 2 関 して z 十a X 3 3 3, l および x 2 に して . α3 転 a 3 x ) く し て 再 び 次式 を 得 る および a 3 y は , かく . ay 転 偏 微 分 方超 式 を 解 桝 f 関数で あ る こ とが わ か る か . の こ ･ 12 ＋a l ･ ヰ, ･ X3 3 ･ , 関数 で あ る の 3 こ と , ) n れ と 同様 の 手 続 き を繰 返 し て 行 な え ば , 結局 に は所望 の すなわ ち 研 究 F (a - y l X ノ ＋a l X 2 ＋ 2 ･ 加 迭的 な る 形 の 関 数 に ゆ き つ く こ と が で き る の §§ 2 . . 3 . ･ ＋a ･ ) n (Q ･ まず みて みよう い て つ . 問 の 技 術 的 関係 を伝 え る 生 産 関 数 と み る な ら ば の x n あるという 意味 して 種類 の 生産 要 素 の 間 の 限界 的 貢 献 二 , い あ ると 同 い と は それ ら 二種類 の 生産要素が全く 同 こ るの で ある 効 用 関数 と み で 同じこ とは . 場合 に も翠当する る うこ と は す な わち . て) わ れ わ れ は そ れ ら の 消 費 財 を加 算 し単 で ある して に属 い と を意味 し こ る 4 ･ ば れ は 必 ず し も 必要 で は な く それらの , ウ て それぞ イ トす る こ と に よ エ 消 費 財 の 如 く に 取扱 う べ て の っ とが 可能 とな るの こ ･ 以 上 の 分析 で は 変 容 関 数 の 中 に ほ こ で の 一 従っ , . 2 §§ ト ン そ れ ら の 消 費 財 が 例 え ば 百 円 銀貨 と 千 円紙 幣 の 関 係 の よ う に 全 く , て ･ タ 種 類 の 消 費 財 の 間 の 限 界 代 替率 が 不 変 二 , れ の 消 費 財 の 効 用 に 対 し て 与 え る 限界 的 貢 献 度 ( 限 界効 用) ･ ス ン コ 種 類 の 生 産 要素 で あ る こ と を の 一 そ し て それ が , 上 述 の 変容 関 数 を 消 費 財 と 効 用 の 間 の 関係 を 示 す , 種類 の 消 費 財 ( 消 費 者 の 観 点 か ら み 一 . 変 容 関 数 を 生産 要 素 と 生 産 物 , 度 の 比 率 は そ れ ら の 生産 要 素 の 間 の 限界 代 替 率 に 他 な ら ず で 且 D ) . ･ 定理 の 経済 学 上 の 応 用 に こ の ( 1 2 9) ト ー い るす 多数の 投 入量 の , 部 分 の 間 に 上 述 の 関係 が 成 立 し て 一 部 の 投 入量 を集 計 す る こ と で よ 一 投 入 量 の 全 部 の 加 法性 に 注 目 した が ある い の で 例えば ･ 次いで次の , n と し 且 , n i ＋n l , ＋ 2 . ･ ＋n . を得 るの で あ る ( n > m ) F (z - y か く して . l 2 , , われ われ は , ) 2 ,n ･ 種類の 投入量 は n , Z , - 示すな ら ば で zi n l n - ,a が 最初の う い う仕方で こ 偶 の 変数 の 間 に存在 し 2 対応す る集計さ れ た 変数 を に . つ n れ い 上述の 関係 ( す な , い う関 係) わ ち 二 種 類 の 投 入 量 の 間 の 限界的 貢 献 度 の 比 率 が 不 変 で あ る と 個 の 変数 の 間 に 存在 し , 種類の 投 入量 に 変換さ れ る m ( 2) ある の で ( 1 ( K ) b . a shi ) 2 E こ . r a J ollr の . , n al of E c o n o m 論稿 を終 え て c o n o 皿i c た A d di ti v i t y " A そ して A こ n a l y si s こ で , か of i ln p cs ら私は 1964 展開 した P , の v ol , , t u i s ll ･ , N o r a n sfo r m a ti o n F 19 7 1 2 ･ 同様 の 分析 が ri n c e t o n は , T n W . L p , e o n . 20 ti ef , E eb ･ に お ･ , A J い て ･ G Ftln p p , r e e n ･ 行 な われ の 有 名 な f1 1 n C ti ･ 6 5- 6 6 ･ A gg て い o n al E it o t s ” C ti o n u - ･ g a ti o r e る s e n i n こ と を知 ウ p a r a b ilit y 399 ( 1 3 0) の 議論 の る もの で あ る の つ 一 特殊 な ケ . Y . 1 時間 t 関す に 中立 的 技術 進 歩 に . (1 ) い て つ . 産 出量 - ) ス ー . . . 第3 号 ( 恐 ら く ほ現 実的有用性の 最も大 き な ケ ス ー §3 §§ 3 第 6S 巻 橋 論叢 一 K , 資本 ス ト - Y 増加 関 数 と み な し の L ック, , 雇 用 量 と す る時 - はその時 増加 関 数 で あ る と い う 想定 の 下 に 々 お よ ぴ B ( i) と L 技 術状 態 の 下 で K の を それ ぞれ と の 微 分 可能 な 技 術 進 歩 が ｢ 純 粋 に 資 本 増 大 的+ まず , A ( i) , , な らば す , な わも Y ならば 技 術 進 歩 は S ol o , 大 的 + なら ば w ( 2) を証明す る れ は次の 命題 命題 ( 1) 要且 つ . . . 