BAULEITER HOCHBAU K U R S 2014 - 2015 STATIK / FESTIGKEITSLEHRE 6) DIE EINFACHSTEN STATISCH BESTIMMTEN TRAEGER 1) Definition für statisch bestimmte Systeme 2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken 3) Schnittkräfte beim einfachen Balken a) Die inneren Kräfte b) das Biegemoment c) Die Querkraft d) Zusammenhang zwischen Querkraft und Biegemoment e) Die Normalkraft 4) Der Kragträger 5) Balken mit Kragarmen a) Balken mit einem Kragarm b) Balken mit beidseitigen Kragarmen c) Ungünstige Laststellungen und Grenzwerte Göpf Bettschen Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 2 1) Definition für statisch bestimmte Systeme Zur Bestimmung der Auflagerunbekannten stehen drei statische Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung: V=0;H=0;M=0; Ein Träger heisst daher statisch bestimmt gelagert (äusserlich statisch bestimmt), wenn nicht mehr als drei unbekannte Auflagerstücke vorhanden sind. F AH Länge l Av fest Bv beweglich Soll also ein Träger auf zwei Stützen statisch bestimmt gelagert werden, so muss er ein festes und ein bewegliches Auflager erhalten, denn nur dann sind im ganzen 2 + 1 = 3 Auflagerunbekannte vorhanden. Statisch unbestimmt nennt man dagegen einen Träger, wenn mehr als drei unbekannte Grössen auftreten, Statisch unbestimmte Systeme 4 Unbekannte 6 Unbekannte 4 Unbekannte So bezeichnet man z.B. einen Träger mit zusammen sechs unbekannten Auflagerreaktionen als 6 - 3 = 3 - fach statisch unbestimmt. Die aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmbaren Grössen müssen dann mit Hilfe von Elastizitätsgleichungen, die hier nicht behandelt werden, aus den Formänderungen der Träger berechnet werden. Ein System gilt dann als statisch bestimmt, wenn seine Auflagerreaktionen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene bestimmt werden können. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - BAULEITER HOCHBAU - - Einfach statisch bestimmte Träger - g.bettschen - Seite 3 2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken Unter dem Begriff 'einfacher Balken' versteht man einen Balken, der statisch bestimmt gelagert ist, d.h. seine Auflagerreaktionen können mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene bestimmt werden. Er kann auch Kragarme aufweisen. F AH Bv Länge l Av A B Die Lagerung wird sichergestellt durch ein festes und ein bewegliches Lager. Das feste Lager kann sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen. Das bewegliche Lager, richtig ausgeführt mittels einer Rolle, kann nur Kräfte auf der Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte Balken-Rolle , Rolle-Lager aufnehmen (abgesehen von Reibungskräften). Wir haben am einfachen Balken also drei unbekannte Auflagerkräfte; damit der Balken in Ruhe bleibt müssen diese Auflagerkräfte mit der Belastung im Gleichgewicht sein. Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung. Wir erhalten also drei Gleichungen mit drei Unbekannten; das zeigt uns, dass der einfache Balken statisch bestimmt gelagert ist. Analytische Bestimmung der Auflagerdrücke (Auflagerreaktionen, Auflagerkräfte) Die drei Auflagerkräfte beim einfachen Balken sind mit der Belastung im Gleichgewicht. Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung. AH F Summe V = 0 Bv Länge l Av Summe H = 0 Summe M = 0 A B Die Auflagerreaktionen könnten auch graphisch bestimmt werden (siehe Kapitel ‚Gleichgewicht von Kräften’). Auf diese Methode wird hier aber nicht mehr eingegangen. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 4 Beispiele zur analytische Bestimmung der Auflagerdrücke Beispiel a) F1 F2 F1 = 25 kN F2 = 40 kN F3 = 15 kN F3 6 0° 1 .0 2 .0 1 .0 1) Aufteilung F2 in Horizontal- und Vertikalkomponeneten 2 .0 6 .0 m graphisch B A F2 F2 V 60˚ oder anaytisch: F2H = 40 ∙ cos 60˚ = 20.00 kN F2V = 40 ∙ sin 60˚ = 34.64 kN F2H 2) Neues System, jetzt nur noch mit Vertikal- und Horizontalkräften 25 kN 34.64 kN 15 kN 20 kN AH 1.0 1.0 2.0 AV 2.0 BV 3) Berechnung der Auflagerreaktionen I) Horizontalkräfte ∑H = 0 AH = 20 kN II) Vertikalkräfte Av = ∑ F ∙ x’ / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager B, geteilt durch den Abstand von A zu B) Av = (25 ∙ 5.