平成２６年度集積回路設計技術・次世代集積回路工学特論資料
４端子MOSトランジスタ
松田順一
本資料は、以下の本をベースに作られている。
Yannis Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor Second Edition,McGraw-Hill, New York, 1999.
1
概要
• 完全チャージ・シート・モデル
• 簡易チャージ・シート・モデル
– ソース参照モデル
– 対称モデル
• 強反転モデル
– 完全対称モデル
– 簡易対称モデル
– 簡易ソース参照モデル
•
•
•
•
•
•
弱反転モデル
EKV（C. C. Enz, F. Krummenacher, E. A. Vittoz）モデル
実効移動度
温度依存性
pチャネル・トランジスタ
付録：擬フェルミ電位を用いたモデル（Ｐａｏ－Ｓａｈ）
2
nチャネルMOSトランジスタ
（基板に対する各端子電圧）
G
S
VGB
ID
D
n
n
VDB
VSB
x x  x
x0
p  sub
xL
B
3
nチャネルMOSトランジスタ
（ソースに対する各端子電圧）
VGS
VDS
G
S
D
n
ID
n
VSB
p  sub
B
4
電流電圧特性
I DS
I DS
VGS V GS 4
VGB V GB 4
VGS V GS 3
VGB V GB 3
Strong inversion
Strong inversion
VGS V GS 2
Moderate inversion
0
VGS V GS1
VGS V H
VDS
Weak inversion
VGB V GB 2
VGS V M
Moderate inversion
0
VSB
VGB V GB1
VGB V HB
VDB
Weak inversion
VGB V MB
5
電流式モデルの階層
(A) 完全
チャージ・シート・モデル
(D) 完全対称
強反転モデル
(C) 簡易対称
チャージ・シート・モデル
(B) 簡易ソース参照
チャージ・シート・モデル
(E) 簡易対称
強反転モデル
(F)簡易ソース参照
強反転モデル
(G) 弱反転モデル
6
反転層の微小要素
 s
反転層
W
I (x)
x
 s ( x  x)
 s (x)
バルク
7
（A）完全チャージ・シート・モデルの導出（１）
チャネル内の点 x における電流I ( x)は、
ドリフト電流  拡散電流から、
d s
dQI'
I ( x)  W  Q
 Wt
dx
dx
となる。これをx  0からx  Lまで積分すると、

L
 I DS dx W
0
'
I

 sL
'
QIL
'
'




Q
d


W


dQ
I
s
t 
I

 s0
QI' 0

W
'
'
I DS      QI d s  t  dQI 
L  s 0

QI' 0

ここで、
 sL
 sL




'
QIL
s
x 0
  s0
s
xL
  sL
x 0
 QI' 0
xL
 QIL'
QI'
QI'
'
QIL
W
W
'
'
I DS 1 


Q
d

,
I



dQ
I
s
DS 2
t
I
L s 0
L Q'
I0
8
（A）完全チャージ・シート・モデルの導出（２）
移動度を一定として、積分の外に出すと、




W sL
W
'
I DS 1     QI d s , I DS 2  t QIL'  QI' 0
L  s0
L

となる。ここで、QI' は
'

Q
'
VGB  VFB  s  ' B
QI'  Cox
COX






'
'
 Cox
VGB  VFB  s    S （  QB'  Cox
 s）
で与えられるから、I DS 1とI DS 2は以下になる。

I DS 2


W
1
2

Cox' VGB  VFB  sL  s 0    sL2  s20    sL3 2  s302
L
2
3

W
'
12
 Cox
t  sL  s 0   t   sL
 s102
L
I DS 1 



9
 
（A）完全チャージ・シート・モデルの導出（３）
以下のVGBと sの関係式において
 s  2 F VCB /  t
VGB  VFB   s    s  t e
ソース端：VCB  VSB、ドレイン端：VCB  VDB
とすると、 s 0と sLは、
 s 0  VGB  VFB    s 0  t e
 sL  VGB  VFB    sL  t e
 s 0  2 F VSB /  t
 sL  2 F VDB /  t
となる。
10
（A）ドレイン端での表面電位とドレイン基板間電圧
 sL
2F  VDB
 s 0 
2F  VSB 
Weak
 sa (VGB )
5
1
2
3
4
VGB : constant
VDB
VQ (VGB )
VW (VGB )
VU (VGB )
VSB 
11
（A）IDS-VDB特性と表面電位との関係
I DS
VGB  VGB 4
VDB
VSB
Drain end
in strong
inversion
 sL
Drain
end in
moderate
inversion
Drain end
in weak
inversion
 sa (VGB )
 s0
VDB
0
VSB
 VSB 0
VQ
VW
VDSH VDSM
VDS
12
（A）ドレイン～ソース電流成分
I DS
I DS 2
log
axis
IDS1：ドリフト電流
IDS2：拡散電流
I DS1
VDB
Weak
Moderate
Strong
13
（A）完全チャージ・シート・モデル式の対称性
完全なチャージ・シート・モデルは、以下の如く変形できる。
I DS 1  I DS 2から
I DS 
W
 f  sL   f  s 0 
L
ここで、
1 2 2 32
' 
1 2




f  s  Cox  VGB  VFB  t  s   s   s  t  s 
2
3


これは、ソースとドレインを入れ替えても同じ式になる。
14
（A）チャネル内の表面電位と反転層電荷
電流式が、
W
 f  sL   f  s 0 
L
であるから、xにおける電流は、以下で表される。
I DS 
W
I DS   f  s ( x)   f  s 0 
x
したがって、
x f  s  x   f  s 0 

