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数学解説（シグマ∑について）N.Ikawa
1／4
シグマ∑とは？
a1 a2 , a3 , L , an
数列
の和を表す方法。この和を、
S n = a1
+ a2
k = 1,
S n = a1 + a 2 + a 3 + L + a n とすると
+ a3
+ L + an
k = 2, k = 3, LL k = n
n
= ∑ ak
k =1
k の初期値を 1 として、1 ずつ n まで増加する。各項を代表して ak で表す。∑は和（加算）の意味
シグマ∑の基本公式
数列の一般項が
のとき
cn=an+bn
m をスカラー（実数）とすると
∑ c k = ∑ (a k + bk )
n
n
k =1
k =1
n
∑ ma k = ma 1 + ma 2 + ma 3 + L + ma n
k =1
= m ( a1 + a 2 + a 3 + L + a n )
= (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) + (a 3 + b3 ) + L + (a n + bn )
n
= m∑ ak
= (a1 + a 2 + a 3 + L + a n ) + (b1 + b2 + b3 + L + bn )
n
n
k =1
k =1
n
n
n
k =1
k =1
k =1
= ∑ a k + ∑ bk
k =1
n
n
k =1
k =1
∴ ∑ ma k = m ∑ a k
∴ ∑ c k = ∑ a k + ∑ bk
n
(1)
∑ k = 1 + 2 + L + n,
k =1
初項 1 公差 1 の等差数列の第 n 項までの和
であるから
=
n
(1) ∵）
n ( n + 1)
2
(2) ∑ k =1 + 2 +L+ n ,
2
2
2
k=1
n(n +1)(2n +1)
=
6
2
n
(3)
∑ k 3 = 13 + 23 + L + n 3 ,
k =1
⎧ n ( n + 1) ⎫
=⎨
⎬
2
⎩
⎭
2
数学解説（シグマ∑について）N.Ikawa
(2)の証明
n
3
Sn = ∑ ( k +1) − k 3
{
k =1
}
を計算する。
まず，右辺を変形　右辺= ∑ { ( k 3 + 3k 2 + 3k +1) − k 3 }
n
k =1
= ∑(3k 2 + 3k +1)
n
k =1
n
n
n
k =1
k =1
= 3∑k + 3∑k + ∑1
2
k =1
シグマの性質より
↑ 求めたい和
一方，Snを展開式（ ∑ を使わない）で書くと
，
Sn = {23 −13 }+ {33 − 23 }+ {43 − 33 }+ L+
{ ( n +1) − n }
3
3
= (n +1) −13
3
= n3 + 3n2 + 3n +1−1
= n3 + 3n2 + 3n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∴ n3 + 3n2 + 3n = 3∑k 2 + 3∑k + ∑1
n
n
n
k =1
k =1
k =1
3∑k 2 = n3 + 3n2 + 3n − 3∑k − ∑1
= n3 + 3n2 + 3n − 3
n(n +1)
−n
2
(1)より
2n3 + 6n2 + 6n − 3n2 − 3n − 2n 2n3 + 6n2 + n n(2n2 + 6n +1)
=
=
=
2
2
2
∴
n
∑k 2 =
k =1
n(n +1)(2n +1)
6
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数学解説（シグマ∑について）N.Ikawa
(3)の証明
n
4
Sn = ∑ ( k +1) − k 4
{
k =1
}
3／4
を計算する。
まず，右辺を変形　右辺= ∑ { ( k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k +1) − k 4 }
n
k =1
= ∑(4k 3 + 6k 2 + 4k +1)
n
k =1
n
n
n
n
k =1
k =1
= 4∑k +6∑k + 4∑k + ∑1
3
k =1
2
k =1
シグマの性質より
↑ 求めたい和
一方，Snを展開式（∑を使わない）で書くと
，
Sn = {24 −14 }+ {34 − 24 }+ {44 − 34 }+L+
{ ( n +1) − n }
4
4
= (n +1) −14
4
= n4 + 4n3 + 6n2 + 4n +1−1
= n4 + 4n3 + 6n2 + 4n
n
n
n
n
k =1
k =1
∴ n + 4n + 6n + 4n = 4∑k +6∑k + 4∑k + ∑1
4
3
2
3
k =1
n
2
k =1
n
n
n
k =1
k =1
4∑k = n + 4n + 6n + 4n − 6∑k − 4∑k − ∑1
3
4
3
2
k =1
2
k =1
= n4 + 4n3 + 6n2 + 4n − 6
n(n +1)(2n +1)
n(n +1)
−4
−n
2
6
(1), (2)より
= n4 + 4n3 + 6n2 + 4n − 2n3 − 3n2 − n − 2n2 − 3n = n4 + 2n3 + n2 = n2 (n2 + 2n +1)
∴
n2 (n +1)2 ⎧ n(n +1) ⎫
=⎨
∑k =
⎬
k =1
4
⎩ 2 ⎭
n
2
3
数学解説（シグマ∑について）N.Ikawa
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シグマの性質を用いて解くと、
5
5
k =1
k =1
∑ 2(k + 1) =2∑ (k + 1)
5
5
= 2⎛⎜ ∑ k + ∑ 1⎞⎟
k =1
⎝ k =1
⎠
スカラーは前に，
和はそれぞれの和に，
= 2{(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1)} = 2 × 20 = 40
特にこの部分
n
∑ k = 1 + 2 + L + n, 初項 1，交差 1 の等差数列の第 n 項までの和であるから，
k =1
=
＜メモ＞
(1 + n) n
2

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