Title
フレネルゾーンプレートの3次収差 : 光線追跡法に基づく取
り扱い
Author(s)
吉田, 稔
Citation
[岐阜大学教養部研究報告] vol.[25] p.[83]-[90]
Issue Date
1989
Rights
Version
岐阜大学教養部物理学研究室 (Faculty of General Education,
Gifu University) / 岐阜大学教養部物理学研究室 (Faculty of
General Education, Gifu University)
URL
http://repository.lib.gifu-u.ac.jp/handle/123456789/47725
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フ レ ネル ゾ ー ンプ レー ト の 3次収差
光線追跡法に基づ く 取 り扱い
吉田 稔 ・ 神谷 巨吾
岐阜大学教養部物理学研究室
( 1989年10月18日受理)
Third-Order A berrations of the F resneI Zone Plate
A pplication of R ay-T racing Procedure
M inoru Y OSH I DA and K ohgo K A M I Y A
1.
は
じ
め
に
ゾーン プ レ ー ト の理論 と し て は, 回折光の強度分布の物理光学的な取 り扱いに よ る計算, 幾何光
学的な取 り扱いに よ る収差の計算な ど, 様 々な計算結果が報告 さ れて い る。 ゾーン プ レ ー ト はそ の
理論的な興味のみに留 ま らず, 軟X 線領域にお け る結像素子 と し て, あ るいは集光作用を兼ね備 え
た分波器等 と し て, 近年の微細加工技術の進歩に と も な っ て, 実用に供 される機会が急増 し てい る。
これ ら の素子 の結像性能を評価す るた めに, 光学 レ ン ズの場合 に普通行なわれ る よ う に, ザイ デル
の 5収差に対応す る収差係数を求めてお く こ と は実用上好都合で あろ う。
回折格子や ゾーン プ レー ト の収差の計算には, 通常, 光路関数を近軸領域でべ き級数展開 し た も
のに フ ェ ルマ ーの原理を適用す る方法が と られ る ( 文献 1- 3 ) 。 一方, ゾーン プ レー ト に よ っ て回
折 し た光線の像面上で の到達位置を求め るために, 同 じ フ ェルマ ーの原理に基づ く 幾何光学的な光
線追跡の方法を用い る こ とがで き る ( 文献 4 - 6 ) 。 こ の方法で は近軸近似を必要 とせず, 横収差の
厳密な表式を得 る こ と がで き る。
こ こで は, 後者の方法に よ っ て フ レネル ゾーン プ レ ー ト の 3 次収差係数を 求め, 薄肉単 レンズの
場合に得 られて い る結果 と比較す る。 ゾーン プ レー ト の焦点距離が波長 に強 く 依存す る こ と は, 大
きな色収差の存在を意味す るが, こ こで は単色の収差につ いて のみ取 り扱 う。
2 . ゾー ン プ レー ト を通 し て の光線追跡
ゾーン プ レ ー ト と し て は平面状の透過型のも のを仮定 し, 軸対称の場合に限る。 計算のために使
用す る座標系 は第 1図に示す通 りであ る。光学系の対称軸 を Z 軸 と し, 光線の進行方向を 十Z方向と
す る。 更 に,
ゾーン プ レ ー ト の面を Z= Oと し , 入射瞳が こ の平面にあ る も の とす る。
物点 A (ズ
。, お, ら) よ り ゾーン プ レー ト上の点 P( 抑バ, 0) を経て像点 B(Xf, M, 辿) に達す る光線
に対す る光路関数は, ゾーン プ レー ト の透過率が格子状の周期構造を持つ こ と を考慮 し て,
吉田
84
稔 ・ 神谷恒吾
Y
B(×
1, yi, Z1)
OBJECT PLANE
Z
~
y ` よ l
j
』. l
↓ /
1
ZONE PLATE
1MAGE PLANE
第 1図
フ レネル ゾー ン プ レー ト に よ る結像。
A : 物点, P : ゾ ー ン プ レ ー ト上の入射点,
B : 像面上の入射点, B : 理想像点。
F= 一
丁
ll丁〈AP〉十
首
〈PB〉 + 7X附λ
( 1)
と表わ さ れ る (文献 1) 。 こ こで
<AP〉2 =
(心一㈲ 2十 ( 孔- /) 2十 Z。2,
( 2 a)
<PB〉2 =
(希一剣)2十 (j々- /) 2+ 42
( 2 b)
であ る。 また, 72は光軸 よ り数えた ゾーンの番号で, S と λはそれぞれ回折の次数お よび入射光の
波長で あ る。 <AP〉, <PB〉 の前の係数は虚光源 ( Z。> O) や虚像 ( Zf< O) の場合を含めた取 り扱
いを す るた めに付 けた。
I-
・
0
亘&
0
お よび
旦心
光線の経路は( 1) 式の光路関数に フ ェ ルマ ーの原理を適用 し て,
( 3 a)
( 3 b)
に よ り決定 さ れ る.