2 C ( i) , L ≡l 1o g X , と お けば に ある ･ こ こ で . い 関 する第 F , ≡ 31 l 1 o g A ( i) , 問題 と して , ま 一 l , およぴ k 次微分 を f l わ れ わ , お よぴ α , 意味 で 中立的で ある た め の 必 の を プラ β a ス の タ ン ス コ ン L β] は 任 意 の 微 分 可 能 な 関数 で あ る ￠( i) = こ こ で , ￠i ( i) を 3 1 3 に 2 2 ･ l の x l , - l) t に 微 分する と I(k の こ 関 する第 ￠i( i) で 1o g K , l) , , は x 1 を所与 と し , ' を考 慮 し なが ら ( 1 ) 4 00 い て . k … 1 , o に A , g X ( i) K ≡ X 2 2 , ≡ 1 o g X l B , ( i) B ( t) L ≡ ￠( i) ≡ 2 X 2 と l og , る状況 は い 1 ･ a r r od 必要 な る こ と を い うた め . ￠ ( i) f ( ある F [ C( i) K - ′ で および H w を 時間 の 増 加 関 数 f( で 以下に お . . 更に ･ ( i) L ) 生産関数が , 充分な る こ と は自明で あ る おく B , 意 味で 中 立 的 で あ る と い お う の 技術進歩が 同時 に S olo 示 され る こ と で あ る §§3 F (K - Y で 技術進歩が ｢純粋 に労働増 , . 充分 な る条件は トと して い い すな わ ち , 技循進歩 は Ⅱa r r od , L) , 意 味 で 中 立的 で あ る と の Y ならば F ( A ( i) K - , ) x ( 2 方程 式 の 両辺 を 次微分 を f 2 一 ￠2 ( i) f 2( k 関 する第 ･ 一 , x 微分 しよ う f で 示す と で ′ - t ) の . x か く して , ) ( 2 次微分 で あ る 1 . 次に , l - 3 - 2 2 ) ￠( i) B l 研 究 ノ f 2 ( 3 1 i) f 2( k - , を得 る f l ( x l i) ￠ ( i) ′ 1 ( i) 申 が成立 す る f l( 3 1 , i) f 2( 3 1 , l) = な けれ ば な ら ぬ ある で は ブラ β の ス af α ∂x ン ス タ コ 1 f( 3 となる αx . l l 十β Q ( i) α - αk 十 l 或 は逆対数 を と 1 l ＋β ある C( i) . . . . 3 を前 提 に し た が 命 題 ( 2) l) - ン . 仇 . . ￠1( i) 逆対 数 で の α , 生産国数が K , ■ しそれ が も f( a れ を解 桝 ま こ . ( 7) l) 十β x l o g Y ≡y と し て) ある L ?] a ′ と L α , 1 ) ( 9 ) . E . D ) . 次 の 同次 関 数 な ら ば m ＋β 且 で m - - D ( i) K D ( i) つ , 次 の 命題 を も つ 命 題 (1) の . 生産 関 数 は Lβ ′ α ′ は t の 増加関数 で あ る . . I . 8 と に 関 し て 微 分 可能 な増 加 関 数 で あ る こ と の み , ′ 次 の 同次 関 数 な る故 に となる ( . 定 の 次 数 の 同 次関 数 な ら ば 一 も し生 産 関 数 が ただし . 4 ) (6) トで あ る g [ C ( i) K - Y 壱§ 3 4 . 以 上 の 分析 は とな る ( て っ は , af l β∂l l (Q §蛋 3 ) (5) c o n st a n t I( a ? I( i) ＋ a k ＋P l) - y で l) l を考 慮 すれ ば ( 1 y . い 3 或い ほ . およぴ α . ( 式 と比 較 す る と 明 白 な よ う に れ を (1) こ . , f 2( x ′ 2 で ) x 2 , ( 3) 式 を ( 2) 式 に 代 入 す る と の こ . (1 3 1) ト ー n Y は 任意 の プ ラ - ス , ( 9) 式 は F [ C ( i) ( 1 k) ( 1 L ) β] a の 実数 I ま い Lt ' P - , l - F [ C ( i) K a L Pl a ' P] を l C( i) K a L β)l l と な る よう に すれ ば 401 _( 13 2 ) 1 ある から で 第6 5 巻 橋論叢 一 7n †托 ( C( i) K - 第3 号 α L β) 一両 か く して , ( c ( i) K L P) a 一 品 y ･ F ( 1) = 或い は †n y F ( 1) - α C ( i) 両 ･ K 7 5 ･ - a . 志 L 7 n ･ 或い は Y ある で こ ･ こ で 鳩 野( 1) C( , D ( i, ≡ ( i) K D - iF ･ Lβ ′ a n ′ ある ( - , - ′ β (従 っ 1 2 m A i ･ cs ” ra V ol , , ･ 8 A N , N ot e o 1 ･ T o n , J e c h n i c al u n e 1 , 96 7 P pp , ro 78 . 本 稿 に お け る の と ほ 全 く 異 る 方法 に よ ) 関 して 本稿 で 述 44 年 で ある よ ぴ ･ H 岩 波書 店) こ べ , た の p l18 と を 要求 し て a r r od を参属せ よ い と 同様 な の を参照 い と こ 的 中 立 位 の 名称 の 定理 ･ に に g っ ' ' r e ss - て 79 , f li t o t s tl b 留意す . E o u r n al - - . ) で I) ) . of E _ c o の 生産 関数 が 1 次同次 な る 易合 , 証明 を与 え た べ J ′ ･ . 私は しか し本稿 で a shi β ′ (Q K ) に ･ 拙 著 『経 済 成 長 論』 ( 昭 和 命題 ( 1 ) きで ある な ib は必 ず しも 同 次関 数 - . 由来 や そ の 経 済 学 的 含 意 に , つ S ol い て 的中立 性お o w は拙著 の 第3 貰 . ( 402 α て ･ n o ( 志 ′ α - a 一 橋 大 学 教授)
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