成膜大学理工学研究報告 J.Fac.Sci.Tech,SeikeiUniv. Uo1.50No.2(2013)pp.79-82 多変量線形モデルにおける高次元漸近理論姫野哲人*1 High-dimensionalasymptotictheoryformultivariatelinearmodel TetsutoH-MENO*' ABSTRACT:Whenastatisticwithacomplicateddistributionisdealt,theasymptoticdistributionisoften used.Eveniftheexactdistributioniscomplicated,theasymptoticdistributiongenerallybecomessimple formsuchasnormaldistributionandchisquaredistribution.Therearealsopreviousstudieswhichderive theasymptoticcorrectionduetoimprovetheapproximation.Howeveritisempiricallyknownthatthe classicalasymptoticapproximationsbecomeworseasthedimensionbecomeslarge.Sowederivesome high-dimensionalasymptoticresultsforthemultivariatel血earmodel.Theseresultshavebetter approximations血spiteofthesizeofdimension.Theseresultsnotonlyderivebetterapproximationbutalso clarifyasymptoticpropertiesofsometeststatistics. Keywords:high-dimension,asymptotictheory,multivariatelinearmodel (ReceivedSeptember2Q2013) 1.はじめに因である。そこで,本報告では多変量線形モデルにおけるパラメータの線形仮説に対する検定統計量としてよく統計学の分野では,扱合や,その分布が未知である場合は数多くあり,こうな場合,一般的に(パラメトリックな手法で)デを分析することは困難である。しかし,こであっても,そ知られている尤度比検定統計量,Lawley-Hotelli㎎う統計量の分布が複雑である場ス規準,Baエtlett-Nanda-Pillaiトのよース規準に対しータ ,高のような場合の近似分布を得ることができれば,様導出する。また,こ々トレーレース規準,Dempsterトレ次元漸近理論を適用し,漸近分布をれらの漸近分布を用い,検出力(帰無仮説が正しくない場合に帰無仮説を棄却する確率)のな統計的分析が可能となる。代表的な近似手法としては, 漸近比較を行うことにより,様中心極限定理や最尤推定量の漸近正規性,尤定統計量を選ぶ規準を与える。度比統計量々な状況下での最適な検や適合度検定のカイニ乗近似などがよく知られている。これらの近似を使うことによって,これまでに数多くの検定手法が提案されている。しかし,近ターの発達により,我データも増えてきており,こまず,多系列データなどの高次元で,アF(Y≫,…,期)'と来の古典的な漸近理論はうまく適用できないことプルサイズNと項は0に典的な漸近理論では,サパラメータ数Pに対し,p/Nの収束する項として扱われるが,高変量線形モデルにっいて説明する。P次観測データがア1,…,yNののような高次元データに対が知られている。これは,古変量線形モデル年のコンピュー々が扱うデータの中にはマイクロアレイデータや画像データ,時し,従 2.多このとき,こし,円ようにN個は転置を表す記号とする)。れらのデータが以下の線形モデル Y、=O'x、+ε ようなに従うとする。ここで,θ 次元データで行列,x,はk次、 σ=1,…,N) はk×Pの -himeno@st N(OP,E)に .seikei.ac.jp) 一79一未知のパラメータ元の既知の説明変数ベクトル,&はP 次元の誤差ベクトルであり,そ報科学科助教(t あるとする(ここンはこの比率が無視できない程度の大きさになることが原 *:情元の従うとする(賑れぞれ独立に正規分布は成分が全て0であるP次 Vo1.50No.2(2013.12) 成践大学理工学研究報告元ベクトルとし,Σ はP×Pの正定値行列とする)。