∂〈AP〉
こ こで, 式 ( 2 a) , ( 2 b) の両辺を 陥 / で偏微分す る こ と に よ り,
恥 一勿
-
( 4)
-
-
∂ω
< A P〉
な どが成 り立つ こ と を利用す る と, 式 ( 3 a) は,
ぐ 一
= 0
( 5 a)
唾知
= 0
( 5 b)
と な り, 式 ( 3 b) も 同様 に,
Z。
一
茜 一 /
一
lZ。¦
<AP〉
一
一
と な る。
式 ( 5 a) , ( 5 b) は像点の座標 珊, j々を 2 つの未知数 とす る連立方程式 と見なす こ と がで き,
フ レネル ゾー ン プ レ ー ト の 3 次収差
85
その解は,
£
苓 =
g +
y 1 - L 2- 訂 2
( 6 a)
Zf,
訂
夕, = / 十
( 6 b)
Zf
√二 ぴ ⊇炉
と表わ さ れ る。 こ こ で,
£ =
Za
. XO-
1λ
J
-
〈AP〉
ZQ
バ知
( 7 a)
贈
( 7 b)
お よび
夕 _
ゐ一/
Z Q
訂 ¯ 下司
-
〈AP〉
脚λ
はそれぞれ回折光の方向余弦のX 成分 と Y 成分に相当す る。
( 7) 式の ∂が ∂g お よび ∂が ∂/ はゾーンの形状によ っ て決ま る。
W
t
W
t
で は, ゾ ーン の番号が次の
式に よ っ て与 え られ る も のについて取 り扱 う。
刎:陥 /) =
Z472+ /2
( 8)
-
2れ2
な ま正の定数で, ( 8 ) 式は各 ゾーン当た りの面積が 2πが の同心円状の ゾーン プ レー トを表わ し て
い る。 こ の と き ( 7 ) 式 は,
£ =
Z。
易 -
g
一
二/
竺
/
-
(. 9 a)
( 9 b)
と な る。 こ こで, 後の計算の便宜のた め,
/=一
石
(10)
と置 いた。
一方,
ゾーン プ レ ー ト の中心を通 った後直進す る もの と 仮定 し た理想主光線の到達位置 ( 理想像
点) B の座標 は,
馬 = 隔 /Z。) 為
( 11a)
1 = ( ZyZ。) お
( 11b)
で あ るので, 像面上で の横収差は, ( 6) 式の ズi, jyj を使 っ て, l
△珊 = 鳶 一 局 = 希 一座 為 ,
( 12a)
zQ
お よび
△yf = j々一 又 = j々一 丘 お
( 12b)
zQ
に よ り求 め る こ と がで き る。
物点A の座標 (ズ。, M。 z。) , ゾーン プ レー ト上 の入射点 P の座標 ( g, /) , お よび像面の位置 zfが
与 え られた と きの光線追跡の手順を ま とめ る と次の よ う にな る。
入射光 の方向余弦 :
_
l z。¦
N ¯ で瓦石¯
吉 田 稔 ・ 神谷恒吾
86
心 一耀
£
y¥/
ZO
訂
知一/
-
jV
ら
但 し,
〈AP〉2= (ズ。- a/) 2十 (知- /) 2十 z。2
回折光 の方 向余弦 :
= 訂 一
/一
/
訂
N = y1 - L 2- jf 2
但 し,
y12
/ =
-
辨λ
像点の座標 :
蜀= 耀十分
Z£
j4 = / 十刄7Zf
像面上で の横収差 :
∠
X鳶 =
蜀 一 一 易
ん
△j々= j々―丘 茜
ZQ
3.
