第7回 (2014, 6/11)

確率・統計A演習問題 No. 7
(2014年6月4日配布)
1.
X1,..., X n の同時分布関数を FX ,...,X (x 1,..., x n ) ， Xi の周辺分布関数を FX (x i ) ( i = 1,..., n )とする．こ
n
1
i
のとき以下を示せ.
(a) X1,..., X n が独立であれば， FX ,...,X (x 1,..., x n ) = i =1 FX (x i ) ．
n
1
n
i
(b) FX ,...,X (x 1,..., x n ) = i =1 FX (x i ) であれば， X1,..., X n は独立．(ヒント: n 個の事象の独立性に
n
1
n
i
関しては定義1.5を参照．定義1.5より， FX ,...,X (x 1,..., x n ) = i =1 FX (x i ) であれば，任意の区間
n
1
n
i
I i = (ai , bi ] ( i = 1,..., m ) に対して, P(X1 Î I 1,..., X m Î I m ) = i =1 P(X i Î I i ) が成り立つこ
m
2.
とを言えばよい)．
確率関数 f (x ) = p(1 - p)x ( p Î (0,1) ，x = 0,1, 2,... )を持つ確率分布を幾何分布と言い，G (p) と表す．
このとき以下の問い答えよ．
(a) 上記の f (x ) が確率関数になっていることを確かめよ．(ヒント：確率関数になっていることを
示すには， f (x ) ³ 0 ， å x =0 f (x ) = 1 を示せばよい)
¥
(b) 成功率 p であるベルヌーイ試行において，成功するまで試行を繰り返したとする．このとき
失敗した回数 X とすると， X の確率分布が幾何分布になることを示せ．(ヒント：
P(X = x ) = f (x ) となっていることを示せばよい)
3.
幾何分布G (p) に従う確率変数 X に関して，P(X ³ m + n | X ³ m ) = P(X ³ n ) を示せ．ただし m と
n は正の整数とし，確率変数の条件付き確率は事象の条件付き確率と同様に
P(X ³ m + n | X ³ m ) = P(X ³ m + n, X ³ m )/ P(X ³ m ) で定義する．このような幾何分布の特
性は無記憶性 (以前の失敗回数はこれからの失敗回数と無関係) という. (ヒント：
P(X ³ m + n, X ³ m ) = P(X ³ m + n ) ， P(X ³ m ) = 1 - P(X < m ) = 1 - P(X £ m - 1) である)
4.
確率関数 f (x ) =
C r -1p r (1 - p)x ( p Î (0,1) ，r は正の整数，x = 0,1, 2,... )を持つ確率分布を負の2
x +r -1
項分布と言う．このとき，以下の問いに答えよ．
(a) 上記の f (x ) が確率関数になっていることを確かめよ．(ヒント：確率関数になっていることを
示すには， f (x ) ³ 0 ， å x = 0 f (x ) = 1 を示せばよい．そのためには， p-r = {1 - (1 - p)}-r の無
¥
限級数展開を利用すればよい)
(b) 成功率 p であるベルヌーイ試行において， r 回成功するまで試行を繰り返したとする．この
とき失敗した回数 X とすると， X の確率分布が負の2項分布になることを示せ．(ヒント：
P(X = x ) = f (x ) となっていることを示せばよい)
5.
負の2項分布において l = r (1 - p)/ p とおく． l を一定に保ちながら r  ¥ ， p  1 としたとき，
負の2項分布は p(l) に収束することを示せ．
6.
確率関数 f (x ) = M C x ⋅ N -M C n -x / N C n ( max{0, n - (N - M )} £ x £ min{n, M } ， M ， N ， n ，は正
の整数)を持つ確率分布を超幾何分布と言う．このとき， N  ¥ のとき M / N  q とすると，超
幾何分布は B(n, q) に収束することを示せ．
離散型確率変数 X の期待値を E{g(X )} = å x ÎD g(x )f (x ) で定義する．ただし D は X が取りうる値の集
合である．この期待値を使って確率変数 X の平均を E(X ) ，分散を Var(X ) = E(X 2 ) - {E(X )}2 で定義
する．
7. 確率分布が2項分布 B(n, q) である確率関数に持つ確率変数の平均と分散を求めよ．(ヒント：
å
n
x =0
x nC x q x (1 - q)n -x =
å
n
x =1
x nC x q x (1 - q)n -x =
n!
q x (1 - q)n -x =
(x - 1)!(n - x )!
n -1
= n q å x = 0 n -1C x q x (1 - q)n -x -1
= å x =1
n
å
m
x =0 m
å
n -1
x =0
å
n
x =1
x
n!
q x (1 - q)n -x
x !(n - x )!
n(n - 1)!
q x +1(1 - q)n -x -1
x !(n - x - 1)!
, さらに
C x q x (1 - q)m -x = 1 を使えばよい)
8.
確率分布がポアソン分布 p(l) である確率変数 X の平均と分散を求めよ．
9.
確率分布が幾何分布G (p) である確率変数 X の平均と分散を求めよ．(ヒント：すべての正数 r に
対して， å x =0 x +r -1C r -1pr (1 - p )x = 1 となることを用いて， å x = 0 x (1 - p )x ， å x =0 x 2 (1 - p)x を計
¥
¥
¥
算すればよい)
t Î  として，離散型確率変数 X の期待値を使って積率母関数を mX (t ) = E(e tX ) で定義する．積率母関
数を用いれば， E(X k ) = d k mX (t )/ dt k
t =0
で期待値が計算できることが知られている．
10. 確率分布が 2 項分布 B(n, q) である確率変数 X に関して以下の問いに答えよ．
(a) X の積率母関数を求めよ．
(b) 積率母関数を使って， X の平均と分散を求めよ．

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