ブローアップ
早稲田大学数学科二年 @waheyhey
2014 年 2 月 10 日
概要
2014 年の春休みの頭に特異点解消を勉強するための準備として，スキーム論を復習をしたものをまとめ
ました．基本的には個人的に使うために書いたので，読みにくいかつ間違いが沢山あるかもしれません．
目次
有理写像
1
1
1.1
スキーム的稠密
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
有理写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
因子
6
Cartier 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ブローアップ
8
2
2.1
3
1 有理写像
1.1 スキーム的稠密
定義 1.1（majorize） X の部分スキーム Z, Z ′ に対し，埋め込み Z ,→ X が埋め込み Z ′ ,→ X を factor する
とき，Z ′ は Z を majorize するという．
定義 1.2（スキーム的稠密） X をスキームとする．開部分スキーム U ⊂ X は，次の条件を満たすときスキー
ム的稠密であるという：
任意の X の開部分スキーム V ⊂ X に対し，U ∩ V を majorize する V の閉部分スキームは V 自身のみで
ある．
命題 1.3 S をスキーム，X を S スキーム，j : U ,→ X を開部分スキームとする．このとき，次が同値で
ある．
(i) U は X の中でスキーム的稠密である．
(ii) j ♭ : OX → j∗ OU は単射である．
(iii) 任意の開部分スキーム V ⊂ X ，任意の分離 S スキーム Y ，任意の S スキームの射 f, g : V → Y に対
し，f|U ∩V = g|U ∩V ならば f = g である．
1
証明
(ii) ⇒ (i) を示す．V ⊂ X を X の開部分スキーム，i : Z ,→ V を V の閉部分スキームでイデアル層
I ⊂ OV で定義されているものとする．U ∩ V を Z が majorize するとする．まず U ∩ V は Z の開部分ス
♭
キームであり j∗ は単射を保存するから，j∗ OU ∩V → j∗ OZ は単射．(ii) より j|V
も単射であるから，これら
の合成で得られる射
i♭ : OV → i∗ OZ = OV /I
も単射となり，すなわち I = 0 となる．
(i) ⇒ (iii) を示す．difference kernel Ker(f, g) は U ∩ V を majorize する閉部分スキームである（Ker(f, g)
が閉部分スキー ムであること は Y が分離的であることから従う）．U がスキーム的稠密であるから，
Ker(f, g) = V ．すなわち f = g となる．
(iii) ⇒ (ii) を示す．任意の開部分集合 V ⊂ X に対し，
Γ(V, OX ) −→ Γ(V, j∗ OU ) = Γ(V ∩ U, OX )
が単射であることを示す．これには (iii) において Y = A1S として，
Hom(V, A1S ) −→ Hom(V ∩ U, A1S )
f 7−→ f|U ∩V
は条件より単射であり，
Γ(V, OX ) = Hom(V, A1S )
などであることより従う．
系 1.4 S をスキーム，X を S スキームとする．次が成り立つ．
(i) 開部分スキーム U ⊂ X がスキーム的稠密ならば，U は X で稠密である．
(ii) 開部分スキーム U, U ′ ⊂ X がスキーム的稠密ならば，U ∩ U ′ も X でスキーム的稠密である．
(iii) U ⊂ X が X でスキーム的稠密，W ⊂ U は U でスキーム的稠密であるとする．このとき W は X で
スキーム的稠密である．
(iv) X =
∪
j
Vj を開被覆とする．U ⊂ X が X でスキーム的稠密であるための必要十分条件は，任意の j
に対し U ∩ Vj が Vj でスキーム的稠密であることである．
証明
(i) ある空でない開集合 U ′ ⊂ X が存在して U ∩ U ′ = ∅ とする．j : U ,→ X を埋め込みとする．
Γ(U ′ , OX ) −→ Γ(U ′ , j∗ OU ) = Γ(∅, OU ) = 0
より単射でない．
(ii) V ⊂ X を開部分スキーム，Y を分離 S スキーム，f, g : V −→ Y を f|U ∩U ′ ∩V = g|U ∩U ′ ∩V をみたす
スキームの射とする．このとき，U はスキーム的稠密であるから開集合 U ′ ∩ V に命題 1.3 の (iii) もち
いて，f|U ′ ∩V = g|U ′ ∩V をえる．次に U ′ がスキーム的稠密であることから開集合 V に命題 1.3 の (iii)
を用いて f = g をえる．よって再び命題 1.3 の (iii) より U ∩ U ′ も X でスキーム的稠密である．
(iii) 命題 1.3 の (ii) と，層の順像が単射を保存することより従う．
局所ネータースキームに対してはスキーム的稠密を付随点で特徴付けることができる．
2
定義 1.5（付随素イデアル） A を環，p ⊂ A を素イデアルとする．p は．ある A の元 a ∈ A があって
p = Ann(a) と書けるとき，付随素イデアルであるという．環 A に対しその付随素イデアルからなる集合を
Ass(A) で表す．
定義 1.6（スキームの付随点） 局所ネータースキーム X に対し，x ∈ X は px が OX,x の付随素イデアルで
あるとき，X の付随点であるという．X の付随点全体を Ass(X) で表す．
付随素イデアルについて次が成り立つ：
A をネーター環，M を A 加群とする．積閉集合 S ⊂ A に対し