3 次の収差係数
さ て, 収差係数 を 求め る た め に, 入射光 お よ び回折光 が と も に近軸 の領域 にあ る も の と し て
( ¦ 恥 に j北 に l g に 口 に し引 ,
し川 ≪ l Z。¦ ,
臨 ¦,
げ に) 横収差の式をべき級数に展開
す る。 3 次収差の項 まで求め る には( 9 ) 式 において,
万 款 1言(≒戸卜伴宇)卜 。,
( 13a)
同様 に,
‰ =才 弓 (マ ∩
政 一/
ら
21
十〇5
( 13b)
と, 4 /Z。な どの 3次の項 まで展開すればよい。 なお, 心/Z。な どの 5 次以上の項を ま とめて こ こで は
0 5 と書いた。 こ う し て得 られた £
1 次の微小量で あ る こ と を考慮 し て,
と 訂 を ( 6 ) 式 に代入す る際 には, £ お よび 訂 がそれ 自身
フ レネル ゾーン プ レ ー ト の 3 次収差
1
87
{一
訂2十〇
4
+
( 14)
y1 - L 2- 訂 2
が利用で き る。最後に( 6) 式 を ( 12) 式に代入すれば, 近軸光線に対す る横収差の展開式が得 られ る。
= 1+ 才£2
こ こで問題 と し て いる光学 系は軸対称で あ るので, 物点が X-Z 平面上にある もの と し て も議論の
一般性を損なわない。 こ の場 合, 4耳 と △jい まそれぞれ横収差の子午面内の成分 とそれに垂直な方
向の成分を表わす こ と にな る 。あ= Oと し て上の展開を 実行 し た結果, 次のよ う に ま と め る こ と がで
き る。
△刄
=(1一
一
と) p
c
o
s
φ
十
ぐ
レ(言一
言)ρ
3c
o
s
φ
-ム
レ(ルール) ρ
2ta
n
ω
(2十
c
o
s
2φ
)
十
ぐ
卜
(去一
真
)p
ta
n
2ω
c
o
s
φ
-
Z£
十 〇5,
△j々
-
4
( 15 a)
= (去一
一
六
)p
s
in
φ
十
ぐ
レ(言一
言)ρ
3s
in
φ
-くし(ふ-jy
)ρ
2
ta
n
ω
s
in
2φ
十} (万
じー
ミフ
)p
t飢
‰s
illφ
十 〇5
( 15 b )
但 し,
余=と十
夕
(16)
と置いた。(p, φ) は瞳座標す なわち光線が ゾーン プ レー ト に入射す る点 Pの座標を ゾーン プ レー ト
の中心を原点 とす る極座標で 表わ し た も ので, ρは光軸か ら の距離, φは子午切断面 (y= O) を基
準 と し て測 った方位角であ る 。 また, 副 ま入射側の主光線が光軸 と なす角 ( 半画角) で, ( 15) 式の
導 出に当た っ て,
g = pcosφ,
( 17a)
/ = psinφ,
( 17b)
お よび
=
為 一心
tanω
( 18)
の置 き換 えを 行な っ た。
式 ( 15a) , ( 15b) の右辺 第 1項は焦点はずれに よ る も ので, 像面の位置を zf= zGとすれば消え
る。 す なわち zGは近軸像面 の位置を与 え, ( 16) 式 が薄 肉 レ ンズの物体距離 と像距離 と を 関係付け
る よ く 知 られた結像公式 と 同 じ形で ある こ とから, ( 10) 式で定義 した / が ゾーン プ レー トの焦点
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吉田 稔 ・ 神谷恒吾
距離を 表わ し て い る こ と がわ かる。
( 15) 式 の第 2 項以下が近 軸像面 ( Z= ZG) 上 で の収差 を 表 わす項 で あ り, こ の結果 は文献 3 の
( 18) , ( 19) 両式 に与 え られ て い る も の と一致す る。
収差係数の定義は一通 りで はな く , 文献に よ っ て ま ち まち で あ るが, こ こで は文献 7 に従 う。 す
なわ ち,
3 次の収差展開式を
1
△鳶
Ip3cosφ+ 11p2( X tanω) ( 2 十cos2φ)
-
2α
十
(2Ⅲ十
IV
)ρ
(jV
lta
n
ω
)2c
o
s
φ
十
V(N1ta
n
ω
)3},
Ip
3s
in
φ
+11p2(Xta
n
ω
)s
in
2φ十IV
p(況ta
n
ω
)2s
in
φ
¦
1
△j々
-
2α
の形 に表わ し た と き,
( 19a)
( 19b)
I , II , III, IV, V を, それぞれザイ デルの 5収差の う ち, 球面収差,
コマ
非点収差, 球欠像面鸞 曲, お よ び歪 曲を表わす収差係数 と定義す る。 ( 19) 式の 況 は物空間の屈折
率で,
こ こで は 況 = 1 で あ り, また α が射出光線の ρ= 1 に対す る換算傾角で, 今の場合 1/zけこ
等 し い こ と を考慮 し て, ( 15) 式 と ( 19) 式の対応す る各項の係数を それぞれ比較す る こ と に よ り,
ゾーン プ レー ト の 3 次収差係 数が次のよ う に求め られ る。
lz
r=-(言一
言) =古(3/)2+1) ,
Ilz
r=言一
鼻=-y
i♪,
1
1
1
z
r=IV
z
r=- (と一
言
) =ナ,
V zr = 0
。
(20a)