L
f  sL   f  s 0 
これが、xにおける sを与える。また、以下の
QI' の式から、xにおけるQI'も求まる。


'
QI'  Cox
VGB  VFB  s    s 15
（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（１）
QB'
 ' を簡単化する。
Cox
 s  （
se  s 0～ saまでの任意点）でテイラー展開する。

QB'

'
 s  se 　 '    se 
 QB'  Cox
s
Cox
2  se


   se    1 s  se 　ここで、  1 
2  se
したがって、QI' は次式になる。


'
QI'  Cox
VGB  VFB  se    se    s  se 
16
（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（２）
'
QI' から、
dQI' d s  Cox
になるため、I DS 1は次式になる。
 sL
'
QIL
W
W
1
W 
'
'
'
'2
'2
I DS 1     QI d s     QI
dQ

Q

Q
I
I0
IL
'
L  s0
L Q'
Cox'
L 2Cox






I0
一方、I DS 2は以前と変わらず、


W
t QIL'  QI' 0
L
となる。したがって、次式が得られる。
I DS 2 


W
 2

' 
I DS 1  Cox  VGB  VFB    se  se   se  sL  s 0    sL  s20 
L
2


W
'
I DS 2  Cox
t  sL  s 0 
L


17
（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（３）
（ソース参照モデル）
 se   s 0 として近似すると、I DS 1とI DS 2は


W

 sL  s 0     sL  s 0 2  Cox'  VGB  VFB  s 0    s0　L
2


W
'
I DS 2  Cox
t  sL  s 0 
L
となる。また、は
I DS 1 

  1  1 
2  s0
である。
18
QB'
(B)  ' vs.　表面電位特性の近似（ソース側での外挿）
Cox
a :  1
QB'
 '
Cox

2  s0
b : aの場合より僅かに小さい
c :  1
a
b
c
0
 s0
 sL
 sa
s
19
（C）簡易チャージ・シート・モデルの導出（４）
（対称モデル）
 se   sa として近似すると、

  n  1 
2  sa
となり、I DS 1とI DS 2は次式になる。
W

n 2

' 
2 
I DS 1  Cox VGB  VFB 
 sa  sL  s 0    sL  s 0 
L
2
2



W
'
I DS 2  Cox
nt  sL  s 0 
L


  s   sa では、QI' ≪ QB' であるため、弱反転領域にある。
 QB' が支配的であるとき、QB' の近似の精度は良い。
 QI' が支配的であるとき、QB' の近似の精度は良くないが、
全半導体電荷へのQB' の誤差の影響は少ない。
20
QB'
(C)  ' vs.　表面電位特性の近似（ saでの外挿）
Cox
Q
QB'B'
 ''
C
Cox
ox
00
 s0
 sL
 sa
s
21
（C）順方向と逆方向電流（対称モデル）
完全チャージ・シート・モデルを簡単化した式（  n）
I DS 1 
W 
W
'2
'2
'
'
Q

Q
,
I


Q

Q
I0
IL
DS 2
t
IL
I0
'
L 2nCox
L




から、I DS 1  I DS 2を求めると、
I DS
W  1
'2
'2
'
' 
 
QI 0  QIL  t QIL  QI 0 
'
L  2nCox


 

 QIL'2
W  QI'20
'  W
' 
  
 t QI 0    
 t QIL   I F  I R
'
'
L  2nCox
 L  2nCox

VDS 大： sL   sa , ここで、
'
W  Q
' 
I F   
 t QI 0   I DS , saturation
'
L  2nCox

'2
I0
W  Q
' 

I R   
 t QIL    I DS ,rev.saturation
'
L  2nCox

'2
IL
QIL  0, I R  0
VSB大： s 0   sa , QI' 0  0, I F  0
22
（C）MOSトランジスタの動作領域の定義
VSB
Reverse operation
VDB  VSB , VDS  0, I DS  0
Forward operation
Weak
Inversion
VDB  VSB , VDS  0, I DS  0
VW
Moderate
inversion
VQ
Strong
inversion
0
VQ
VW
VDB
23
（D）完全対称強反転モデル
ソースとドレイン端とも強反転では、 s 0と sLは以下で表される。
但し、0  2F  　（　 6t）
 s 0  0  VSB ,  sL  0  VDB ここで、完全チャージ・シート・モデル（ドリフト成分）の以下の式を用いる。
I DS 1 



