2
. 1
支点の静力学
34
Hこか Lを
まt
ためられる。隊司王立)
3魚影より，つぎの{阪か得られる:
合力のフたきさと， そのみ(ri
R“
14.3N
t
a
nα =ユ立一一一一
Rz 1
9
9
.
1N
1
4
.
3N
s
m
α
R 部一一一~
=199.6N
35
問 題
2
.
1
6 図示。)~カの Z およびヲ成分を決後せよ。
2
.
1
7 力2
5
l
b0)作用憲章仁平行な方向と主義援芝方向 0
)
， .
1
J2
0
l
bおよび 3らめの成分な別々にま立めよ。
a=4
.
1
'
是
認
定
、%
1
9
9
.
6Nd 4
.
1。
哨
五一一…一
P
l
11
1
，
.
.
脇(
1
9
9
.
1時
(
1
4.
3
め
計算機を用いると ， R
yの儀会主Eめに入れるときたくわえておくと，録後の百十採が容易になる;ニれは.s
i
nα
で溺られるとき， 1liJ"翌される(まと
p・31の蜘伎をみよ〉。
間強
ゑ
1
4 2
.
5kNの力が，プラケァトに取りつ}すられたケーブノレに飢えられる。この力の水平と紛議長成分;ヱレくら
か
。
5
雲間 2
.
1
8
慰問2
.
1
6および罪l
l
2
.
1
7
2
.
1
品 交え針金 ABめを長力;主 6
50災である。ピ YAに撃事くカの水平成分と鉛i
完成分ときど求めよ
0
2
.訪 問主去の各力 O)Xおよびヲ成分を決定せよ。
2
.
2
車 および 2
.
2
1 長選え去の力 Fの xおよびヲ王立分令主主めよ。カ FO)大きさと，その;方向安定めよ。
智
20N
叙抽
~r
I
b
E
盟関1
2
.
1
4
2
.
1
5 語HEシヲンダ G
EI土，部材 D
F
I
.
こ線分 G
Ei
こめう方向の 1JPを作期させる。 p，工務特 D
F'
こま量政な方向
を絞めよ c
図関2
.
2
0
関問2
.
1
9
に成分叙)()..災害ピ持たなければならな，.ことが知られてレると Lて .pの大きさと .DFに不ねなそのカグ〉成分と
5
置r
u
'
2
.
2
1
2
.
2
2 問題 2.16 の 3 カグヲ合 1J~ 決めよ。
C
2
.訪 問 緩 2.190)2カの合力会求めよ。
2
.
2
4 xおよびヲ成分合服レて， 罪
毒
薬
草 2
.
2を持率け0
2
.
2
5 xお よ び V成分全般いて，務総 2
.
3を持率;す。
2
.
2
6 張力が護老匁0)2
;
$
:0
)ケープルが l点 BI
こま吉ばれて L、る。第 3のケ
プん ABが控え紛として用いられ，
Jが鉛直になるように.AB0)張力安緩め
また Bに取りつけてある。 3本のケープ'んによって作附される力の会 1
よ
む
・
5
極言語 2
.
2
皐
&
l
!
I
罪l
l
2
.
1
5
8
0
f
t
40
2
質点の静力学
計算機を用いて，まず最後の商を計算し，との値をたくわえる。この値に，つぎつぎに s
i
n1
2
0。と s
i
n2。を乗じる
と，つぎの値が得られる.
41
2
.
1
0 質点のつりあいを含む問題自由物体凶
解
コネクションは質点と考えられ，とれを自由物体にとる。凶示のような方向の 4つの力が作用する。これ
らの力は，x成分と F成分とに分解される
T
5
7
0
1
b
AB = 3
T
4
4
1
b
AC =1
∞olb)j
ー咽
P =ー (
1
Q=一(12∞l
b
)c
田
1
5i+ (
1
2
0
0l
b
)s
i
n1
5j
0
0
=
ー (11591b)i+ (3111b)j
例題 2.5
図示の梱包(つりあっている)を支える最小の力 Fの大きさと方向とを決定せよ。ただし，ローラ
T1 ニ T
i
1
から梱包
T2 =T2c
o
s60i+九 s
i
n60j
ニ 0
.
5 T2i+ 0
.
