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赤阪正純 (httpンク
連立漸化式の解き方
θ雀鶴i服
連立漸化式の解き方
連立漸化式とは,その名のとおり
(1)
という形
{:￨￨￨三 :監11争
があって ,α 2.1やみη+1が睦 π とうη」から定まることを意味していまり
i][][t■ ぅ[11ゞ 1増しi千 1霞
はあくまでも「連立」漸化式ですかヽ
ら,解法も普通の連立方程式の場合と同様に 2通りの解法があります
Point
解法 ①
2つの漸化式をうまく組み合わせて置き換えをして処理する (加減法的解法)
どのように組み合わせるのかは状況による (たいてい誘導がある)
一
一方の漸化式を (少し変形して )他方の漸化式に代入し,数列 {α η}または数列
解法 ②
}だけの
{み π
漸化式を作る (代入法的解法).
たいてい 3項間漸化式に帰着する
一
θ 詢
連立漸化式は,係数の状況によって解き方に違いがあります
詳しく調べることにしよう
ナナメの係数が等しい場合
{;￨￨II::11:%
一
ナナメの係数が等しいタイプ
｀
マブ Z=∼ 1
① ―② より
,
場
解法 ①
場
ｂ
αl=1,
αη十仇 =4・ソ 1 ¨③
物％
1
θ
計規
け一
一〓
例題
呻
慨
勁
出
ナナメの係数が等しいタイプの漸化式は, ノーヒントで出題されることがまれにあります
αη
+1 ク η
+1=%― ♭η
απ―場 =ご ″とおくと,α η
+1=α η
よって,数列 {α π}は定数列なので
減法的解法 )
(カロ
,
ごη=α l=α l―
α″― bη
①
① 十② より
わりL
・
鰤摯ιずね
bl= 2
″ぉ
考え方 2つの漸化式の和 (① +② ),差 (① ―② )
を考える (辺々を足したり引いたりする)
=-2¨ ・④
た ´
したがって
,
,
απ
+1+う η
+1=3の +3♭ π=3(α
"十
場)
αη+賜 =ο 2とおくと,Oη +1=30″
よって ,数列
列なので
Oπ
(%}は ,初項 οl,公比 3の等比数
③
2α
+④
より
,=4・
,
3η
1-2
③ ―④ より
,
2場 =4・ン
1+2
α
場=2・
b2=2・
3η
3η
1-1
l+1
,
=ε 13η l=(α l十う1)321=4・ 3211
■
設′驚
1『 :欺く
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赤阪正純 (httpンフ
fc2 com)
⑥ より,α 2■ 1-3α π=α 2とおくと,グ η
+1=ご η
(代入法的解法)
解法 ②
連立漸化式の解き方 (2)
よって,数列 {グ π
}は定数列なので
,
考え方 ① ょり,磁
=α η+1-2α ηなので,こ
れを ② に代入して,数列 {%}だけの漸化式を
α2=∂ 1=α 2 3α l=5-3=2
′
αη
+1 3α η=2… ⑥
作る
0
′
′
⑤
⑥ より
,
① より,磁 =α η
+1-2α η
よって ,陽 .1=α η
+2 2α η+1
- 4・ 32 1
αη
+1-― α
η ―
αη
+1-3α η - 2
これらを ② に代入すると
,
αη
+2
3濠間
2α π+1=α
"+2(α
20場
π
+1-2`L)
=0
η
+2 4α η
■+3α π
ガしギ ∴α
2_4′ +3=0より
考プ
場
“(特方程式′
:r島
″メ
Jl■
αη=2・
==
4・
1-2
3π
あが
得な① の
F 1-1
32-1なので
よって,%+l=2・
圧倒りК
れ
簿キιす
,
,
3)=0よってι=1,
TYPe① (`1)(′
3)
bπ
漸化式より
,
{%罵
三
1霊 )18
11蹴
靴
⑤ より,α η+1-α π=Oη とおくと,cπ +1=3ε η
よって ,数列
列なので
l=(α
2 α l)321=(5-1)・ 3η
∴ α
η
+1 α π=4・
ば
2
3η
=6・
3η
3π
=2・
3η
1-1-4・
1+1
″
l-1)
1+2
うん
下「勇
ζ襲い
12:17:讐ご
か
ζ
』
ξ
:f嚢 ∬
ず
][り
,
=ι 13η
動
}は ,初項 ιl,公比 3の等比数
{ο η
=αη.1-2α η
=2・ 3η -1-2(2・
3211・
l=4・ 3η 1 診注特性方程式が
`=1を
解にもつので ,⑥
からいきなり αηを求めてもかまいません
¨⑤′
′
￨ノ
当然 ⑤
は不要になります
― の話ですハ組み合わせ方めからない場創よ解法② で解に出こなりま九
ク
躍
ナナメの係数が等しいとは限らない場合
{:￨￨II′ ;￨:I詣
一
ナナメの係数が等しいとは限らない一般タイプ
今度は,ナナメの係数が等しいとは限らない一般型タイプの漸化式です
先ほどの解法を振り返ると, 解法 ①
の方が簡単でした
つまり式を上手く組み合わせて解くわけです
が,ナナメの係数が等しい場合は,式をそのまま足したり引いたりすれば,何となく上手くいきそうな感じ
がすると思いますが,ナナメの係数が等しくない場合だと,どうも上手くいきません
み合わせるのでしようか
次の例題
2や
それには,必ず誘導があります
.
3は ,咄合せの方法を教えてあげるから
て
い
し
る
が
わ
か
ね
導
り
ま
す
囮
ク
フみ7ム
では,そのように組
国
で解きなさ向
と誘
灘
∼

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