W
1
2

Cox' VGB  VFB  sL  s 0    sL2  s20    sL3 2  s302
L
2
3

 
この式に、上の s 0と sLを代入して、整理すると、（I DS 1  I DSN ）
I DSN

W
1
2
2
' 



 Cox  VGB  VFB VDB  VSB  VDB  0   VSB  0 
L
2




3
3 
2
  0  VDB  2  0  VSB  2 
3

3
3 
W
1 2
2
' 
2
2
 Cox VGB  VFB  0 VDB  VSB   V DB  V SB   0  VDB   0  VSB  2 
L
2
3


これは、次式で表され、ソースとドレインが対称である。

I DSN 
W
g VGB ,VDB   g VGB ,VSB 
L



24
（D）完全対称強反転モデル（直接導出）
チャネル内の点xでは、 s ( x)は以下になる。
 s ( x)  0  VCB ( x)
ここで、VCB (0)  VSB , VCB ( L)  VDBである。
I DSNはドリフト成分のみを考慮して、

I DSN  W  QI'

 ddx
s

 W  QI'
 dVdx
CB
（ ：定数）
0
となる。これを、x  （
0 VCB  VSB）からx  L（VCB  VDB）まで積分すると、
I DSN
W

L
'



Q
I dVCB

VDB
VSB
となる。QI'に次式を代入すと、完全対称強反転モデルが求まる。

  C
'


Q
'
'
'
B
QI  Cox VGB  VFB  0  VCB  '  QB'  Cox
0  VCB
Cox 


'
 Cox
VGB  VFB  0  VCB  　0  VCB
'
ox

VGB  VTB VCB 
25
（D）完全対称強反転モデル（飽和点と飽和領域）
dI DSN dVDB  0におけるVDBは、V（ピンチオフ電圧）
となる。
P
2
2
 


VP    
 VGB  VFB   0
 2

4


ここで、0  2Fとおくと、VP  V（弱反転と中反転の境
界）
W
となる。これは、外部からの電圧としてVGBで決まる値である。
'
VPでの電流（飽和電流 : VSB  VDB）を I DS
 I DSN
VDB VP
とすると、
I DSは、
 I DSN , VDB  VP
I DS   '
 I DS , VDB  VP
となる。また、VSB  VDBの場合の飽和電流は以下の如くになる。
"
I DS
 I DSN
VSB VP
26
（D）完全対称強反転モデルでのIDS-VDS特性
I DS
'
I DS
I DSN
VSB
I DSN
VQ
Non-saturation
VP
VDB
VW
Saturation
27
（D）完全強反転モデル
VSB
"
I DS  I DS
Reverse saturation
VP
'
I DS
 I DSN
VDB VP
"
I DS
 I DSN
VSB VP
VQ
0
Non-saturation
Forward saturation
I DS  I DSN
'
I DS  I DS
VQ
VP
VDB
28
（E）簡易対称強反転モデル（１）
簡単化された対称モデル
W  1
'2
'2
'
' 

Q

Q


Q

Q
I0
IL
t
IL
I0 
'
L  2nCox

の 内の第2項は拡散成分であるから、強反転領域ではこの項を無視して、

 


I DS 
I DS 
W
1
'2
'2

Q

Q
I
0
IL
'
L 2nCox



となる。Q とQ に Q  nC VP  VCB を用いると、V       2  V  V
P
GB
FB
 2
4

I （非飽和領域のI ）は、以下になる。
'
I0
DSN
'
IL
'
I
DS

'
ox


n  1
W
2
2
' n
2 0  VP
I DSN  Cox VP  VSB   VP  VDB 
L
2
'
"
順方向飽和電流I DS
と逆方向飽和電流I DS
は、次式となる。
I
'
DS
"
I DS
2

 
0


W
2
' n
 Cox VP  VSB  （VDB  VPで飽和）
L
2
W
' n
VP  VDB 2 （VSB  VPで飽和）
  Cox
L
2
29
（E）簡易対称強反転モデル（２）
VPの近似を用いて、モデ
ルを簡単化する。

VGB  VT 0
VP 
但し、VT 0  VFB  0   0
n
これを、

W
2
2
' n
I DSN  Cox VP  VSB   VP  VDB 
L
2
に代入し、整理すると、




W
n 2


Cox' VGB  VT 0 VDB  VSB   VDB
 VSB2 
L
2


となる。I DSNは、VDB  VPでdI DSN dVDB  0となる。
I DSN 
'
"
この場合、順方向飽和電流I DS
と逆方向飽和電流I DS
は、次式になる。
W
1
VGB  VT 0  nVSB 2
Cox'
L
2n
W
1
'
VGB  VT 0  nVDB 2
  Cox
L
2n
'
I DS