8
6
6T
z
i
∞
に作用する力は，斜面に垂直であるとする。
0
0
，
T
，
T
解
梱包を自由物体に選ひ，とれを質点とみな Lて取扱ってもよいと仮定する。この場合の自由物体図を描く。
つ町あいの条件
コネクションはつりあっているから，その合力は Oでなければならな L、。そこで
R =P+ Q + T1 + T2 =0
制民
5
i
c
f
n
i
294N
lil
l-
つ町あいの条件
T2COS600j
自由物体には， 3力だけが働くからとれがつりあっているととを示す力の 3角形を描く。線
分1
1は Fの既知の方向を表す。力 Fの最小値を求めるため， P方向に垂直に Fの方向を選ぶ。得られた 3角形
より，
F=(
2
9
4N
)s
i
n1
5 =7
6
.
1N α =1
5。
0
F =7
6
.
1N丘
，
.1
5。
~
上に得られた P，Q，T1，
T2の表示式を上式に代入 L，単位ヘグトルi，
jでくくると，
∞
(-11591b+九 +0却 O九)
i+
(
ー 10 l
b+ 3111b+ 0
.
8
6
6T
j=0
2)
りあっていることを知って，張力 T
1，ちを定めよ。
=
v成分の和とが Oでなければならないことを
p =1
削附 l
b
ハリ
司
一
一'9L
向り
，
T =7611b
T1
=ru
山町ハリ
九駒
唱目ム
LU
ヨ+
AV
+l
九幻
bb
唱EA
iAU
可EA
冒
m
(ヱ凡=0
:
)
(ヱ凡=0
:
)
∞
岬
示している。
++
も し お よ び jの係数が Oになるときだけ，との式は満たされる。そこで，つぎの 2つのつりあいの方程式が
得られる。これらの式は，それぞれ，与えられた力の z成分の和と
=
-
例題 2.6
大きさ p 1
0
0
0l
b
.Q 12001bの 2力 P，
Qが図示の航空機コネグションに加えられる。コネクションはつ
2 質点の静力学
38
39
2
.
1
0 質点のつりあいを含む問題自由物体図
L:
、
Z凡 =0
ヱ
凡 =0
未知数が 2つより多い場合には，
(
2
.
1
5
)
これらの方程式を解くことができな L、。同じようにして，
3力が作用して，つりあっている場合に用いた力の 3角形は， 2つの未知量に対して，解ける。
もっと多い，共通した型の問題は
736N
の大きさと方向)，
2つの未知量が， (
1
) 1つの力の 2つの成分(またはそ
(
2
) それぞれ，既知の方向をもった 2つの力の大きさ，である問題である。
1つの力の大きさの極大値または極小値を定める問題も現れる(問題 2
.
3
4，2
.
3
5および 2
.
3
6を
みよ)。
(
b
) 自由物体図
(
a
) 空間図
(
c
) 力の三角形
.
4
例題 2
図2
.
2
9
船の荷干し作業において，重さ 3
5
0
0
1
bの自動車が，ケープノレで支持されている。ロ
トラックはこのクレートを切り離すだろう。クレ
一端は Aで 2つのロープで結ばれ，
トは鉛直ケープノレで支えられ，ケーブルの
これらのロ←プは，それぞれ， Bおよび Cで建物に取りつ
けられた滑車を経て，引張られる。ロープ
プは Aでケープルに結
ばれ，意図 Lている地点上に自動車を置くために引張られている。ケープルが鉛直線となす角は 2"であり，ロ
0
"である。ロ プの張力は L、くらか。
プが水平となす角は 3
ABおよび ACのおのおのの張力を定めよう。
この問題を解くため，つりあっている質点を示す，自由物体図を描かなければならな L、。ロー
プの張力に関心があるので，自由物体図は少なくともこれら張力のうち 1つ，そして，できれば
2つの張力を含むものでなければならな L、。点 Aはこの問題に対し， よい自由物体であること
点 Aの自由物体図が，図
が見られる O 、
2
.
2
9
bに示されている。この図は，点 Aと鉛直ケーブノレ
および 2本のロープから Aに働く力を示している。ケーブノレから働く力は下向きに向いており，
その大きさはクレートの重さ
wに等し L、。式(1.4
)を思いだすと，つぎのように書ける:
W =mg=(75kg)(9.81mj
s
2
)=736N
そして，
この値は自由物体図に示されている。 2本のロープから働く力は未知である。これら
の力の大きさは，それぞれ，ロープ ABとロープ AC内の張力に等し L、。そこで，これらを T
AB
とT
AC で 示 し ， 空 間 図 に 示 さ れ た 方 向 に Aからこれら 2力を画く。これ以外の詳細は，自由
解 点 A を自由物体に選び，完全な自由物体図を描く o
TA
B
、
物体図に含まれな L。
点 Aはつりあいにあるから，
T
Bの張力， T
AB をケープノレ A
AC をロープの張力と
する。
これに働く 3力を先端対末端式に描くとき，これら 3力は閉じ
た 3角形を作らなければならない。この力の 3角形は図
形がある縮尺で描カ通れるならば，
2
.
