離散数学 (12) 2014 年 7 月 29 日演習問題岡本吉央

離散数学 (12)
演習問題
2014 年 7 月 29 日
岡本吉央
提出締切： 2014 年 8 月 5 日第 6 時限
復習問題 12.1 任意の正の整数 n に対して
追加問題 12.7 任意の正の整数 n に対して
8n − 3n が 5 で割り切れる
11n − 4n が 7 で割り切れる
ことを数学的帰納法により証明せよ．
ことを数学的帰納法により証明せよ．
復習問題 12.2 任意の正の整数 n に対して
追加問題 12.8 3 以上の任意の正の整数 n に対して
2n ≤ 2n
3n2 ≤ 3n
となることを数学的帰納法により証明せよ．
となることを数学的帰納法により証明せよ．(ヒント：
復習問題 12.3 3 以上の任意の正の整数 n に対して
問題 12.3 の結果を用いてもよい．)
6n ≤ 3n
追加問題 12.9 任意の正の整数 n に対して，Cn を
次のように定義する

1
Cn =
 4n−2 C
となることを数学的帰納法により証明せよ．
復習問題 12.4 任意の正の整数 n に対して，an を

1
(n = 1 のとき)
an =
a
+ 2 (n > 1 のとき)
n+1
(n = 1 のとき)
n−1
(n > 1 のとき).
このとき，任意の正の整数 n に対して，
n−1
と定義する．このとき，任意の正の整数 n に対して，
an = 2n − 1
Cn =
(2n)!
n!(n + 1)!
となることを証明せよ．(補足：Cn はカタラン数と
となることを証明せよ．
呼ばれ，よく研究されているものである．)
復習問題 12.5 任意の正の整数 n に対して，第 n 番
追加問題 12.10 任意の正の整数 n に対して，Hn を
フィボナッチ数 Fn を



1


Fn = 1



F
n−1 + Fn−2
次のように定義する

1
Hn =
H
n−1 +
(n = 1 のとき)
(n = 2 のとき)
(n > 2 のとき)
(n = 1 のとき)
1
n
(n > 1 のとき).
このとき，任意の正の整数 n に対して，
で定義する．任意の正整数 n に対して
n
∑
2
Fn+1
− Fn+2 Fn = (−1)n
Hi = (n + 1)Hn − n
i=1
が成り立つことを証明せよ．
が成り立つことを証明せよ．(補足：Hn は調和数と
復習問題 12.6 第 n 番フィボナッチ数を Fn とする
呼ばれ，よく研究されているものである．)
とき，任意の正の整数 n に対して，
((
√ )n (
√ )n )
1+ 5
1− 5
1
−
Fn = √
2
2
5
発展追加問題 12.11 第 n 番フィボナッチ数を Fn と
するとき，任意の正の整数 n に対して，
2
2
F2n+1 = Fn+1
+ Fn2 および F2n+2 = Fn+2
− Fn2
が成り立つことを証明せよ．
が成り立つことを証明せよ．
1

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