効率的フロンティアと資本市場線（CML）

現代ファイナンス論講義ノート No.5
効率的フロンティアと資本市場線（CML）
蛭川雅之
2014 年 11 月 3 日
現代ファイナンス論講義ノート No.5
担当：蛭川雅之
1 効率的フロンティア
1.1 多数のリスク資産から構成されるポートフォリオのリス
クとリターン
• ポートフォリオを構成するリスク資産は２種類に限定されない。
– 実際には、多数のリスク資産が市場で取引されている。
• ３種類のリスク資産 A・B・C から構成されるポートフォリオのリ
スクとリターンとの関係を考える。
– 期待収益率：(E (rA ) , E (rB ) , E (rC )) = (0.06, 0.04, 0.02)
– 収益率の標準偏差：(σA , σB , σC ) = (0.4, 0.3, 0.2)
– 収益率の相関係数：(ρAB , ρBC , ρCA ) = (−0.3, 0.3, 0.0)
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1.2 効率的フロンティア
• ３種類のリスク資産から構成されるポートフォリオのリスクとリ
ターンの集合は、曲線 AB、曲線 BC、およびこれらの包絡線で囲
まれた領域である。
– この集合を投資機会集合という。
– 包絡線を最小分散境界という。
• 効率的フロンティアは、最小分散境界の頂点より上側部分を指す。
– 効率的とは、「所与のリスクに対し、リターンをこれ以上改善
できない」という意味である。
– リスク資産のみへの投資を考える場合、効率的フロンティア上
の点（より正確には、効率的フロンティアと無差別曲線との接
点）で投資を行うのが最善の選択である。
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2 資本市場線 (CML)
2.1 無リスク資産の導入
• 効率的フロンティアより左上側にあるリスクとリターンの組合せを
実現するにはどうすればよいか？
– 国債などの無リスク資産（リスクフリー資産）をポートフォリ
オに組入れる。
– 無リスク資産の収益率は一定である。
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• 手持ち資金の α% をリスク資産のみからなるポートフォリオ M、
残り (1 − α) % を無リスク資産 F に投資するようなポートフォリ
オを考える。
– 以下の表記を用いる。
1. ポートフォリオ M の収益率：rm
2. 無リスク資産 F の収益率 (=リスクフリー・レート、また
は無リスク金利)：rf
2
3. ポートフォリオ M の収益率の分散：σm
= V ar (rm )
• このポートフォリオの収益率 rP の期待値および分散は次のように
なる。
E (rP ) = αE (rm ) + (1 − α) rf ,
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σP2 = α2 σm
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2.2 資本市場線 (CML)
•（2）から σP = ασm が成り立ち、これを（1）に代入して、次の関
係式を得る。
{
E (rP ) = rf +
E (rm ) − rf
σm
}
σP .
–（3）は σP − µP 平面上で直線として表される。
• 傾き
E (rm ) − rf
(リスク・プレミアム)
=
σm
(ポートフォリオのリスク)
をシャープ・レシオ（Sharpe Ratio）という。
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• 直線（3）が効率的フロンティアの接線となるとき、最も効率的で
ある。
– この接線を資本市場線（Capital Market Line, CML）という。
– シャープ・レシオは資本市場線で最大となる。
• 資本市場線と効率的フロンティアとの接点では、リスク資産の最適
な組合せ（＝投資比率）が一意に決まる。
– この組合せをマーケット・ポートフォリオ（Market Portfolio）
という。
– マーケット・ポートフォリオは投資家の選好（＝無差別曲線の
形状）に関係なく決まる。
• 合理的な投資家は無リスク資産とマーケット・ポートフォリオを組
み合わせたポートフォリオを保有する。
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2.3 分離定理
• 多数のリスク資産と１つの無リスク資産からなるポートフォリオの
最適構成を考える。
1. マーケット・ポートフォリオは投資家の無差別曲線の形状に関
係なく決まる。
2. マーケット・ポートフォリオと無リスク資産との最適構成比率
は、資本市場線と自身の無差別曲線の接点で決まる。
• これら２つの意思決定が別々に行われることをトービンの分離定理
（Tobin’s Separation Theorem）という。
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練習 1 ２種類のリスク資産 A・B および１種類の無リスク資産から最適
なポートフォリオを構成する。これらの収益率に関する条件を以下のよう
に仮定する。
リスク資産：
期待収益率
収益率の標準偏差
収益率の相関係数
リスクフリー・レート
(E (rA ) , E (rB )) = (5%, 10%)
(σA , σB ) = (0.04, 0.10)
ρAB = −0.2
rf = 2%
エクセル・ファイル“ln05.xls”を利用して以下の数値を計算せよ。
1. マーケット・ポートフォリオの内訳（＝各リスク資産の組入れ比率）
2. マーケット・ポートフォリオの期待収益率、リスク・プレミアムお
よび収益率の標準偏差
3. 資本市場線のシャープ・レシオ
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