ー材料力学講義ー
第9回
平成26年6月13日（金）
前々回からのテーマ：真直はりの応力（曲げ応力σx）
S Z   ydA  0
A
Sz：断面1次モーメント
I Z   y dA
2
A
Iz：断面2次モーメント
2
今回のテーマ1：最大曲げ応力と断面係数
●最大曲げ応力σx(max)
曲げモーメントMxが作用するある断
面の曲げ応力の最大値σx(max)は，
はりの中立軸から最も離れた位置
y=ymax（最上部 or 最下部）に生じる．
よって，ある断面でのはりの強度は，
Z=Iz/ymaxに比例することとなる．
このZを断面係数と称する．
 x (max)
Mx
Mx

ymax 
Iz
Z
3
●断面2次モーメントと断面係数
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今回のテーマ2：はりの曲げ強度に関する諸問題
●平等強さのはり
・一般に，はりの曲げでは，曲げモーメントは軸方向で変化し，
断面形状が一様ならば危険断面（曲げモーメント最大の断面）
において曲げ応力は最大となる．
・設計においては，この最大曲げ応力が許容応力以下になるよ
うに断面形状を決定する．
・しかし，この場合，危険断面以外では許容応力以下となり，材
料使用面からは不経済である．
・はりのいずれの断面においても最大曲げ応力が一様となるよ
うに断面形状を変化させると，最小の材料で設計が可能となる．
・このようなはりを，平等強さのはりという．
5
Example 1
・図に示す片持はりの自由端に，集中荷重が作用している．
・断面形状は，高さがh，x=l における幅がb0の長方形である．
・このはりが平等強さのはりとなるためには，幅bxをどのように
設計すればよいか？
6
Example 1
※ まずは，曲げモーメントMx
M x   Px
※ つぎに，断面2次モーメントIzと断面係数Z
3
bx h
Iz 
,
12
bx h
Iz
Z

ymax
6
2
※ よって，最大曲げ応力σx(max)は
 x (max)
M x 6 Px


Z
bx h 2
上：引張
下：圧縮
7
Example 1
 x (max)
M x 6 Px


Z
bx h 2
※ ここで，x=lのときbx=b0より
 l (max)
6 Pl

b0 h 2
※ 平等強さのはりとなるには
 x (max)
∴
6 Px 6 Pl


2
2
bx h
b0 h
b0
bx  x
l
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Example 2
・図に示す片持はりの自由端に，集中荷重が作用している．
・断面形状は，幅がb，x=l における高さがh0の長方形である．
・このはりが平等強さのはりとなるためには，高さhxをどのよう
に設計すればよいか？
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Example 2
※ まずは，曲げモーメントMx
M x   Px
※ つぎに，断面2次モーメントIzと断面係数Z
3
bhx
Iz 
,
12
bhx
Iz
Z

ymax
6
2
※ よって，最大曲げ応力σx(max)は
 x (max)
M x 6 Px


2
Z
bhx
上：引張
下：圧縮
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Example 2
 x (max)
M x 6 Px


2
Z
bhx
※ ここで，x=lのときhx=h0より
 l (max)
6 Pl

2
bh0
※ 平等強さのはりとなるには
 x (max)
∴
6 Px 6 Pl


2
2
bhx
bh0
hx  h0
x
l
11
Example 3
・図に示す単純支持はり（幅b）の中央に，集中荷重が作用している．
・このはりに，軽量化のために両端からλの範囲に直径h/2の孔が
適当な間隔であけてある．
・孔をあけることではりの強度を弱めないためには，λはどのような
範囲になければならないか？
12
Example 3
※ まずは，反力RA，RB
P
RA  RB 
2
※ つぎに，曲げモーメントMx
P
Mx  x
2
（0≦x≦l/2）
※ そして，断面2次モーメントIzと断面係数Z
3
bh
Iz 
,
12
3
Iz
bh
Z

ymax
6
3
3
2
bh b(h / 2)
7 bh
I zc 


,
12
12
8 12
（孔のない断面）
7 bh
Zc 
8 6
2
（断面C）
13
Example 3
※ よって，最大の曲げモーメント
が作用するはり中央部の最大曲
げ応力σl/2(max)は
 l / 2(max)
M l / 2 3 Pl


2
Z
2 bh
※ 題意より，x=λ（断面C）における最大曲げ応力σλ(max)が
σl/2(max)以下であればよいから
M  24 P 3 Pl
  (max) 


2
Zc
7 bh
2 bh 2
7
∴ 
l
16
14
演習問題 1
・図に示す単純支持はりに，等分布荷重が作用している．
・断面形状は，幅がb，x=l/2 における高さがh0の長方形である．
・このはりが平等強さのはりとなるためには，高さhxをどのよう
に設計すればよいか？
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演習問題 2
・図に示すように，単純支持はりに集中荷重が作用している．
・断面形状は，幅がb，高さがhの長方形である．
・このはりの中央部のひずみを計測したところその大きさがεで
あった．このとき，荷重の大きさはいくつであったか？ただし，
はり材料のヤング率をEとする．
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