"
I DS
30
（F）簡易ソース参照強反転モデル
簡単化されたソース参照モデルの以下の式において、
I DS 1 


W

 sL  s 0     sL  s 0 2 
Cox'  VGB  VFB  s 0    s0　L
2


 s 0  0  VSB、 sL  0  VDBを代入すると、強反転での非飽和電流は、


W
Cox' VGB  VSB  VFB  0   0  VSB VDB  VSB 
L


2
 VDB  VSB   但し、  1  1 
2
2 0  VSB

I DSN 
となる。ここで、VDB  VSB  VDS , VGB  VSB  VGSとおくと、次式を得る。
I DSN 

W

Cox'  VGS  VT
L

但し、VT
VSB
VSB
V
DS


2 
VDS

2

 VFB  0   0  VSB
31
（F）簡易参照強反転ﾓﾃﾞﾙ（直接導出：１）
'
'
直接導出する場合、 QB' Cox
の近似式を使う。VSBの辺りで  QB' Cox
を
テイラー展開（最初の２項までとる）すると、
QB'
 '   0  VSB  1  1VCB  VSB 
Cox
1  1は、 QB' Cox' vs.　VCBのVCB  VSBでの傾きであり、1  1   2 0  VSB
'
である。1は、 QB' Cox
を過剰に見積もっているため、その代わりに
（  1）を考えると、 QB' Cox' は、以下になる。
QB'
 '   0  VSB    1VCB  VSB 
Cox
これから、QI' は次式となる。

QB' 
Q  C VGB  VFB  0  VCB  '  Cox 

'
I
'
ox


'
 Cox
VGB  VSB  VFB  0   0  VSB   VCB  VSB 
32
（F）簡易参照強反転ﾓﾃﾞﾙ（直接導出：２）
QI'を以下の式に用い、
I DSN
W

L
'



Q
I dVCB

VDB
VSB
VDB  VDS  VSB、VGB  VGS  VSBとして、積分を行うと、
I DSNは、（但し、：一定）
I DSN

W
' 
 Cox
VGS  VT

L

但し、VT
VSB
VSB
V
DS


2 
VDS

2
 VFB  0   0  VSB
となり、簡単化されたソース参照モデルと同じになる。
33
（F）強反転での-QB’/Cox’ とﾁｬﾈﾙ内の逆ﾊﾞｲｱｽVCB
QB' (VCB )

'
Cox
a : ﾃｲﾗｰ展開による１次近似 at VCB  VSB
b :１次近似の改善
c : ｾﾞﾛ次近似
a
b
 0  VCB
 0  VSB
0
c
VSB
VDB
VCB
34
（F）簡易参照強反転ﾓﾃﾞﾙ（飽和点と飽和領域）
非飽和領域では、I DSNは
W



Cox' VGS  VT VDS  VDS 2 
L
2


となる。ここで、　I DSN 
VT  VFB  0   0  VSB  VTはVSBに依存する。
または、
VT  VT 0  

0
 VSB  0

VT 0  VFB  0   0
'
'
である。
dI DSN dVDS  0のところでのVDS
（  VDS
）は、VDS
 VGS  VT  
'
となる。この場合の電流I DS
は、以下の如くになる。
W
' VGS  VT 
 Cox
L
2
2
'
I DS
35
（F）簡易参照強反転ﾓﾃﾞﾙ（まとめ）
電流I DSは,
'
 I DSN , VDS  VDS
I DS   '
'
 I DS , VDS  VDS
すなわち、以下になる。
W

2
' 
'



C
V

V
V

V
,
V

V
ox  GS
T
DS
DS 
DS
DS
L
2



I DS  
2


V

V
W
 C ' GS
'
T
,
V

V
ox
DS
DS
 L
2
また、非飽和と飽和領域を一緒にして、I DSは以下の如くにも表される。


'
I DS  I DS
1   2  VDS
'
1

,
V

V
DS
DS

'
ここで、   VDS
0, V  V ' DS
DS

36
（F）IDSN-VDS特性：含むVDS>VDS’（ソース参照強反転）
I DS
'
I DS
I DSN
I DSN
 VSB
0
VDS
'
DS
V
Non-saturation
Saturation
37
（F）IDS-VDS特性（ソース参照強反転）
I DS
'
VDS

Non-saturation
VGS  VT

Saturation
VGS V GS 4
VGS V GS 3
VGS V GS 2
VGS V GS1
0
VDS
38
（F）VSBを変えた場合のIDS-VDS特性
I DS
I DS
VSB  0V
VSB  3V
VGS  5V
VGS  5V
4V
4V
3V
3V
2V
0
VDS
0
VDS
39
（F）パラメータη vs. VDS

1
0
'
DS
VDS
V
40
（F）αの近似（１）
0  1
 チャネルに沿った空乏層幅：一定（ソース端）
 QB' の過少見積もり
'
 QI' の過剰見積もり（I DS、VDS
の過剰見積もり）
1  1 

