赤阪 正 純 (htt“ nupri.web fc2 com) “ 円柱ナナメ切 り (1) 円柱 ナナ メ切 り 次 の問題 は,古 くか らある体積計算の本質 を学ぶためにとっても重要な問題です 例題 がある 底面 の半径 が . 2,高 さも 2の 直円柱 この底面の直径 ABを 含み,底 面 と の傾 きをなす平面 で,直 円柱 を 2つ の部分 45° に分 ける とき,小 さい 方の立体 の体積 7を 求 めよ メ ー ジいが で る よ に し よ き う テ い a多 の 注 右 の ような立 体 にな ります 自力 で イ (と 考え方 立体の体積 を求めるには,立 体 を細か く切 ってそれ らを寄せ 集めるとい う方法をとります どの 方向に切 って考 えるか,が 勝負 の分かれ 目ですが,基 本的に どのよう1モ■ っても体積 を求めることがで きま でも,切 る方向によって労力 にず いぶん差があ す せ っか くなので,今 回の問題 では,い ろんな方向 きて さて,ど のよ うに切 るのが最適なので しよう 1 ″ 軸 に垂直に切 った場合 図の ように座標軸 を設定 し,″ 軸 に垂 直な面 で切 ると,断 面 は直角二等辺三角形 にな ります ″ =` た ときの断面積 を求めてみ よう . まず,円 柱を上から眺めると右下の図のようにな ります OP=′ ,OQ=2な ので,三 平方の定理より , PQ=/4-12 です。また △PQRは 直角二等辺三角形なので ′ PQ=QR=ν 4-ι 2 , です したがって,△ PQRの 面積 S(ι )は S(`)=y4-`2× /4-″ く マ 号 ,=; 2〉 , (4-′ 2) υ よって ,も とめる立体 の体積 は ぐ , y=∫12号,(4-′ 2)グ ″ =2」i2,(4-`2)α ′ =[4`― ゼL]￨ 3 16 0 t‐ P ″ tの ｀ 回 の″―ブふ もヽt17ぅ セτ 史^,nか ら 見 ■ほ "史 =ん nupri web.fc2.com) 赤阪正純 (htt¨ 円柱 ナナメ切 り (2) “ 2 υ軸 に垂直 に切 った場合 先ほどと同じように座標軸 を設定 し,今 度は υ軸 に垂直な面で切 ってみよう する と,断 面 は長方形 にな ります lυ 断したときの断面積を求めてみよう =`で 切 再び,円 柱 を上から眺めると右下の図のようにな ります したがって,QRの 長 さは三平方の定理 より , ′ QR=2ν 4-′ 2 いま,△ PQTは 直角二等辺三角形なので , PQ=QT=` です したがって,長 方形 PQRSの 面積 S(`)は S(`)=2y4-`2× , `=2`y4-`2 =V4-″ よって,も とめる立体の体積は , 2 マ/4-′ α′ ヽ T 0 ﹁ V4-`2=sと 置換すると,4-′ 2=s2な ので ィ 一 ． ″=i、 ル フ仁 22′ ■かラ ス5ヒ・…‐ 2 , -2″ ′=2sグ sで あり , U ″ tの ■大 りτ づ。 しＬ な ので ブド 日^み ― , ● 3,た 属 じ I =i.OS(-2s)ご s `2ィ ヽ 卜, じttι ヽ /― ソ イ 網たぃ方向かラ児■ 22s2ご ==、 不1ネ s ■ 3に し 考 14へ =[:s3]￨ =f フ ご こうそう 珍 注 最後 の積分計算 で置換積分 をすることを除けば 考 え方 において ,″ 軸 で 切 って考 えた場 合 とほ と , ん ど大差 あ りません.こ の方法もマスター してお こ う 力CCl' γ ″ ″ )zよ ι菓あ:" 和 メモ う″袈 だlT 2‐ ‐ ずκZ 74L↓ よ ユ '7立 年η仔維 バー 入ゴイLR、 、 atん ,ゝ Zt‐ ￨ :亀 _ ね
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