2
9
cに描かれている。もしこの 3角
ロープの張力 T
ACの値は，図式から求められるか，ま
ABと T
たは 3角法から求められる。解に 3角法が選ばれるとき，正弦法則を用いると，次のように書
ける:
これより，
T
AB
T
AC
736N
s
i
n600
s
i
n400
s
i
n800
T.
C
∞
35 l
b
T
647N
AB =
T
480N
AC =
質点が 3力の下でつりあっているとき，力の 3角形を描いて，
つ円あいの条件
この問題の解が常に求められ
る
。 3つよ η多い力の下で，質点がつりあうとき，力の多角形を描いて，問題が常に解ける。
.
8に与えられた，つりあいの方程式を解かなければならな
もし解析解が望まれるならば，節 2
ι 一切~.，~
5
8
・
3力だけが自由物体に働くから，それがつりあっていることを示す力の 3角形を描く。正弦
法則を用いると，
T
AB
s
i
n1
2
0
0
∞
T
AC
35 l
b
s
i
n2
s
i
n5
8。
0
2
. 質点の静力学
50
ι
指示された計算は計算機を用いて容易に実行される。
-
'dy
'd
ト が得 られる。
(
2
.
2
9
)に F，d
z
zおよび dの値を代入する と， 力 の 成 分 凡，F
このとき Fが座標軸となす角()z
'(
)y
'(
)
zは，式 (
2
.
2
5
)から得られる。式(2
.
2
2) と (2.
27)
2.12 大 き さ と ， 作 用 線 上 の 2点 で 定 め ら れ た 力
とを比較すると，またつぎのように書ける:
d4d
一
一V
c
e
s
σ
A
o
z
2
.
3
4
)
0 Fと同じ向きをもち ，M ，N を結ぶヘクトノレ厄売を考え
did
M(x
Yl'Zl)および N
(
x
2，Y2'
1，
s
o
σ
n
c
多くの問題において，力 F の方向は，その作用線上にある 2点
Z2)の座標で定められる〔図
51
2
.
1
3 空間における共点力の加法
叫与
(
2
.
3
0
)
'
dy
'd
る:そのスカラー成分を，それぞれ，d
z
zで示すとつぎのように書ける :
そこで，ヘクトル M Nの成分とこの ベクトルの大きさとから ，直ちに角 (
}
z
'(
}
y，
(
}
zが決定される 。
N
{
:
η."
2
''
2
)
2
"，"
dy=
2.13 空 間 に お け る 共 点 力 の 加 法
カの直角成分の和を求めて，空間に i
動く 2つ以上の力の合力を定めよう。空間における力の
。
場合，凶式方程式または 3角法による方法は， 一般に実用的ではな L、
ここで説明する方法は，共面力について，節 2
.
7で用いた方法に似ている。
%
R ニ ~F
，
と置き，各力をその直角成分に分解し，つぎのように書く:
図 2
.
3
4
R
z
i十 R
v
j+Rzk= ヱ(凡i+凡j+F
z
k
)
府 =d
z
i+d
y
j+dzk
=(ヱ凡)
i+(ヱ凡)j+(~F.)k
(
2
.
2
6
)
F の作用線に沿う(すなわち，線分 MNに沿う)単位 ベクトノレ λは
， ヘクトノレ扇Nをその大
きさ M Nで割ることで求められる。 M Nに(
2
.
2
6
)を代入し . M N は M から N に至る距離 d
これより，つぎの結果が得られる.
R
z=~Fz
一一一歩
Rz=~Fz
Ry=ヱ凡
(
2
.
3
1
)
に等しいことを観察すると，つぎのように書ける:
合力 R の大きさと，それが座標軸となす角
ー
→
・
・
λ=一一二
MN 1(
d
z
i+d
y
j+d
z
k
)
司 F
MN
(
2
.
2
7
)
d
F は F と λとの積に等しいことを思いだすと ，つぎの式が得られる・
F=FA=~(dzi +d
y
j+d
z
k
)
(
2
.
2
8
)
COSt
1z=
Fd
z
d
-Y
F
d
.
d
ー .
d
z
-- Fd
.
(
2
.
2
9
)
Fの作用線が 2点 M.Nで定められるとき，関係 (
2
.