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 2.0) / 6.0 = 43.15 kN Bv = ∑ F ∙ x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager A, geteilt durch den Abstand von A zu B) Bv = (25 ∙ 1.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 4.0) / 6.0 = 31.49 kN III) Kontrolle mit Summe aller vertikalen Kräfte Av + Bv + ∑F 43.15 + 31.49 – 25 – 34.64 – 15 = 0 → o.k. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Die Lösungen für b) und c) sollen selber erarbeitet werden ! Beispiel b Beispiel c Beispiel d Lösung D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 5 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 6 3) Schnittkräfte beim einfachen Balken a) Die inneren Kräfte Ein Stab wird in Achsrichtung durch zwei gleich grosse, entgegengesetzt wirkende Kräfte F belastet. Weil sich der ganze Stab im Gleichgewicht befindet, muss das auch für jeden seiner Teile zutreffen. Wenn wir also in Gedanken den Stab durch einen Schnitt s---s in zwei Teile zerlegen, muss jeder der beiden Teile für sich im Gleichgewicht sein. Das ist nur möglich, wenn wir uns an den Schnittstellen Kräfte wirkend denken, die den an dem betreffenden Teil angreifenden äusseren Kräften das Gleichgewicht halten. Diese Kräfte werden von den Molekülen zu beiden Seiten der gedachten Schnitflächen aufeinander ausgeübt und heissen innere Kräfte. Sie werden durch einen wirklich geführten Schnitt zerstört, die beiden Stabhälften sind dann, voneinander getrennt betrachtet, nicht mehr im Gleichgewicht. Die am linken Teil angreifende Kraft muss entgegengesetzt gleich gross sein wie die innere Kraft am rechten Teil. Aus der Bedingung, dass jeder Teil im Gleich-gewicht sein muss, sehen wir, dass jede dieser inneren Kräfte die Grösse F hat und in die Stabachse fällt. Die gleichen Ueberlegungen wie beim Zugstab können wir auch beim beliebig belasteten Träger anstellen. Durch die Auflagerkräfte A und B ist der Körper im Gleichgewicht. Trennen wir nun wieder durch einen gedachten Schnitt s - s einen Körperteil ab, so muss auch dieser Teil im Gleichgewicht sein. Aus diesen Überlegungen können nun die Formeln für die sogenannten Schnittkräfte abgeleitet werden: Das Moment M, die Normalkraft N und die Querkraft V bezeichnet man als Schnittkräfte; sie geben uns später über die Materialbeanspruchung Aufschluss und sind deshalb wichtige Bemessungswerte. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc Ri s S a Ri . 06.04.2015 N M s V Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 7 b) Das Biegemoment M = a ∙ Ri ( Ri = innere Resultierende) M = - a ∙ Ri → weil Ri = - Rl M = - a ∙ Ri = A ∙ ea + Fl ∙ ep M = Summe Fi ∙ ei (links oder rechts vom Schnitt) Wie die obige Abschnitt aus den Ableitungen zur Berechnung von Biegemomenten zeigt, ist das Biegemoment eines bestimmten Schnittes gleich der Summe aller statischen Momente aller Kräfte links oder rechts vom Schnitt. Das heisst: das im Schnitt wirkende Moment ist mit dem Moment der äusseren Kräfte im Gleichgewicht. Für die Bemessung eines Tragwerkes ist es nun wichtig, den Schnitt mit der grössten Momentenbeanspruchung zu kennen. Man muss also für verschiedene Schnitte die Momente ausrechnen und diese an den betreffenden Stellen abtragen. Durch Verbindung dieser Punkte erhält man die sogenannte Momentenlinie. Oft kann aber auch nach den Regeln der analytischen Geometrie auf die Form der Momentenlinie geschlossen werden. Vorzeichenregel : Für einfach gelagerte Balken bezeichnet man Momente welche auf der unteren Seite des Balkens Zug erzeugen als positive Momente, und Momente welche auf der oberen Seite des Balkens Zug erzeugen als negative Momente. F F F + A Momentenlinie D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc B 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Beispiele Momentenberechnung D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 8 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Fortsetzung Momentenberechnung Lösung zu Beispiel a) D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 9 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Die Lösung zu Beispiel b) soll selber erarbeitet werden Lösung zu Beispiel