(20b)
(20c,d)
( 20 e )
こ こで , 夕 は物体距離を表わ す パ ラ メ ータ で,
リ = 1十茫
(21)
4フ
に よ り定義 し た。
4 . 薄肉 レ ンズ と の比較
レン ズ 自身が入射瞳 と な っ て いる よ う な薄肉の単 レ ンズにつ いて, 収差論の公式を適用 し て 3 次
収差係数を 求め, ( 20) 式 と 同 じ形式 に整理す る と次の よ う に書 く こ と がで き る。
h
lh
III E
-
上 ,
伊
1
-
-
IVt =
3皿 + 2
4( 皿 + 1)
皿 + 2
g2 +
♪2 加 十
皿
筑 ( 皿 - 1)
皿 ( 皿 - 1) 2
一
2yW + 1
夕
2皿
皿 + 1
2皿(皿- 1回
仁
バ1績)
Vt = 0
。
a)
( 22b)
( 22C)
( 22d)
( 22 e )
こ こ で jVkは レ ンズの屈折率, い ま形状因子( shapefad or) と 呼ばれ る量で, レ ン ズの第 1 面 と 第 2
面 の曲率半径を そ れぞれ £ 1, 瓦 と し て,
フ レネル ゾー ン プ レ ー ト の 3 次収差
10
8
H
の
吟-
6
6
4
陥 2
レ ∧ 柏▽
¥ ≒ソ /
叉仁 ∧ ▽
悦込ム ソ
¥
へ
‰
2
(a)
○
-2
/
¥
Z P
ヘ
ヘ
/
_
-
/
/
○
-
☆
ブ ⑤浪
⑤長ぶ☆
言 ⑤心
べ
①
4
目
/
¥
-4
2
- 1
○
1
(- f
(- 2f )
( ±00)
2
-
2
p (Z。)
第 2図
89
- 1
0
1
(- f
(- 2f )
( ±00)
(b)
2
p (Z。)
球面収差 (a), お よ び コ マ (b) の収差係数。 実線 : 屈折率1. 5の薄 肉 レ ン ズ, 破線 : フ レ ネル ブ ー ツ プ レ ー ト。
g
尺2+ 尺1
( 23)
一
尺2- 尺1
によ り定義 される。 なお, 焦点距離 / はこの場合,
で
y= (皿-1)(・ま二足
)
(24)`
に従 う。
( 22) 式を ( 20) 式の対応す る各収差係数 と比較す る と,
レ ン ズの屈折率 jVk が無限大 と な る極
限で, どの収差係数 も, 形状因子 ・7に関わ らず, 同 じ焦点距離 の ゾーン プ レ ー ト と 同 じ 値 にな る こ
と がわ か る。
球面収差 I お よび コ マ II について は, 物体距離に よ る依存を 第 2 図 (a) お よび (b) に示 し た。実線が
= -
-
-
薄肉 レ ンズの例で, 屈折率が1. 5の場合を , 破線が ゾーン プ レ ー ト の場合を表わ し て い る。 ゾーン プ
レー ト の場合,
レ ンズの よ う にペ ン デ ィ ン グに よ っ て コ マ を 除去す る こ と はで き な いが, 通常の結
像条件 ( - Z。> / > O) で は, 球面収差はどんな形状因子の薄肉レンズよ り も小さ く な る。
5.
お
わ
り
に
幾何光学的な光線追跡法に基づいて, フ レネルゾーン プ レ ー トの 3次収差係数を導 き, 薄肉 レン
ズ と比較 し た。
光路関数 F 自身を べ き級数に展開 し て か ら フ ェ ルマ ーの原理を適用す る従来の計算法 に比べ, 展
開の項数が少な く て済み, また, 横収差 △珊, △y, を表わす式の導 き方がよ り直接的で あ るので, 更
に高次の収差の計算 も容易に行な え る。
同心 円状の平面の ゾーン プ レ ー ト に取 り扱いを 限 った が, ゾーン プ レ ー ト の組み合わせを応用 し
た軟X 線顕微鏡の結像性能の評価な どには有効で あろ う。
文
献
1) H. G. Beutler : TheTheory of theConcaveGrating, J. 0 pt. Soc. Am., 35 ( 1945) 311-350.
90
2 ) T . Namioka :
吉田
稔 ・ 神谷恒吾
Theory of the Concave Grating. I , J. 0 pt. Soc. Am。 49 ( 1959) 446-460.
3 ) K . K amiya : Theory of Fresnel Zone Plate, Sci. Light, 12 ( 1963) 35-49.
4 ) W . T . W elford : Tracing Skew Raysthrough ConcaveDiffraction Gratings, Opt. Acta, 9 ( 1962) 389-394・
5) H. Noda, T . N amioka, and M . Seya : Ray Tracing through HolographicGratings, J. 0 pt. Soc. Am。 64
( 1974) 1037-1042.
6 ) 神谷恒吾,吉田 稔 :
フ レネル ゾーン プ レ ー トを通 し て の光線追跡 , 分光研究, 36 ( 1987) 395-399.
7) 松居吉哉 : レソ ズ設計法 ( 共立出版, 東京, 1972) 第 4 章。
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