2
9
)U:.与えられた大きさ F の力 F の
成分を決定するのに，かなりの簡単化をもたらす。 N の座標から M の座標をひくと，ベクト
ノレ戚の成分と，
M かげへの距離が初めに定められる.
d
2- x
1
z=x
dy= Y 2 一日
d=v
'
d;+d~
d
zニ
+d;
Z2 - Zl
R=v
'
R
;+R~ +R
;
R
.
R
ヲ
:
;
J
1
.
これより F のスカラー成分は，それぞれ，つぎのようになることが導かれる:
-z
九，(}zは，節 2.11の方法から求められる。つぎ
(
}
z
'
のように書かれる:
COSf
JlI
= τ子
R
例題 2
.
7
塔のささえ針金は A でボルトで固定されてしる。針金の張力は
2500Nである。 (
a
)ボルトに働く力の成分
ιιιを定めよ。
(
b
)その力の方向を定める角。.
，0
.，0
.を定めよ。
R
c
o
s
(
)
.= ぷ 乙
R
(
2
.
3
2
)
(
2
.
3
2
)
(
2
.
3
3
)
(
2
.
お)
2
. 質点の静力学
52
53
2
.
1
3 空間における共点力の加法
a
. 力の成分 ボルトに働く力の作用線は， A および Bを通る，そして，カは A から B に向レている。力と
同じ方向のベクトル五百の成分は
dz =-40m
d
.=+80m
d
z =+30m
である。 A から B までの全距離は
=d=¥!
d
;+ d;+ d;=94.3m
AB
Eの成分と大きさを用いて，この結果がまた得られる 。)
(注意 F の成分と大きさの代りに，ベ クトノレ 瓦
例題 2.8
こわれたトラヅクを動かすため，トラックの A点に 2つのケープルが取りつけられ，図示のようにウインチ B，
Cによって引張られて L、
る 。ケープ ル ABの張力は 2
α
)
(
)l
b，ケー プル ACの張力は 15001bと Lて
， 2本のケー
プんによって，
トラァクに働く力の合力を定めよ 。
座標軸に沿う単位ベクトルを i
，j
，kで表すと，つぎ の式が得られる
A
B=-(40m)i+ (80m)j+ (30m)k
単位ベクトル λ =瓦BIABを導入すると，つぎのように書ける.
I
¥R
2500N
F =F
'
A= F
ーと=一一一一 AB
AB 94.3m
一 歩
ABに対し見いだされた表示式を代入すると， つぎの式が得られる ・
2500N
F =一一一一[一一 (
4
0m
)
i+ (
8
0m
)
j+ (
3
0m
)
k
]
94.3m
解
F =一(
1
0
切 N
)
i+ (
2
1
2
0N
)
j+ (
7
9
5N)k
B，瓦吉の成分と大きさを定める。座標軸に沿う方向の単位ベクトんを i，j，kで表す
F
_
-1060N
F
2500N
F
2120N
=
-=ーー+
ーーーーーーーー
-." F
2
ヨ
l
ON
COSf
I
.
.=
曹
E
+795N
九 =3
2
.
0・
九 =71
.5。
一
一
一
歩
、
AB 2000l
bー→
T
.o = T
..
，
A.o = T
.o一
:
U
AB
一 =~"'-~~
-A~ てA"
-A "AB
8
2
.
5f
t
Eの式を代入すると，つぎの式が得られる:
見いだされた瓦
20001b
8
2
.
5f
t
=一一一一 [-(52f
t
)
i+ (
5
0f
t
)
j+ (
4
0f
t
)
k
]
おのおのの商と，その逆余弦関数値を計算すると，つぎの値が得られるー
九 =1
1
5
.
1・
=82.5f
t
=95.1f
t
AB
AC
ABに沿う単位ベクトんを λ'ABで示すと，つぎの式が得られる
“
c
o
st
l
z =下=三高官
監
AV
的
2
.
2
5
) を用いて，つぎのように書く・
b
. 力の方向 式 C
COSfI_=-:一=一一ーーーー一一一
L U R La
ハリ
bH
4azva
+-
W
凸り
hH 向
、u aOuA
++
のG O L
u
u
仕
SA'
.
.
.
一
一
一
一
乙=+795N
↓
n
u ↓FU
九 =+2120N
え=ー 1附 N
、
，、
回
一
と，つぎのように書ける
F の成分は
一
A一
A
それゆえ，
，z成分に分解する。まず，トラァクか らウインチに向かう
各ケープルによって，トラックに働く力を X，y
方向に測られるベクトル瓦
.
.
TA B =一(
1
2
6
0
1
b
)
i+ (
1
2
1
2
1
b
)
j+ (
9
7
0
1
b
)
k
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