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平成 26 年度計量経済学 I
第 11 回「線形制約の検定 (1)」
原尚幸
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新潟大・経済
http://www.econ.niigata-u.ac.jp/˜hara/ecm1/
[email protected]
H. Hara (Niigata U.)
線形制約の検定
Dec 16, 2014
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コブ・ダグラス型生産関数
Yi : 付加価値額, Ki : 資本設備額, Li : 労働投入
Yi = α0 Kiβ1 Lβi 2
i : ある特定の産業における各企業をあらわす添字
経済学における標準的な興味：
その産業の生産関数が規模に関する収穫不変性を満たすか？
規模に関する収穫不変性
⇔ β1 + β2 = 1
⇔ aYi = α0 (aKi )β1 (aLi )β2
問題
規模に関する収穫不変性をどのように実証すればよいか？
H. Hara (Niigata U.)
線形制約の検定
Dec 16, 2014
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コブ・ダグラスモデル
ある特定の産業の n 社のデータを用いて生産関数を推定したい
Yi , Ki , Li , i = 1, . . . , n
コブ・ダグラス型生産関数
Yi = α0 Kiβ1 Lβi 2 ⇔ log Yi = log α0 + β1 log Ki + β2 log Li
誤差項を加えて
log Yi = log α0 + β1 log Ki + β2 log Li + i
このモデルを OLS 推定すればよい
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線形制約の検定
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規模に関する収穫不変性の検定
コブ・ダグラスモデル
log Yi = log α0 + β1 log Ki + β2 log Li + i
規模に関する収穫不変性
β1 + β2 = 1
をどのように実証すればよいか？
H0 : β1 + β2 = 1 の検定を構成できるか？
t 検定は個別の回帰係数に対する H0 : βk = 0 というタイプの
帰無仮説に対する検定
⇒ この場合は適用できそうにない
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複数の回帰係数の有意性の検定
重回帰モデル
Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + i
H0 : β2 = β3 = 0
Yi = β0 + β1 Xi1 + i
H1 : H0 でない
⇔ H0 : β2 = β3 = 0 という制約がない
⇔ 元のモデル
問題
このような検定をどのように構成するか？
答
線形制約の F 検定
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線形制約の検定
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線形制約
線形制約
帰無仮説は元のモデルに課した制約である
回帰係数の 1 次式からなる帰無仮説を特に線形制約,
または線形仮説と呼ぶ
.
Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + i
H0 : β1 = 0
⇔ Yi = β0 + β2 Xi2 + i
.
H0 : β1 + β2 = 1 ⇔ Yi = β0 + β1 Xi1 + (1 − β1 )Xi2 + i
H0 : β1 = β2 = 0 ⇔ Yi = β0 + i
これらはすべて線形制約
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線形制約の検定
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線形制約
線形制約は一般には複数個存在する
Yi = β0 + β1 Xi1 + · · · + βK−1 Xi,K−1 + i
H0 : β1 = 0 → 1 個の制約
H0 : β1 + β2 = 1 → 1 個の制約
H0 : β1 = β2 = 0 ⇔ β1 = 0 かつ β2 = 0 → 2 個の制約
H0 : β1 = β2 · · · = βK−1 = 0 → K − 1 個の制約
以降, 線形制約が r 個存在すると仮定して
H0 : 元のモデルへの r 個の線形制約
H1 : 元のモデル
という検定を考える
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線形制約の検定
S02 : H0 のモデルを OLS 推定したときの残差二乗和
H0 のモデルで説明できなかった変動
S12 : H1 のモデルを OLS 推定したときの残差二乗和
H1 のモデルで説明できなかった変動
S12 ≤ S02
モデルが複雑なほど残差二乗和は小さくなる
Sr2 := S02 − S12
H0 の制約を外すことで説明できた変動
モデルを H0 から H1 にしたことで説明できた変動
H1 のモデルの H0 のモデルに対する相対的な説明力の高さ
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線形制約の検定
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線形制約の検定
3 つの変動の関係
S02 , S12 , Sr2 には
S02 = Sr2 + S12
が成立
.
H0 で説明できなかった変動
= H0 の制約を外したことで説明された変動.
