射影極小な中心アファイン極小曲面

射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
射影極小な中心アファイン極小曲面
内容
序
.
射影曲面
藤岡敦
射影極小曲面
主結果
..
.
関西大学システム理工学部数学科
２０１４年１月２６日（日）
国民宿舎慶野松原荘, 淡路島幾何学研究集会 2014
(佐々木武氏 (神戸大学), 古畑仁氏 (北海道大学) との共同研究)
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内容
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
1
序
2
射影曲面
3
射影極小曲面
4
主結果
内容
序
射影曲面
..
射影極小曲面
主結果
..
..
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射影極小曲面と中心アファイン極小曲面
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
主結果
射影極小曲面:
◦ 1920 年代から Thomsen らにより研究
◦ 3 次元実射影空間内の曲面
◦ 射影計量の積分の停留曲面
◦ 超曲面の場合は佐々木氏により研究
◦ アファイン球面は射影極小曲面
中心アファイン極小曲面:
◦ 1990 年代に Wang により超曲面に対して定義
◦ 3 次元アファイン空間内の曲面
◦ 中心アファイン計量の面積積分の停留曲面
◦ 固有アファイン球面は中心アファイン極小曲面
問題
{ 射影極小曲面 } ∩ { 中心アファイン極小曲面 } = ?
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射影曲面と対称 2 形式
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
主結果
P3 : 3 次元実射影空間
z : D → P3 : 射影曲面
(x, y ): 局所座標
z(x, y ) = [z 1 (x, y ), z 2 (x, y ), z 3 (x, y ), z 4 (x, y )]
R4 への写像ともみなす
仮定: zxy , zx , zy , z は D 上 1 次独立
{
zxx = lzxy + azx + bzy + pz
zyy = mzxy + czx + dzy + qz
と表すことができる
対称 2 形式:
ϕ := ldx 2 + 2dxdy + mdy 2
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射影曲面と Euclid 空間内の曲面
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
z : D → P3 : 射影曲面
z(x, y ) = [z 1 (x, y ), z 2 (x, y ), z 3 (x, y ), z 4 (x, y )]
z は R3 内の曲面と対応する
z 1 6= 0 のとき
(
zˆ :=
射影曲面
射影極小曲面
主結果
z2 z3 z4
, ,
z1 z1 z1
)
ϕ = ldx 2 + 2dxdy + mdy 2 : 対称 2 形式
命題
ϕ は R3 内の曲面 zˆ の第二基本形式と共形的
不定値なものを考えることができる
漸近線座標を選ぶことができる
l =m=0
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積分可能条件
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
命題
.
不定値射影曲面に対する積分可能条件は


Ly = −2bcx − cbx
Mx = −2cby − bcy


bMy + 2Mby + byyy = cLx + 2Lcx + cxxx
主結果
ただし
a = θx , d = θy

1

L = θxx − θx2 − bθy − by − 2p
2

M = θ − 1 θ2 − cθ − c − 2q
yy
x
x
2 y
.
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正準系
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
主結果
z : D → P3 : 不定値射影曲面
(x, y ): 漸近線座標
{
zxx = θx zx + bzy + pz
zyy = czx + θy zy + qz
λ : D → R \ {0}
z = λw とおくと
zx = λx w + λwx , zxx = λxx w + 2λx wx + λwxx
θ
2
λ = e とすると
{
zxx = bzy + pz
zyy = czx + qz
(∗)
としてよい (正準系)
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射影計量
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
正準系 (∗) に対して座標変換
u = f (x), v = g (y )
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
主結果
を考える
C ∈ R \ {0}
C
z = √ 0 0 w とおくと正準系
f g
{
¯ v + p¯w
wuu = bw
wvv = c¯wu + q¯w
を得る
このとき
¯c dudv = bcdxdy
b¯
射影計量という
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射影極小曲面の定義
射影極小曲面: 射影計量の積分の停留曲面
z : D → P3 : 不定値射影曲面
正準系:
{
zxx = bzy + pz
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
zyy = czx + qz
射影曲面
射影極小曲面
命題 (G. Thomsen 1928)
主結果
z: 射影極小
m
bMy + 2Mby + byyy = cLx + 2Lcx + cxxx = 0
ただし
.
L = −by − 2p, M = −cx − 2q
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中心アファイン曲面の定義
R3 をアファイン空間とみなす
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
定義
藤岡敦
内容
f : D → R3 : 曲面
.
f : 中心アファイン曲面
m def.
序
射影曲面
射影極小曲面
f : 接平面と横断的に交わる
主結果
.
Gauss の公式
f : D → R3 : 中心アファイン曲面
(x1 , x2 ): 局所座標
fxi xj = Γ1ij fx1 + Γ2ij fx2 − h(∂xi , ∂xj )f
(i, j = 1, 2)
..
.
対称 (0, 2) テンソル h を中心アファイン計量という
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中心アファイン極小曲面の随伴曲面
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
主結果
不定値中心アファイン極小曲面に対する積分可能条件は

αβ


(log ψ)xy = −ψ − ψ 2 + c1 c2
(c1 , c2 ∈ R)
αy + c1 ψx = 0



βx + c2 ψy = 0
と表すことができる
変換
1
1
α → λα, β → β, c1 → λc1 , c2 → c2
λ
λ
(λ ∈ R \ {0})
で不変
=⇒ 中心アファイン極小曲面の 1 径数族
随伴曲面
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随伴曲面がすべて射影極小となるもの
射影極小な中
心アファイン
極小曲面
f : D → R3 : 不定値中心アファイン極小曲面
射影曲面とみなす
藤岡敦
z = [1, f ] : D → P3
内容
定理 (F-H. Furuhata-T. Sasaki)
序
射影曲面
随伴曲面がすべて射影極小となる f は次の 1∼3 の何れか
1: Tchebychev 作用素が 0 の曲面
2: 中心アファイン曲率が 1, Pick 不変量が 0 の線織面
射影極小曲面
主結果
f = A0 (u) + vA(u)
.
3: 中心アファイン曲率が 1 の曲面
( x+y
)
e
e x+y
1
f0 =
cos(x − y ),
sin(x − y ), 1 +
x +y
x +y
x +y
の随伴曲面
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射影極小な中
心アファイン
極小曲面
藤岡敦
内容
序
射影曲面
射影極小曲面
ご清聴ありがとうございました
主結果
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