2 0  VSB
 VDS  VDB  VSBが小さい場合：良い近似
 一般に、
QB' の過剰見積もり
'
 QI' の過少見積もり（I DS、VDS
の過少見積もり）
41
（F）αの近似（２）
2  1 d2

2 0  VSB
d 2 : 修正係数(0.5～0.8)
d 2  1  k1  k 2  B  VSB  k1 , k：定数
2
1

3  1 
3  1
2 3  0  VSB

4  1
4 0
42
（F）チャネルの任意点における電位（１）
強反転領域での電流I DSNは、
W
hVGB ,VSB ,VDB 
L
で表される。ここで、hは関数である。
I DSN 
チャネルに沿う点xでの電流は、以下になる。
W
I DSN  hVGB ,VSB ,VCB ( x) 
x
上２式から、xとVCB ( x)の以下の関係を得る。
x hVGB ,VSB ,VCB ( x) 

L
hVGB , VSB , VDB 
43
（F）チャネルの任意点における電位（２）
電流I DSは,
W
' VGS  VT 
I DS  Cox
1  2 L
2
ここで、
2


 VDS
'
1

,
V

V
DS
DS

'
   VDS
,
0, V  V ' DS
DS

'
VDS

VGS  VT

である。チャネルに沿う点xでの電流は、以下になる。
2




W

' VGS  VT  
VCB ( x)  VSB  
I DS  Cox
1  1 
x
2
  VGS  VT
 
I DSに関する上２式を等しいとして解くと、VCB ( x)は次式になる。
2
VCB ( x)  VSB 
VGS  VT 
x
1

1

1  2


L



　

44
（F）チャネルに沿っての基板からの電位
VCB (x)
VDS  VDS 3
VDS  VDS 2
VDS  VDS1
VSB
0
VDS  0
L
x
45
（G）弱反転モデル（基本）
弱反転領域では、表面電位 sは、
QI' ( x)
 s   sa (VGB )
L
2
 

 sa (VGB )    
 VGB  VFB
 2
4

となり、VGBの関数になる。




2
x
QIL' ( x)
QI' 0 ( x)
 QB' はチャネル位置に依存しない。
（空乏層深さはチャネルに沿って一定）
 チャネルに沿って同じ電位
（電流は拡散成分のみ存在：ドリフト成分はない）
したがって、ここでは完全チャージ･シート･モデルの拡散成分を用いる。
I DS 

W
t QIL'  QI' 0
L

46
（G）弱反転モデル（対称モデル）
弱反転領域の電荷の式（空乏領域でも成立）
Q  
'
I
2q s N A
2  sa (VGB )
t e
sa (VGB )  2 F
/  t
･e VCB / t
を用いて、QI' 0 , QIL' を以下の如くとする。
Q  
'
I0
Q  
'
IL
2q s N A
2  sa (VGB )
2q s N A
2  sa (VGB )
 sa (VGB )  2 F / t
 e VSB t
 sa (VGB )  2 F / t
 e VDB t
t e
t e
したがって、弱反転領域のI DSは、以下の如くである。



W
W 
'
'
I DS  t QIL  QI 0  I (VGB ) e VSB t  e VDB t
L
L

2q s N A
 (V )  2 / 
但し、　I (VGB )  
t 2 e sa GB F t
2  sa (VGB )

47
（G）弱反転モデル（対称モデル別表現）
弱反転のI DS
（対称モデル）の式で、
2q s N A

 sa  VP  0 , n  1 
,  
Cox'
2 0  VP (VGB )
を用いると、以下を得る。
W
n  1e0 2F  t t2 eVP VSB  t  eVP VDB  t
I DS  Cox' L
更に、VP  VGB  VT 0  nを用いると、



W
n  1e0 2F  t t2 eVGB VT 0 nVSB  nt   eVGB VT 0 nVDB  nt 
I DS  Cox' L
を得る。
48

（G）弱反転モデル（ソース参照モデル）
弱反転での電流式は、以下である。
I DS
'


W
W
Q
 t QIL'  QI' 0   t QI' 0 1  IL' 
L
L
 QI 0 

ここで、Q
'
IL
Q e
'
I0


 VDB VSB  / t

e
VDS  t

であるから、I DSは以下になる。
W
V 
t  QI' 0 1  e DS t
L


(VGS VM ) /( nt )
'
'
ここで、QI 0  QM e
を用いると、 QM'  
I DS 
I DS
（VSB  V で固定）は以下になる。
'
SB
I DS






t
'
2 2F  VSB


2q s N A

W ' (VGS VM ) /( nt )
VDS  t
 IM e
1 e
L


2q s N A

 '

2
'

