(a2 + b2)3 (2)

電場と電位の解答
(1)
−y 向き, k
2Qqb
(a2
3
+ b2 ) 2
(2)
−2k √
Qq
a2 + b2
(3)
Qq
Qq 1
−2k √
= −2k
+ mv 2 ∴ v =
2
2
a
2
a +b
!
4kQq 1
1
( −√
)
2
m a
a + b2
(4)
Qq
Qq
may = −2k
y ∴ T = 2π
3 y ≈ −2k
2
2
a3
2
(a + y )
!
ma3
2kQq
(5) エネルギー原理から
1
−Qq
−Qq
Qq
mv 2 + (k
+k
) − (−2k √
) = qE ・2a
2
3a
a
a2 + 3a2
"
2 Qq
∴v=
(k
+ 2qEa)
m 3a
ガウスの法則の解答
(1) ガウスの法則から
r
Q
(i)0 < r < a E ・4πr2 = 4πk( )3 Q ∴ E = k 3 r
a
a
(ii)r > a E ・4πr2 = 4πkQ ∴ E = k
(2) 運動方程式
Qq
mα = −k 3 r T = 2π
a
!
Q
r2
ma3
kQq
(3)
(i)r > c, E = k
Q2
Q2
Q
，
(ii)b
<
r
<
c
E
=
0
,
(iii)a
<
r
<
b,
E
=
k
, (iv)0 < r < a E = k 3 r
2
2
r
r
a
(i)r > c，V = k
(iii)a < r < b V = k
Q
Q
， (ii)b < r < c V = k r
c
Q
Q
Q
3
1 1
kQ
− k + k ，(iV )0 < r < a kQ( − + ) − 3 r2
r
b
c
2a b
c
a
3
電場と電位 10 神戸大 ★★★
(1) 力のつりあいより
T =k
Q2
L2
(2) A，B の運動方程式は
M a = T + QE − k
ma = k
2 式より
a=
Q2
L2
Q2
+ QE − T
L2
2QE
M −m
Q2
，T =
QE + k 2
M +m
M +m
L
(3) 力のつりあいより棒と糸のなす角は θ より
T cos θ = k
Q2
d
，cos θ =
2
d
L
∴ T = k
LQ2
d3
(4) 糸はたるんでおり，張力は０なのでエネルギー保存，水平方向に外力が０なので運動量保存が成立する
から, 糸に張力が発生する直前の A,B の速さを v, V として
エネルギー保存：k
Q2
1
1
Q2
= mv 2 + M V 2 + k
d
2
2
L
運動量保存：mv = M V
2 式より
v=
!
2kQ2 M (L − d)
(M + m)mdL
4
静電エネルギー東北大 ★★★★
(a)
kQ
4d2
(b)
7
(c)
kQ
2d
(d)
kQ2
2d
(e)
kQ
√
2d2
(f)
kQ
−e √
2d2
(g) エネルギー保存より
√
Qe
1
Qe
= mv 2 − 2k
d
2
d
!
√
2(2 − 2)kQe
∴ v =
md
0−
2k
(h)
5
(i)
−Q2
Q2
UD = k √ × 2 + k
， U∞ = 0
2d
2d
√
−(2 2 − 1)kQ2
∴ UD − U∞
2d
(j)
U1 = k
U2 = k
√
Q2
1
1
Q2
(− √ × 4 + × 2) = k
(1 − 2 2)
d
2
d
2
Q2
1
1
1
Q2
(− √ × 2 + √ ×２ − × 2) = k
(−1)
d
2
d
2
2
√
Q2
U2 − U1 = 2( 2 − 1)k
d
(k)
U3 = k
Q2 1
(− )
d
2
U3 − U2 =
5
kQ2
2d
電場と電位記述解答
(1) ガウスの法則より
E ・4πr2 = 4πkQ ∴ E = k
また電位 U は
U =k
Q
r2
Q
r
(2) 系の静電エネルギーより
√
Q2
Q2
1 Q2
U = k √ ×２ + k
= −( 2 − )k
2a
2
a
2a
(3) 移動後の系の静電エネルギーは
!
U = −k
Q2
2a
√
kQ2
W外 = ∆U = ( 2 − 1)
a
(4) 合成電場 E は +y 方向に
E = 2k
よって運動方程式は
a2
Q
y
Q
Q
・!
= 2k
y
3 y ≈
2
2
2
2
2
+y
a3
(a + y ) 2
a +y
eQ
ma = −2k 3 y ∴ T = 2π
a
v=l
【別解】エネルギー保存より
#
2keQ
=
ma3
#
"
ma3
2keQ
2keQ
l
ma3
1 2keQ 2
1
l = mv 2 ∴ v =
2 a3
2
#
2keQ
l
ma3
(5) 移動前と移動後の静電エネルギーは
√ eQ
Q2
4 eQ
Q2
U1 = − 2k
+k
U2 = − k
+k
a
2a
3 a
2a
エネルギー原理から
1
4 √
eQ
mv 2 − 0 + (− + 2)k
= eE ・2a
2
3
a
" $
%
2 4 √
eQ
∴v=
− 2)k
+ 2eEa
m 3
a
3
静電遮蔽 ★★★★★ 金沢改
(1)
Q
電場は，
0≤X ≤r E =0
r≤X ≤R E =k
Q
X2
R ≤ X ≤ R! E = 0
R! ≤ X E = k
Q
X2
(2)x = lθ は微小なので，力は右向きにはたらくので右にずれる。
!
"
Qq
kQq
x
k
≈ 2 1−2
(R0 + x)2
R0
R0
鉛直方向力のつり合いは，
T = Mg
(T θ =)T
x=
x
kQq
= 2
l
R0
!
1−2
x
R0
"
kQqR0
l
M gR03 + 2kQql
(3) ガウスの法則より，
E=k
Q
R12
(4) 中空殻内部は電場が０となるので，中空殻を外した場合この分の仕事を外力は行う
ので，電位差は中空を取り去ったときの方が大きくなる。
(5) とがっている場所の方が電場は大きくなるので，右に動く。
(6) 外側球の表面は対称的なので，外側の正電荷は等方的に分布する。
3

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