運動の表し方 第１編－１章 Ｂ 等加速度直線運動 No.04 それではシンプルに加速する運動を例に、グラフや式を学習しよう。 【スピードアップする場合】スピードアップする車を 1 秒ごとに観察した・・・ スタート！ 0秒 距離 ⇒ 1秒 2秒 3秒 1m 4m 9m 0m １秒間の変位⇒ ＿＿ １m 16m ３m ＿＿ ５m ＿＿ ７m ＿＿ ３ m/s ＿＿ ５ m/s ＿＿ ７ m/s ＿＿ （１秒間の進んだ距離） １ m/s 速度⇒＿＿ 4秒 ２ m/s2 加速度⇒＿＿ ２ m/s2 ＿＿ ２ m/s2 ＿＿ 正 ｝ 向きは全て正 この様子から「距離」、 「速度」、「加速度」 のグラフを書いてみよう。 ３～４秒間の平均の速さ は 3.5 秒の時の瞬間の 速さなのだと分かる （変位） 距離 (m) 速度 (m/s) 加速度 (m/s2) 16 8 4 秒間の面積 は 16 ＝距離 0 4 加速する運動の距離の 曲線 グラフは＿＿＿＿である。 時間 （秒） 0 3 4 時間 （秒） 0 4 時間 （秒） 実際には滑らかに加速 しているはずので、直線 が真実の姿である。 このように、三者三様の形となるが、それぞれもっともらしい形なので、混同しないように ２ しておこう。ここで新しい知識が一つある。速度のグラフの傾きは＿＿である。これは加速 度と一致する。 < グラフから加速度求める方法 > 速度 ｖ-ｔ 傾き ＿＿＿のグラフ（＿＿＿＿グラフ）の＿＿＿が加速度を表す 類題 3 図は，エレベーターが上昇するときの v － t 図 である。 （1）この運動の a － t 図をつくれ。 （グラフ中の補助線を利用して書きなさい） （2）この 35 秒間に上昇した高さ h〔m〕 を求めよ。 25 秒からは減速中なので次の学習が含まれるが、グラフを書くだけなのでやればできる！ 2 （１） 加速度 (m/s ) １ 0 同じ意味です 25 10 時間（秒） 35 -1 【スピードダウンする場合】 スピードダウンする車を 1 秒ごとに観察した・・・ （表と同じ作業をしてみよう） スタート！ 0秒 1秒 2秒 12m 7m 距離 ⇒ 0m １秒間の変位⇒ 4秒 15m 16m １m ＿＿ ３m ＿＿ ５m ＿＿ ７m ＿＿ 3秒 （１秒間の進んだ距離） ３ m/s ＿＿ ５ m/s ＿＿ ７ m/s 速度⇒ ＿＿ 加速⇒＿＿＿ -2 m/s2 ＿＿＿ -2 m/s2 正 ｝ １ m/s ＿＿ 正の 向き -2 m/s2 ＿＿＿ スピードダウンする場合の この様子から「距離」 、「速度」、 「加速度」 のグラフを書いてみよう。 負 加速は＿＿の値をとること がわかる。 この様子から、「距離」、「速度」 、 「加速度」のグラフを書いてみよう。裏へ・・・ （変位） 距離 (m) 速度 (m/s) 16 8 傾きは -2 ＝加速度 加速度 (m/s2) 0 4 秒間の面積 ＝距離 0 4 時間 （秒） -1 0 4 表とは形が違うが、や はり曲線である。 例題 3 4 時間 （秒） 時間 （秒） 表と同じように、実際の 形を想像しよう。 図は，x 軸上を等加速度直線運動している物体が，原点 を時刻 0 に通過した後の 6.0 秒間の v － t 図である。 （1）物体の加速度 a〔m/s2〕を求めよ。 （2）物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 t1〔s〕と， ★ ◎ その位置 x1〔m〕を求めよ。 （3）6.0 秒後の物体の位置 x2〔m〕を求めよ。 △ （4）経過時間 t〔s〕と物体の位置 x〔m〕の関係をグラフ に表せ。 （1）グラフの傾きより － 2m/s2 ＜ヒント＞ (2) 速度の様子から図の場所を特定する （2）★の瞬間が速度０なので、最も遠ざかった時である。 (3) ★以前は正の速度、以降は負の速度 ◎と△は相似な三角形（２：１）なので つまり、面積の意味も少し変わってくる ★の場所は４秒である。 (4)0,4,6 秒の位置は分かるはず。それを ★までの面積（つまり◎の面積）が進んだ距離を 手がかりに、形をイメージしながら 表すので グラフを書こう。 ◎の面積＝ 4 × 8 ÷ ＝１６ １６ｍ （３）★から６秒までは負の速度なので、戻ってきている場面である。 なので、★から６秒までの面積（つまり△の面積）が戻った距離を表す。 △の面積＝ 2 × 4 ÷ 2 ＝４ ６秒後の位置 x2= 進んだ距離－戻った距離＝１６－４＝１ 2 １２ｍ （4）（2）や（3）の答えを参考にグラフを書くと・・・↓ （４） 位置 (m) 16 12 0 4 6 時間（秒） 【変位や速度を式にしよう】 変位は＿＿＿＿＿グラフの＿＿＿＿でわかる。 面積 v-t なので、一般的なｖ－ｔグラフを考えてみよう。 最初の速度からの加速分を 考えると・・・ スタート！ 0秒 ｔ秒 v0 + at （ ）m/s v0(m/s) v-t グラフが書きたい だけなんで、速度だけ わかればよい。 加速度＝正に a(m/s2) お、速度がわかった！ < 加速度運動のｔ秒後の速度 V の式 > v = v0 + at 速度の様子をグラフにすると・・・ 速度 （m/s） v0 + at 上の三角形の面積 ＝（ｔ× at）÷ 2 } ＝ at v0 0 1 2 at2 下の四角形の面積 ＝ v0 ｔ 時間 （秒） t よって、ｔ秒までのｖ－ｔグラフの面積＝ v0 ｔ ＋ 1 2 at2 （これが変位を表すはずである） < 加速度運動のｔ秒後の変位 x の式 > ｘ = v0 ｔ ＋ 1 2 at2 速度と変位の式より、ｔを消去すると・・・ 速度の式より t= v - v0 → 変位の式のｔに代入すると・・・ a x = v0( v - v0 a )＋ 1 2 a ( v - v0 a )2 ・ ・式を整理すると・・・ ・ < 加速度運動の時間ｔを含まない式 > v2 - v02 = 2ax 以上の３式は必ず覚えて、 使えるようにしよう。
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