c) D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 10 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Lösung zu Beispiel d) Momentenfläche Die Lösungen für e), f) und g) sollen selber erarbeitet werden ! D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 11 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 12 c) Die Querkraft Neben dem Biegemoment gibt es ja noch die weiteren Schnittkräfte 'Querkraft' und 'Normalkraft'. Die Querkraft entspricht der zum Schnitt parallelen Komponente der inneren Resultierenden, wenn der Schnitt senkrecht zur Schwerachse gelegt wird. Die Querkräfte stehen also quer zur Balkenachse und versuchen eine Querverschiebung zwischen den Schnittebenen zu bewirken. F 2 1 AH Bv Av A B Schnitt 1 Schnitt 2 1 V AH F Fv 1 F FH 2 AH V Av V 2 V Av Bv A Bv A B B F 1 Der Verlauf der Querkraft über ein Tragwerk wird mit einer sogenannten Querkraftlinie oder Fläche angegeben. 2 AH Bv Av + v - A B Definition der Querkraft Die Querkraft V für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller senkrecht zur Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt. Vorzeichenregel Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen rechts von ihr, so bezeichnet man sie als positiv. Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen links von ihr, so bezeichnet man sie als negativ. Übungen zur Querkraftberechnung gleiche Beispiele wie bei Momentenberechnung D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Fortsetzung Querkraftberechnung Lösung zu Beispiel a) Lösung zu Beispiel c) Die Lösungen b), d), e), f) und g) sollen selber erarbeitet werden ! D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 13 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 14 d) Zusammenhang zwischen Querkraft und Biegemoment F1 F2 F3 Länge l A B + Querkraftfläche - + Momentenfläche Geht M / x gegen Null, so wird tg oder gleich Null werden, was einem Maximum oder Minimum der Momentenkurve entspricht. Die Momentenlinie weist dort ein Maximum oder Minimum auf, wo die Querkraft gleich Null ist. Anwendungsbeispiel D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 15 Berechnung von Biegemomenten mit der Querkraftsfläche Die Biegemomente können auch als eine Funktion der Querkraftfläche bestimmt werden: Das Biegemonent an der Stelle x entspricht der Querkraftfläche vom Auflager bis zur Stelle x. Anhand der schon in den vorherigen Beispielen berechneten Querkräften und Biegemomenten ist diese Berechnungmethode hier dargestellt: D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 16 e) Die Normalkraft Definition : Die Normalkraft N für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller parallel zur Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt. Vorzeichenregel : Zugkräfte werden als positiv ( + ), Druckkräfte als negativ ( - ) bezeichnet. Beispiele : D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - 4) Der Kragträger Die Lösungen für b) und c) sollen selber erarbeitet werden ! D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 17 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - d) Kragträger mit beliebiger Belastung D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 18 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 19 5) Balken mit Kragarmen a) Balken mit einem Kragarm Statt Theorie, wird das Vorgehen anhand der Berechnung an Beispielen gezeigt: Variante Berechnung vom max. Biegemoment über die Querkraftsfläche: Mmax bei V= 0, also bei x= 2.00 m, bzw Mmin bei Auflager B Mmax= 1.88 x 2.00 = 3.76 kNm MB = 1.88 x 2.00 – 1.20 x 8.12 = - 5.9 kNm = - 6.0 kNm (Rundungsfehler) D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 20 Träger mit gleichmässig verteilter Last Variante Berechnung vom max. Biegemoment über die Querkraftsfläche: Mmax bei V= 0, also bei x= 1.68 m bzw Mmin bei Auflager B Mmax= 0.5 x 10.08 x 1.68 = 8.47 kNm MB = 0.5 x 10.08 x 1.68 – 0.5 x13.92 x 2.32 = - 7.68 kNm D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 21 b) Balken mit beidseitigen Kragarmen Träger mit zwei überkragenden Enden sind sinngemäss wie Träger mit einem Kragarm zu behandeln. Lasten auf den Kragarmen veringern das Feldmoment, entlasten