このモデルは,Y-(y1,…,YNY,X-(xi,…,xrv)',E-(E1,…,ε TLR-一夙N÷9〕丑り' と置くことで, ・to・識 Y=XO+E 1・qto・N-k+qP と表すことができる(rank(-kと仮定する)。ここでパ Tix一存〔N-k-p ラメータに対する線形仮説 P+短一R Ho:CO=O を考える(rank(◎-9とする)。ここで,こ・・一存〔N-k+q P〕のモデルと仮・〔N-k+qtrSh P・Sa+Sh)‐'-R〕説がどのような状況を表せるのか考えてみる。例えば N-Ni+…+梅1のようにデータを9+1個け,○ 一(μ1,'",絢+1)'と x,をしゴ第ゴ成分が1で番目の群に属する他は0となるベクの群に分のように規準化して考える。これらの統計量を定義するガに対し, 場合,Seがトルとし, C= (ci)N,P→ 01-1 けない。そこで.PがNをゴ群に属するデータに対し, Y、=ｵノ+ε 、超えてはい超えても定義できる方法として提案されたものがDempsterトレース規準である。これは最初Dempster(1958,1960)によって,一標本問題と二標本問題の場合に定義された。これを多変量線形モデルの場合に拡張したものは説は nSh/nSe ki-...-k9+i という多標本モデルに対する同質性検定を表すことができる。っまり,多。。,p/N→o∈(0,1) という条件が必要となる。っまり.PがNをのモデルは,第と表すことができ,仮近分布を考えるための高次元枠組みとして, 10-1 とする。すると,こ正則である必要があるため,漸として定義される。この統計量も規準化し, 変量線形モデルとその線形仮説は様々 TD-,殊N-k)峨な線形モデルや仮説を含んだモデルであるといえる。帆一9} として漸近分布を考える。この検定統計量はNとPの 3.検定統計量大小に関係なく定義できるので, (ca)N,P→QO,p/N→o∈(0,QO) 多変量線形モデルとその線形仮説に対し, という高次元枠組みで扱うことが可能である。また,漸 8ん=(CO)'[c(Xπ)一'(γ1-'co 近分布を導出するために, Se=(Y‐XO)'(Y‐AO) (Al)nE`/p=0(1)σ=1,…,4) 0=(Xπ)一'XY とおく。このとき,尤度比検定統計量,Lawley-Hotelli㎎トレース規準,Baエttett-Nanda-Pillaiトを仮定する。また,対立仮説レース規準はそれ ∫∫1:CG)≠0 ぞれ一109(S の下での漸近分布を考える場合は,非 e/S8+3ん) 廿8ん351 Ω=Σ 峨(Se+3ん)-1 として定義される(Muirhead,1982)。一U2(CG))'(c(XX)-C')-ICG)Σ 心行列を一U2 とし, ここで,trは行列の (A2)trE`S2/p=0(1)σ=1,2) トレースを表す。これらの漸近分布の導出にあたり, も仮定する。これらの仮定の下で,漸近分布の導出を行う。一80一 Vo1.50No.2(2013.12) 成践大学理工学研究報告 4.TLR,T田,TAPの比較 2gtrΣ2ゆ 6DnE/p 漸近分布を導出する方法は様々存在するが,本報告で使った手法は,検定統計量の特性関数の漸近展開を求め, であるとする。また,他特性関数の反転公式を用いることで,分布関数の漸近展定(A2)と開を得る。その結果Tc(G=LR,LH,BNP)の帰無仮説 α+0(P-3/2) 。+P-'/2ろ1(・規分布の上側100α%点こで,σ を表す。係数依存しないので,こ標準正ゐ1(z砺G)と。また,仮として得られる。ここで,φ は標準正規分布の分布関数とする。一方,条下,rLR,r田,rB冊件(Cl)のの検出力の極限Pcは参照のこと。これら3っの検定統計量の極限分布は等しく,これらの違いはP.V2のーでしかないことに注意する一㌔〕、(・。,G) 確率を表し,Zaは関しては,Hi皿eno(2007a)をはGに PD一慌。,G)+P-'ろとして得られる。ここで,Pは bz(Za,G)に用いた際の検出力の極限Pnは ≦ ・。。(α))=1一・。。