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経済数学 (2) 第 14 回
補足と復習
美添泰人
yasuto [email protected]
2 次元行列の行列式
(
)
a1 b1
• 2 × 2 行列の場合 A =
なら detA = |A| = a1b2 − a2b1
a2 b2
• 意味は，ベクトル a = (a1, a2) と b = (b1, b2) の作る平行四辺形の符号
付き面積
• ベクトル a = (a1, a2) と b = (b1, b2) の作る平行四辺形の符号付き面積
を S(a, b) と表わすとき，S(a, b) が満たす性質を確認する．
(a) 基本単位ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) に対して S(e1, e2) = 1
(b) S(ta, b) = tS(a, b) （t は任意の実数）
(c) ベクトル a = (a1, a2) と a′ = (a′1, a′2) に対して S(a + a′, b) =
S(a, b) + S(a′, b)
(d) b = ka （一次従属）なら面積はゼロ：S(a, b) = S(a, ka) = 0．
(e) ベクトルを入れ替えると符号が変わる：S(b, a) = −S(a, b)
1
2 次元行列の行列式（つづき）
1. S(b, a) = −S(a, b) の確認（証明）
S(a+b, a+b) = 0 を展開する：S(a+b, a+b) = S(a, a+b)+S(b, a+
b) = S(a, a) + S(a, b) + S(b, a) + S(b, b) = S(a, b) + S(b, a) = 0
2. S(e2, −e1) は S(e1, e2) を 90 度回転したものだから面積は等しい：
S(e1, e2) = −S(e2, e1) となるのは自然．
3. あるベクトルの定数倍を他のベクトルに加えても行列式の値は変化しない：
S(a, b + ka) = S(a, b) + S(a, ka) = S(a, b)
2
n 次元行列の行列式
• n 個の n 次元ベクトル a1, a2, · · · , an が作る n 次元平行四面体の符号付
き体積を S(a1, a2, · · · , an) と表わす．
(
)
• これを行列 A = a1 a2 · · · an の行列式と呼び，A = |A| と表わす．
(a) 基本単位ベクトル e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0) en =
(0, 0, · · · , 1) に対して S(e1, e2, · · · , en) = 1
(b) （定数倍）S(a1, · · · , taj , · · · , an) = tS(a1, · · · , aj , · · · , an)
(c) （和）S(a1, · · · , aj + a′j , · · · , an) = S(a1, · · · , aj , · · · , an)
+ S(a1, · · · , a′j , · · · , an)
(d) （交換）S(· · · , ai, · · · , aj , · · · ) = −S(· · · , aj , · · · , ai, · · · )
• n = 2 の場合の規則を確認する．
• n = 3 の場合の規則を確認する．
（板書）
3
行列式の性質
◦ 余因子： n 次元行列 A = (aij ) の第 i 行と第 j 列を除いた n − 1 次元行
列 A = (aij ) を Aij と書き，その行列式を (−1)i+j 倍したものを余因
子 (cofactor) と呼ぶ．
∆ij = (−1)i+j detAij
記号 ∆ij は標準的だが，Ai,j は仮の記号
◦ 行列式の展開： n 次元行列 A = (aij ) の j 列目に関する展開：
detA = a1j ∆1j + a2j ∆2j + · · · anj ∆nj
◦ A = (aij ) の i 行目に関する展開：
detA = ai1∆i1 + ai2∆i2 + · · · ain∆in
◦ 転置行列 A′ の行列式：detA = detA′
4
行列式の練習 (1)
1 2 3 1 2 3 1 −4
2 3 + 7
= ···
(1) 8 9 4 = 0 1 −4 = 1 6 5
1 −4
7 6 5 7 6 5 ◦ 1 行目を展開せよ
◦ 1 列目を展開せよ
(2) 適当に工夫して行列式を求めよ
5
行列式の練習 (2)
1
1
1
1 −1
1
1 −1 (1) 1
1 −1 −1
−1
1 −1
1
a11 a12 a13
a11 0
0 (2) 0 a22 a23 = 0 a22 a23
0 a32 a33
0 a32 a33
a11 a12 0
0
a21 a22 0
0 (3) 0 a33 a34
0
0
0 a43 a44
6
逆行列と行列式
n
∑
• A = (aij ) の j 列目に関する余因子展開：
aij ∆ij = detA
i=1
a1j ∆1j + a2j ∆2j + · · · anj ∆nj = detA
異なる列 j ′ ̸= j の余因子による展開：
n
∑
aij ∆ij ′ = 0
i=1
a1j ∆1j ′ + a2j ∆2j ′ + · · · anj ∆nj ′
• 余因子行列または随伴行列 (adjoint matrix) adjA とは第 (i, j) 成分
に行列 A の第 (j, i) 余因子 ∆ji をもつ行列．
adjA = (∆ji)
(n × n)
• A−1 = (1/detA) adjA
(adjA) A = (detA) I
I は n 次元単位行列
7
逆行列と行列式（つづき）
次の行列の逆行列を求めよ．


2 1 1
(1) 1 2 1
1 1 2

0
1
0
−1 0
1
(2) 
 0 −1 0
0
0 −1

0
0

1
0
8
連立一次方程式（Cramer の解法）
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
···
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
• A = (aij ), x = (xi), b = (bi) とおくと，行列表示の連立一次方程式
Ax = b
• x=
の解は，逆行列が存在すれば x = A−1b である
A−1b を余因子を使って逆行列を表現すると，xj
=
∑n
i=1(∆ij bi)/|A|
を得る．
9
連立一次方程式（Cramer の解法，つづき）
∑n
i=1 ∆ij bi は行列
A の第 j 列を b で置き換えて，得られた行列の行列式を，
第 j 列に関して展開したものである．
これから次の表現（Cramer の公式）を得る．
a11
.
..
xj = ..
.
an1
· · · b1
· · · ...
· · · ...
· · · bn
···
···
···
···
a1n / a11
... ...
.
... ..
an1
ann · · · a1j
...
···
...
···
· · · anj
···
···
···
···
a1n ... ... ann • この公式を用いて方程式を解くのは，一般には非効率的である．
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演習問題
• 行列式の計算
• 線形計画法の問題（グラフによる解法と解釈）
• 固有値と固有ベクトル
• 前半の範囲から
◦ 連立方程式とはきだし法
◦ 逆行列
◦ 産業連関分析
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