1番
π)
関数 f (x) = x − sin x 0 5 x 5
を考える。曲線 y = f (x) の接線で傾きが
2
1
となるものを ` とする。
2
(
(1) ` の方程式と接点の座標 (a, b) を求めよ。
(2) a は (1) で求めたものとする。曲線 y = f (x), 直線 x = a, および x 軸で囲
まれた領域を、x 軸のまわりに１回転してできる回転体の体積 V を求めよ。
【2014 九州大学】
解答
y
(1)
(
π)
f (x) = x − sin x 0 5 x 5
2
f 0 (x) = 1 − cos x =
1
2
O
を満たす x は
cos x =
1
π
⇔x=
2
3
√
−
3 π
+
2
3
だから、
√
π
π
3
a = ,b = −
3
3
2
` の方程式は、
√
1(
π) π
3
y=
x−
+ −
2
3√ 3
2
1
π
3
= x+ −
2
6
2
(2) 求める体積は
∫ π3
2
π (x − sin x) dx
V =
∫
0
π
3
=π
( 2
)
x − 2x sin x + sin2 x dx
0
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
x
∫
π
3
0
∫
[
1 3
x
x dx =
3
2
] π3
=
0
π3
81
π
3
∫
π
π
3
2x sin xdx = [−2x cos x]03 +
0
2 cos xdx
0
π
π
π √
= − + [2 sin x]03 = − + 3
3
3
∫ π3
∫ π3
1
−
cos 2x
sin2 xdx =
dx
2
0
0
(
√ )
[
]π
3
1 2π
2x − sin 2x 3
=
=
−
4
4
3
2
0
よって、
π2 √
π
π4
+
− 3π +
V =
81
3
4
√
π4
π2
9 3
=
+
−
π
81
2
8
c
Darumafactory
(
√ )
2π
3
−
3
2
-2-
RadicalMath

問題 3 ABC は条件 ∠B=2∠A,BC= 1 を満たす三角形のうちで面積が

(1) ∫ x (x + 1)2 dx (2) ∫ π sinx √ cosxdx dx = dt ∫ x (x + 1)2 dx

解答例