4 x,y,z の代数方程式の整数解次の条件を満たす組 (x, y, z) を考える。

４ x,y,z の代数方程式の整数解
次の条件を満たす組 (x, y, z) を考える。
条件 (A)：x, y, z は正の整数で、x2 + y 2 + z 2 = xyz および x ≦ y ≦ z を満たす。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件 (A) を満たす組 (x, y, z) で y ≦ 3 となるものをすべて求めよ。
(2) 組 (a, b, c) が条件 (A) を満たすとする。このとき、組 (b, c, z) が条件 (A) を満た
すような z が存在することを示せ。
(3) 条件 (A) を満たす組 (x, y, z) は、無数に存在することを示せ。
x2 + y 2 + z 2 = xyz より
z 2 − xyz + x2 + y 2 = 0
これを z についての２次方程式とみて、これを満たす整数 z が存在するならば、判
別式 ≧ 0 より
x2 y 2 − 4x2 − 4y 2 ≧ 0 すなわち (x2 − 4)(y 2 − 4) ≧ 16…[1]
y = 2 ならば (x2 − 4)(y 2 − 4) = 0
y = 1 ならば条件 y ≧ x ≧ 1 から x = 1 であり
(x2 − 4)(y 2 − 4) = 9
いずれの場合も [1] は成り立たないから、y = 3 でなければならない。
16
このとき、[1] より 5(x2 − 4) ≧ 16 ∴ x2 ≧ 4 +
5
ここで、3 = y ≧ x ≧ 1 であるから x = 3
以上より、x = y = 3 でなければならないので、z 2 − xyz + x2 + y 2 = 0 より
z 2 − 9z + 18 = 0
(z − 3)(z − 6) = 0 ∴ z = 3, z = 6
ゆえに、求める x, y, z の組は
(x, y, z) = (3, 3, 3), (3, 3, 6)…（答）
(2)b2 + c2 + z 2 = bcz
⇐⇒ z 2 − bcz + abc − a2 = 0(∵ b2 + c2 = abc − a2 )
⇐⇒ (z − a)(z − bc + a) = 0
⇐⇒ z = a, z = bc − a
ここで (1) から b ≧ 3, また 1 ≦ a ≦ b ≦ c であるから
(bc − a) − c = c(b − 1) − a ≧ 2c − a
= c + (c − a)
> 0…[2]
よって、z = bc − a ととると b2 + c2 + z 2 = bcz かつ b ≦ c ≦ z が成り立つ。
ゆえに組 (b, c, z) が条件 (A) を満たすような z が存在する。（証明終）
(3)(x1 , y1 , z1 ) = (3, 3, 6),
(xn+1 , yn+1 , zn+1 ) = (yn , zn , yn zn − xn )(n = 1, 2, …）
によって、数列 xn , yn , zn を定める。
(2) より (xn , yn , zn ) は条件 (A) を満たし、[2] より z1 < z2 < … < zn < …である。
よって、(xn , yn , zn )(n = 1, 2, 3, …）はすべて異なる。
1
ゆえに、条件 (A) を満たす組 (x, y, z) が無数に存在する。
2
3

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