灘進学教室 ０６（６８５５）３３５４ ０７９７（８４）９３６０ 携帯・ＰＣ http://nadasingaku.com 東大 ０３年 数学 a, b, c を実数とし、 a ¹ 0 とする。 ２次関数 f ( x ) = a x 2 + b x + c が、次の条件(Ａ)、(Ｂ)を満たすとする。 (Ａ) f ( -1) = -1 , f (1) = 1 (Ｂ) -1 ≦ x ≦ 1 を満たすすべての このとき、積分 I=ò 1 -1 ( f ¢( x )) 2 dx x に対し、 f ( x) ≦ 3 x 2 - 1 の値の取りうる範囲を求めよ。 したがって 【答案】 f ( x ) は ±1 を解に持つから f ( x ) = a ( x - 1) ( x + 1) とおける ∴ f ( x ) = a ( x 2 - 1) + x (Ａ)より x = ±1 のとき f ( x )≦3 x 2 - 1 3 - 4- 3 x-2 1 ≦3 = 2 x -1 2 4-2 3 よって (Ｂ)が成り立つための条件は が成り立つから a ≧ (Ｂ)が成り立つ条件は -1 < x < 1 のとき 4- 3 2 このとき 灘進学教室 a ( x 2 - 1) + x ≦ 3 x 2 - 1 I = ò -1 ( 2 a x + 1) 2 dx 1 ... ① = 2 ò 0 ( 4 a 2 x 2 + 1 ) dx 1 が成り立つことである 1 x 2 -1< 0 é 4a 2 ù =2ê x3 + xú êë 3 úû 0 を考えて ①を変形すると x-2 3 x2 - x - 1 = 3 a≧ x2 - 1 x2 - 1 ここで -1 < æ 4 a2 ö =2ç + 1÷ è 3 ø x < 1 より x-2 >0 2 x -1 ìï 4 æ 4 - 3 ö 2 üï ≧ 2í ç + 1 ÷ ý ïî 3 è 2 ø ïþ 44 - 16 3 = 3 ... ② また x-2 1 = x2 - 1 x + 2 + 3 x-2 1 = 3 ö æ 4 - ç2 - x + ÷ è 2 - xø 2 - x > 0 だから 相加平均、相乗平均の関係より 2 - x+ 3 ≧2 3 2-x これと②より x-2 1 ≧ 2 x -1 4 - 2 3 したがって 求める範囲は I ≧ 44 - 16 3 3
© Copyright 2024 ExpyDoc