, VM  VFB  2F   2F  VSB , n　 1
I M  

t
'
'
2 2F  VSB
2 2F  VSB 



49
（G） Log ID vs. VGS特性
log I D
Weak inversion
equation
Charge sheet model
VDS : fixed
Strong inversion
equation
VSB : fixed
Gate Swing
dVGS
S
d log I DS 
 2.3nt
log I j
VM VT
Weak
Moderate
VGS
VH
Strong
50
EKVモデル（対称モデルへの展開１）
EKVのモデル式は、以下の如くである。


  
 
2
2
W
Cox' 2n t2 ln 1  e VP VSB  2t   ln 1  e VP VDB  2t 
L
非飽和と飽和の全領域で使用。漸近的に弱反転と強反転に近づく。
I DS 
弱反転領域  指数項 ≪１　であるから、
ln 1  x   x, x ≪1から


W
Cox' 2n t2 e VP VSB  t  e VP VDB  t
L
が得られる。これは、弱反転（対称モデル）の別表現の式で
I DS 
n  1e0 2F  tを2nとおいたものとなる。
強反転かつ非飽和領域  指数項 ≫1　であるから、
ln 1  e   ln e 
y
2
y 2
 y 2 , e y ≫1から


W
n
VP  VSB 2  VP  VDB 2
Cox'
L
2
となる。これは、簡単化された対称強反転モデルになる。
I DS 
51
EKVモデル（対称モデルへの展開２）
EKVの式で、VDSが大きくなると、２番目の指数関数は無視でき、
W
2
' n
I DS  I  Cox VP  VSB  （VDB  VPで飽和）
L
2
'
となる。I DS
は順方向飽和電流である。
'
DS
また、EKVの式にVP  VGB  VT 0  nを代入すると、以下を得る。

  

W
VGB VT 0  nVSB   2 n t  2
'
2
I DS  Cox 2n t ln 1  e
 ln 1  eVGB VT 0  nVDB  2 n t 
L
強反転の下では、指数項 ≫1であるため、

W
1
'
VGB  VT 0  nVSB 2  VGB  VT 0  nVDB 2
I DS  Cox
L
2n
W
n 2

' 
 Cox VGB  VT 0 VDB  VSB   VDB  VSB2 
L
2





すなわち、簡単化された対称強反転モデルの式になる。
52
 
2
EKVモデル（展開時の誤差）
弱反転領域では、指数項 ≪1であるから、


W
Cox' 2n t2 eVGB VT 0  nVSB  n t   eVGB VT 0  nVDB  n t 
L
となる。これは、弱反転（対称モデル）の別表現の式で
I DS 
n  1e0  2 F  tを2nとおいたものとなる。この置換えによる誤差
は、VT 0を少し増大させることでI DSを正しい値に近づけることが
できる。VT 0は指数関数内にあるため、ほんの少しの増大で対応
できる。したがって、この増大があっても強反転領域での誤差
は少ない。例えば、強反転飽和領域での電流式は、
W
1
2
'
I DS  Cox VGB  VT 0  nVSB 
L
2n
となり、括弧内の値は大きいので、VT 0の僅かな変化はI DS への
大きな誤差にはならない。
53
EKVモデル（ソース参照モデル１）
EKVモデルをソース参照モデルに変えると、以下になる。

  

2
W
Cox' 2n t2 ln 1  eVGS VT  2 n t   ln 1  eVGS VT  nVDS  2 n t 
L
VT  VT 0   0  VSB  0 , VT 0  VFB  0   0
I DS 

 
2

このVTには、イオン注入、短チャネル効果等を考慮できる。
弱反転の場合、指数項 ≪1であるから、
W
'
2n t2 eVGS VT  nt   eVGS VT  nVDS  nt 
I DS  Cox
L
W
'
2n t2eVGS VT  nt  1  eVDS t
 Cox
L
となる。これは、以下の弱反転のソース参照モデルに対応する。






W ' (VGS VM ) /( n t )
IM e
1  e VDS  t L
2q s N A

2
2
'


I M'  



C
n

1

,
n

1

t
ox
t
'
2 2 F  VSB
2 2 F  VSB'
I DS 
'
VM  VFB  2 F   2 F  VSB' VSB  VSB
（固定）
54
EKVモデル（ソース参照モデル２）
弱反転において、EKVモデルとソース参照モデルとの違いは、
n  1e(VGS VM ) /( nt )が2n eVGS VT  nt に置き換わっていることである。
VM  VFB  2 F   2 F  VSB VT  VFB  0   0  VSB , 0  2 F  
n　1

2 2 F  VSB
 n　1

2   VSB
すなわち、n  1と2nの違いを指数の中のVT  VM で調整でき、正しい
I DSに近づけることができる。また、nにおいて2 Fをに換えること
により、更に精度は上がる。この場合nは 3に変わる。
強反転の場合（非飽和）、EKVモデル中の両指数項 ≫1であるから、
W
1
'
VGS  VT 2  VGS  VT  nVDS 2
I DS  Cox
L
2n
W