+ H0 の制約を外しても説明できなかった変動
= H1 にしたことによって説明された変動
+ H1 にしてもなお説明できなかった変動
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線形制約の検定
F 統計量
r : 制約の数
K : H1 のモデルの回帰係数の数 (含定数項)
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
.
を F 統計量という
H0 の下で S12 , Sr2 は独立に
S12
∼ χ2 (n − K),
σ2
Sr2
∼ χ2 (r)
σ2
したがって H0 の下で F ∼ F (r, n − K)
.
F (r, n − K) : 自由度 r, n − K の F 分布
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F 統計量の性質
S02 = Sr2 + S12 ,
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
Sr2 : H1 のモデルの H0 のモデルに対する相対的な説明力の高さ
H0 が正しい → H0 のモデルの説明力が高い
→ Sr2 が S12 に比べて相対的に小さい
→ F が小さい
H1 が正しい → H1 のモデルの説明力が高い
→ Sr2 が S12 に比べて相対的に大きい
→ F が大きい
H0 からの離れ方を F がどれだけ大きいかで評価する
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線形制約の F 検定
線形制約の F 検定
F0.05 (r, n − K) ：F (r, n − K) 分布の上側 5% 点
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
.
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線形制約の検定の手続き
線形制約の検定の手続き
Yi = β0 + β1 Xi1 + · · · + βK−1 Xi,K−1 + i
H0 : r 個の制約, H1 : 元のモデル
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
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線形制約の検定
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F 検定の p 値
F 検定の p 値
F ∗ : データから計算した F 統計量の実現値
P (F > F ∗ ) < 0.05 で H0 を棄却し , H1 を採択
P (F > F ∗ ) > 0.05 で H0 を採択
P (F > F ∗ ) を F 検定の p 値と言う
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規模に関する収穫不偏性の検定
コブ・ダグラスモデル
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
Yi : 付加価値, Ki : 資本, Li : 労働投入
H0 : β1 + β2 = 1
H1 : β1 + β2 6= 1
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規模に関する収穫不偏性の検定
線形制約の検定の手続き
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H0 : β1 + β2 = 1, H1 : β1 + β2 6= 1
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
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規模に関する収穫不偏性の検定
線形制約の検定の手続き
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H0 : β1 + β2 = 1, H1 : β1 + β2 6= 1
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
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規模に関する収穫不偏性の検定
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
H0 : β1 + β2 = 1
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i
= β0 + β1 log Ki + (1 − β1 ) log Li + i
= β0 + β1 (log Ki − log Li ) + log Li + i
Zi := log Yi − log Li , Wi := log Ki − log Li とおけば ,
Zi = β0 + β1 Wi + i
→
単回帰モデル
この単回帰モデルを OLS 推定して, その残差二乗和を S02 とする
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規模に関する収穫不偏性の検定
線形制約の検定の手続き
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H0 : β1 + β2 = 1, H1 : β1 + β2 6= 1
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
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規模に関する収穫不偏性の検定
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H1 : β1 + β2 6= 1 ⇔ 元のモデル
元のモデルを OLS 推定して, その残差二乗和を S12 とする
3
Sr2 = S02 − S12
Sr2 を計算
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19 / 23
規模に関する収穫不偏性の検定
線形制約の検定の手続き
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H0 : β1 + β2 = 1, H1 : β1 + β2 6= 1
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
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規模に関する収穫不偏性の検定
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
このモデルの場合, r = 1, K = 3
したがって,
F :=
Sr2
2
S1 /(n −
3)
によって F 統計量を計算
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規模に関する収穫不偏性の検定
線形制約の検定の手続き
log Yi = β0 + β1 log Ki + β2 log Li + i ,
i = 1, . . . , n
H0 : β1 + β2 = 1, H1 : β1 + β2 6= 1
1
H0 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S02 を計算
2
H1 のモデルを OLS 推定して残差二乗和 S12 を計算
3
Sr2 = S02 − S12
4
F 統計量
F :=
Sr2 /r
S12 /(n − K)
を計算
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
H. Hara (Niigata U.)
線形制約の検定
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22 / 23
規模に関する収穫不偏性の検定
5
F > F0.05 (r, n − K) で H0 を棄却して, H1 を採択
6
F ≤ F0.05 (r, n − K) で H0 を採択
r = 1, K = 3
F ∼ F (1, n − 3)
F0.05 (1, n − 3) を求めて F との大小によって検定する
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