問題 3
4ABC は条件 ∠B = 2∠A,BC= 1 を満たす三角形のうちで面積が最大のもので
あるとする。このとき、cos ∠B を求めよ。
【2014 京都大学】
解答
∠A = θ とおくと、∠B = 2θ である。AB= x とおく
と、正弦定理より、
x
1
=
sin (π − 3θ)
sin θ
sin 3θ
∴ x=
= 3 − 4 sin2 θ
sin θ
C
三角形の面積 S は
1
x sin 2θ
2
)
1(
3 − 4 sin2 θ sin 2θ
=
2(
)
1
1 − 2 cos 2θ
=
3−4
sin 2θ
2
2
1
= (1 + 2 cos 2θ) sin 2θ
2
1
S=
A
2θ
θ
x
S を θ で微分すると、
1
· (−4 sin 2θ) sin 2θ + cos 2θ (1 + 2 cos 2θ)
2
= −2 sin2 2θ + cos 2θ + 2 cos2 2θ
S0 =
= −4 + 4 cos2 2θ + cos 2θ
= 4 (cos 2θ − p) (cos 2θ − q)
(
√ )
√
−1 + 33
−1 − 33
,q =
p=
8
8
π
だから、
3
cos 2θ − q = 0 ⇔ θ = α
ここで θ + 2θ < π ⇔ θ <
のときに極値をとり、増減は下表のようになる。
π
x
0
···
α
···
3
f 0 (x)
+
f (x)
c
Darumafactory
0
−
極大
-1-
RadicalMath
B
これより、
√
−1 + 33
cos 2θ = cos B =
8
c
Darumafactory
-2-
RadicalMath

Document 7402949

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