2
' 


 Cox
V

V
V

V
 GS T DS 2 DS , ここでn  
L
となる。これは、簡単化されたソース参照強反転モデル（非飽和）である。


55
EKVモデル（ソース参照モデル３）
強反転の場合（飽和）、EKVモデル中の最初の指数項 ≫1、
2番目の指数項 ≪1であるから、




W
1
VGS  VT 2
Cox'
L
2n
W
1
2
'
 Cox　VGS  VT  , ここでn  
L
2
となる。これは、簡単化されたソース参照強反転モデル（飽和）である。
I DS 
反転とは無関係にVDSが高いとEKVモデル中の２番目の項は無視でき、
 

W
VGS VT   2 n t  2
'
2
I DS  Cox 2n t ln 1  e
L
となる。アナログ回路では、たいていのデバイスは飽和領域で動作
しており、上式は近似計算には向いている。
EKVモデルは、インターポレーション（弱反転と強反転の間）モデルに
非常に有効である。
56
ソース参照モデルの利点
•
•
•
•
•
•
通常の印加電圧に対応している。
閾値電圧が電流式中に自然に表れる。
バックゲートを第２のゲートとして扱える。
キャリア速度飽和をVDSによって簡単に扱える。
非対称デバイスに対応できる。
ソース参照モデルが高周波動作に対応している。
57
基板参照モデルの利点
• 対称デバイスに対応できる。
（アナログ回路対応）
• 電流の飽和点をVSBに関係なくVDBで直接表現できる。
（基板参照長チャネルモデル）
• 弱反転領域をよく表現できる。
（ΨsaはVGBのみに依存）
• 縦方向電界による移動度変化をよく扱える。
• IDSとその微分はVDS=0で連続に扱える。
（コンピュータシミュレーションに適合）
58
表面移動度と平均縦電界

(log scale)
N A  N A1
N A  N A2
N A1  N A2
(log scale)
E y ,ave
59
実効移動度（１）
ドリフト電流と拡散電流を併せたI DSは、
'
d

dQ
s
I
I DS  W  QI'
 Wt
dx
dx
となる。を一定とし、x  0からx  Lまで積分すると、


は積分の外にでるため、


W  sL
'
'
'
I DS      QI d s  t QIL  QI 0 
L  s 0

となる。ここで、を eff（実効移動度：縦電界依存性あり）




で置き換えると、I DSは以下になる。
I DS
 sL
W
  eff    QI' d s  t QIL'  QI' 0
L
 s 0







60
実効移動度（２）
一方、ドリフト電流と拡散電流を併せたI DS
d s
dQI'
I DS  W  Q
 Wt
dx
dx
の両辺をで割り、x  0からx  Lまで積分すると、

'
I

 sL

'
'
'
I DS 
 W    QI d s  t QIL  QI 0 

 s 0

0
となる。この式と前シートで求めた eff を含む式を
L
dx




比較すると、以下が得られる。
 eff
1
 L
1 1
dx

L0
61
実効移動度（３）
実験データから、は強反転の場合、以下の如く近似できる。
 
0
1    y ,ave
M athiessenの法則
1 1
1
 
ここで、
 y ,ave 

 ys   yb
1
2
2
である。 ysは表面での縦方向電界、 ybは反転層下での
縦方向電界である。つまり、
 ys  
QI'  QB'
s
,  yb  
QB'
s
である。この場合、 y ,aveは次式になる。
 y ,ave  
QB'  0.5QI'
s
62
実効移動度（４）
 y ,aveをの式に代入すると、、は以下の如くなる。
 
0

1  a  s  QB'  0.5QI'

更に、 eff は、
 eff 
0
L



1
'
'


1

a

Q

0
.
5
Q

s
B
I dx

L0
である。ここで、VCBがxに対し線形に変化する
ものとすると（低いVDSの場合成立）、
dVCB dx  VDB  VSB  L となるため、 eff は次式になる。
 eff 
0
1 VDB  VSB   1  a
VDB
VSB
 s QB'  0.5QI' dVCB
63
実効移動度（５）
計算の結果、 eff は
 eff

0
 ' 
 但し、 


Cox 1  f 
2 s


となる。f は、完全対称強反転モデルの場合、
1
2 0  VDB   0  VSB 
f   VGB  VFB  0   VDB  VSB   
2
3
VDB  VSB
32
32
一方、簡単化されたソース参照強反転モデルの場合のf は、
f   VGS  VFB  0   0  VSB
 VGS  VT  2 0  VSB
 