die gegenüberliegende Stütze und vergrössern den Druck für die benachbarte Stütze. Beispiel : Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 22 Fortstzung: Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung Variante Berechnung vom max. Biegemoment über die Querkraftsfläche: Mmax bei V= 0, also bei ca. x= 2.31 m Mmax = - 0.5 x 20.0 x 2.00 + 0.5 x 23.12 x 2.31 = 6.7 kNm Gerundet ca. 6.5 kNm D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 23 Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung Dieses Beispiel dient nur zur Information und gehört nicht zum Pflichtstoff Beispiel : Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung Schritt 1: Berechnung der Auflagerkräfte Schritt 2: Berechnung der Querkräfte Schritt 3: Berechnung der Biegemomente D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 24 c) Ungünstige Laststellungen und Grenzwerte Beim einfachenTräger auf zwei Stützen erhält man die grössten Stützkräfte und die grössten Biegemomente, wenn der Träger vollbelastet wird. Weil die Nutzlast aber meist nicht unbedingt zwingend auf dem ganzen Träger wirkt, müssen bei Träger mit Kragarmen (allgemein bei Trägern mit mehreren Feldern) die verschiedenen Nutzungszustände untersucht werden. Wir begnügen uns aber, wie im Hochbau üblich, mit feldweise veränderlichen Lasten. Beim Träger auf zwei Stützen mit ein oder zwei Kragarmen erhält man die ungünstigsten Werte der Auflagerdrücke nicht bei Vollast, sondern für die veränderliche, wechselnde Nutzlast bei Teilbelastungen. Um die grössten Schnittkräfte zu erhalten, müssen nun verschiedene Laststellungen untersucht werden. Bei einem Träger mit zwei Kragarmen und gleichmässig verteilter Belastung können wir folgende mögliche Laststellungen unterscheiden: Eigengewicht g Nutzlast q a) Träger auf zwei Stützen mit Kragarmen mit gleichmässig verteilter Belastung (Eigengewicht g, Nutzlast q) l1 l2 A l3 B b) Nutzlast nur im Feld (l2) ergibt das grösste Feldmoment Mfmax. c) Nutzlast nur auf l1 : grösstes negatives MA und kleinstmögliche Auflagerkraft B (ev. negativ). d) Nutzlast nur auf l3 : grösstes negatives MB und kleinstmögliche Auflagerkraft A (ev. negativ). e) Nutzlast auf l1 und l3 ergibt minimales Feldmoment (ev. negativ). f) Nutzlast auf l1 und l2 ergibt Amax (Lastfall b und c). g) Nutzlast auf l2 und l3 ergibt Bmax (Lastfall b und d). Weil der Lastfall Eigengewicht immer vorhanden ist, kann man ihn auch getrennt berechnen und die Werte dann mit den entsprechenden Ergebnissen aus den Nutzlasten überlagern. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Beispiel: Ungünstige Laststellungen beim Träger mit zwei Kragarmen Eigengewicht HEB 300: 117 kg/m’ a) Lastfall: Nur Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’ b) Lastfall: Eigengewicht (gk=2.0 kN/m’) und Nutzlast (qk = 4.0 kN/m’) auf Innenfeld c) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 25 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - d) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts e) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und links f) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links und Feld mitte D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Seite 26 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - - Einfach statisch bestimmte Träger - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 27 g) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und Feld mitte h) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf ganzem Träger feldweise wirkend (mit Berücksichtigung der verschiedenen Nutzungszustände) Die maximalen Schnittkräfte erhält man durch Überlagerung der verschiedenen Nutzungszustände. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015 Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - - BAULEITER HOCHBAU - g.bettschen - Seite 28 Ungünstige Laststellungen bei einer rollenden Last Beispiel (Die Last 10 kN tritt immer nur an einem Ort auf) Die Berechnung der Schnittkräfte wird jeweils für eine Laststellung an einem extremen Ort ausgeführt. D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik6.doc 06.04.2015
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