(α)=・対立仮説の下での極限分布を導出することが可能であり,これらの結果を使い,Tnをの下での漸近分布は P(7』/σ の検定統計量の場合と同様に仮オーダ定(A2)と尾一 Φ〔tr522 q(N-k.R)一対立㌔〕仮説の下での漸近分布も同様に導出することができ,そとなる。この二っの検出力の極限を条件(Cl)のの漸近分布を用いることにより,触,TLH,Tsxeの較すると,以漸近的な検出力の差がが単位行列の定数倍であれば,Pc〈Pnと (2)Σ の最大固有値と最小固有値の差が小さければ, (3)Σ とし,ciはTLRの 0,Tsxeのときは一p/(N…k+9)と TLHとTsxeのの最大固有値と最小固有値の差が大きく,Pがなる。とめ標準正規分布の密度関数ときは一pノ(2(N-k+9)),TLHのっまり,TLRのなる。なる。小さければ,Pc>Pnと 6.まとして得られる。ここで,wは下のことが分かる(FujikosMetal.,2004)。 (1)Σ Pc〈Pnと詐一調・{評・語ゾー制下で比本報告では,多変量線形モデルにおける線形仮説に対ときはいう値をとるものとする。検出力は常に他の二っの間の値となり, 検出力は上記の式の2行し,複数の検定統計量の高次元漸近理論に基づく漸近分布の結果を紹介した。また,漸近分布の結果を用いた検目の符号によっ出力の比較を行い,状況に応じた最適な検定統計量の選て決まることが分かる。択法を提案した。複雑な分布の漸近分布を導出することは,分布そのものの近似を得るだけでなく,その統計量 5.TDとその他の検定の比較自身の性質を調べるためにも有効な手段となる。また,今回の漸近理論では,データが正規分布に従う Tnのことを仮定した。しかし,一般的にデータが正規分布に帰無仮説の下での漸近分布はHimeno(2007b)で述べられているが,他従っているとは限らず,高の検定統計量との検出力の比較を行う際には極限分布の結果のみで十分なので,こかどうかを調べることは困難である。したがって,デーこではタが正規分布に従うという仮定無しでの漸近理論もいろ極限分布の結果にっいてのみ触れることにする。条件(C2)と仮説(Al)が帰無仮説の下でいろ提案されている。だが,これらの手法の多くはかな成り立っとする。このとき, り強い仮定が必要であるため,現在かなり緩い条件(楕 d 円分布を含むクラス)の下での高次元漸近理論の研究を 7D/σD→N(0,1) 行っている。 d が成り立っ。ここで,→ 次元データが正規分布に従うは分布収束を示し, 一81一成践大学理工学研究報告参考文献 [1]Dempster,A.P.(1958).Ahighdimensiortaltwosample significancetest,Ann.Math.Statist.,29,995-1010. [2]Dempster,A.P.(1960).Asignificancetestforthe separationoftwoMghlymultivariatesmallsamples, Biomebics,16,41-50. [3]FhjikosM,Y.,HimenoT.,andWakaki,H.(2004). AsymptoticresultsofahighdimensionalMANOPAtest a皿dpowercomparisonwhen血edimensionislaエge comparedtothesamplesize,JJapanStatist.Soc.,34,19z6. [4]HimenqT(2007a).Adiscriminantconditionforthetest ofgreatestpowerin血eMANOVAmodelwhen血e dimensionislogecomparedtothesamplesize, InternationalJournalofPureandAppliedMathematics, 40,89-102. [5]HimenqT(2007b).Asymptoticexpansionsofthenull dishibutionsfortheDempstertracecriterion,Hiroshima Math.J,37,431-454. [6]Muirhead,R.J.(1982).AspectsofMultivariateStatistical Theory,JohnWiley&Sons,NewYork. 一82一 Vo1.50No.2(2013.12)