 1  VDS
 2
 
 1  VDS
 2
但し、VT  VFB  0   0  VSB
64
実効移動度（５）
 eff の式の中のQB' とQI'に代入する式として、
完全対称強反転モデル（直接導出）からの式
'
QB'  Cox
0  VCB

'
QI'  Cox
VGB  VFB  0  VCB  　0  VCB

または、簡単化されたソース参照強反転モデル
（直接導出）の式
QB'
 '   0  VSB    1VCB  VSB 
Cox


'
QI'  Cox
VGB  VSB  VFB  0   0  VSB   VCB  VSB 
を代入して計算する。
65
実効移動度（６）
簡単化されたソース参照強反転モデルからの eff を
更に近似すると、
 eff 
0
1   VGS  VT    BVSB
但し、 Bは定数
となる。ここでの近似は、
（１）　f の中のVDSに関する項を落とした。
'
 飽和電圧VDS
に関し、今までの式
（を一定とした式）を使える。
（２）　f の中のVSBに関する項を線形近似した。
66
IDS vs. VGS特性
I DS
VSB : fixed
VDS : very small
0
I GS
VT
67
温度依存性
移動度の温度依存性は、以下で表される。
 k3
T 
 (T )   (Tr ) 
 Tr 
ここで、Tは絶対温度、Trは室温、k3  1.2～2.0 は定数である。
VT の温度依存性は、以下で表される。
VT (T )  VT (Tr )  k 4 T  Tr 
ここで、k 4  0.5～3 mV K は定数である。
VTは、0とVFBにより温度依存性を持つ。
これらから、電流式（簡単化されたソース参照強反転
モデル：飽和状態）は次式となる。
I DS
'
1 W Cox
VGS  VT (T )
  (T )
2 L 
68
飽和領域でのIDS1/2 vs. VGS
I DS
Increasing
temperature
0
VGS
69
Log ID vs. VGS（低電流領域）
log I D
Increasing
temperature
0
VGS
70
pチャネルMOSFET
G
D
S
p
p
B
71
pチャネルMOSFET IDS-VDS 特性
I DS
 2V
 3V
0
I DS
VDS
 3V
VDS
 4V
 4V
VGS  5V
VGS  5V
VSB  0V
VSB  3V
72
Ｐチャネルトランジスタ電流式
強反転領域の電流式は、以下の如くになる。
I DSN
W

2
' 
  Cox VGS  VT VDS  VDS 
L
2


ここで、閾値電圧は以下の如くになる。
VT VSB   VT 0  

 0  VSB   0

VT 0  VFB  0    0
ここで、VSBと0は負の値である。
73
付録
擬フェルミ電位を用いたモデル（Ｐａｏ－Ｓａｈ）
74
擬ﾌｪﾙﾐﾚﾍﾞﾙを用いたﾄﾞﾚｲﾝ電流（１）
Pao-Sahﾓﾃﾞﾙ：反転層内の電流
x
y表面
x
I
y

y
反転層
  
バルク
75
擬ﾌｪﾙﾐﾚﾍﾞﾙを用いたﾄﾞﾚｲﾝ電流（２）
反転層内微小領域を流れる電流は、以下の如くである。
dI DS  dI drift  x, y   dI diff  x, y 
  x, y 
dI drift  x, y   Wdy qn x, y 
x
n x, y 
dI diff  x, y   Wdy qt
x
電子密度n x, y は、以下の如くである。
n x, y   n0 e  x , y V  x  t V  x は基板の深い領域と表面との擬フェルミ電位差である。
V 0   VSB , V L   VDB
n x, y をxで微分すると、以下を得る。
n x, y  n x, y     x, y  dV  x  



x
t  x
dx 
76
擬ﾌｪﾙﾐﾚﾍﾞﾙを用いたﾄﾞﾚｲﾝ電流（３）
dI diff  x, y は次式になる。
   x, y  dV  x  
dI diff  x, y   Wdy qn x, y 

dx 
 x
この式とdI drift  x, y の式から、dI DSは以下となる。
dV  x 
dx
全電流は、y  ysurfaceからy  ycまで積分して、以下を得る。
dI DS  Wdy qn x, y 
（ycより下では、電子密度を無視でき、はyに依存しない）
c
dV  x 
' dV  x 
 W
q  n x, y dy  W  QI
dx
dx
y surface
y
I DS


次に、チャネル長に沿って積分すると以下になる。
I DS
W

L
'



Q
I dV

VDB
VSB
77
擬ﾌｪﾙﾐﾚﾍﾞﾙを用いたﾄﾞﾚｲﾝ電流（４）
電子と正孔が空乏層内に存在するとした場合、QI' は以下になる。
Q  qN Ae
'
I
  2 F V  t
 s  ( y ) t
e
   d
c
ここで、 cは、電子が無視できるところの基板に対する電位
である。便宜的に、n  niのところにとる。すなわち
 c  F  V
である。また、 は、
( ) 
2q s N A
s
t e
 ( y)
t

  t  e

2 F
t
(t e
 ( y ) V
t
  t e

V
t
)
で与えられる。上記 QI' から I DS は、下記の２重積分で表される。
s
DB
W
e   2F V  t
 qN A   
ddV
L
 
VSB  c
V
I DS

78