Ass(S −1 M ) = Spec S −1 A ∩ Ass(M )
が成り立つ（後で証明を書く）から，ネーター環 A とアフィンスキーム X = Spec A に対して
Ass(X) = Ass(A)
が成り立つ
命題 1.7 X を局所ネータースキームとする．このとき開部分スキーム U ⊂ X がスキーム的稠密であるため
の必要十分条件は，U が X の付随点を全て含む，すなわち U ⊃ Ass(X) となることである．
証明
任意の開部分スキーム V ⊂ X に対し定義から Ass(V ) = Ass(X) ∩ V が成り立つ．U のスキーム的稠
密性は局所的に判定可能なので（系 1.4(iv)）
，主張は次の補題より従う．
補題 1.8 A をネーター環，X = Spec A，a ⊂ A をイデアル，U = X \ V (a) を X の開部分スキームとする．
このとき，次は同値である．
(i) U は X でスキーム的稠密．
(ii) ある非零因子 t ∈ A が存在して U ⊃ D(t) となる．
(iii) 非零因子 t ∈ a が存在する．
(iv) Ann(a) = 0．
(v) U ⊃ Ann(A)．
証明
(ii) ⇔ (iii) は明らか．
(ii) ⇒ (i)．D(t) ⊂ U が X でスキーム的稠密であることを示せばよい．V ⊂ X を開集合とする．
s ∈ Γ(V, OX ) を s|V ∩D(t) = 0 なる元とすれば，任意のアフィン開集合 W ⊂ V に対してある n ≥ 1 が存在し
て tn
|W · s|W = 0 となる（なぜならば OX は特に準連接層であるから同型 Γ(W, OX )t ≃ Γ(W ∩ D(t), OX ) が
成り立つ）
．t|W は零因子ではないので s|W = 0．アフィン開集合 W ⊂ V 全体は V の被覆をなすので，s = 0
である．よって
j ♭ : OX −→ j∗ OD(t)
は単射であるので D(t) は X でスキーム的稠密である．
(i) ⇒ (iv)．s ∈ Ann a，x ∈ U とする．px ∈
/ V (a) であるから，ある a ∈ a \ px が存在する．このとき
×
a ∈ OX,x
かつ sa = 0 であるから，sx = 0．x ∈ U は任意なので s|U = 0 となる．ここで U はスキーム的稠
密であるから
Γ(X, OX ) → Γ(X, j∗ OX ) = Γ(U, OX )
3
は単射．よって s = 0 である．
(iv) ⇒ (v)．Ass A ∩ V (a) ̸= ∅ と仮定する．このとき p ∈ Ass A でかつ p ⊃ a となる素イデアル p が存
在する．p は付随素イデアルなので，p = Ann s なる 0 ̸= s ∈ A がとれる．このとき a ∈ Ann a となり矛盾
する．
(v) ⇒ (iii)．a の元は全て零因子であると仮定する．イデアル族 F = {Ann m | 0 ̸= m ∈ A} は A がネー
ターなので極大元を持つ．Ann m が F の極大元であるとして，a, b ∈ A，abm = 0，bm ̸= 0 とすると，極大性
から Ann m = Ann bm となる．よって a ∈ Ann m であるから，F の極大元は付随素イデアルである．一方，
任意の m ∈ a に対し，これが零因子であることからある a ∈ A があって am = 0，すなわち m ∈ Ann a ∈ F
で，よって Ann a を含む F の極大元の素イデアル p があって m ∈ p となる．以上から，A の付随素イデアル
pi たちにより，
a⊂
∪
pi
i
となる．ここで，prome ideal avoidance によりある i に対して a ⊂ pi ，すなわちある i に対して pi ∈
Ass A ∩ V (a) となり，(v) の仮定に矛盾する．
注意 1.9 上の補題において証明から (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) ⇒ (iv) ⇒ (v) はネーター性の仮定無しで成り立つ．
これにより，X をスキーム，Z ⊂ X をイデアル層 I ⊂ OX から定まる閉部分スキーム，U = X \ Z を開部
分スキームとするとき，任意のアフィン開集合 V ⊂ X に対し Γ(V, I) が正則な（すなわち零因子でない）元
をもつならば，U は X でスキーム的稠密である．この事実は後で用いる．
1.2 有理写像
定義 1.10（有理写像） X, Y をスキームに対し
{
}
R(X, Y ) := (U, f˜) | U ⊂ X はスキーム的稠密，f˜ : U → Y はスキームの射
とする．(U, f˜), (V, g˜) ∈ R(X, Y ) に対し２つが同値であることを，あるスキーム的稠密な開集合 W ⊂ U ∩ V
が存在して f˜|W = g˜|W となることとして定める．これは明らかに R(X, Y ) 上に同値関係を定める．この同値
関係による R(X, Y ) の各同値類を，X から Y への有理写像という．f が X から Y への有理写像であるこ
とを
f : X 99K Y
で表す．
また，有理写像 f : X 99K Y は代表元 (U, f˜) で f˜ : U → Y が S 射であるものがとれるとき，有理 S 写像
であるという．X から Y への有理 S 写像の集合を RatS (X, Y ) で表す．
注意 1.11
S スキームの射 f : X → Y の同値類は有理 S 射であるから，
HomS (X, Y ) −→ RatS (X, Y )
が定まる．
X を S スキーム，W ⊂ X を開部分スキーム，f : X 99K Y は有理 S 写像とする．f の代表元
を (U, f˜) としたとき，U ∩ W は W でスキーム的稠密である．(U ∩ W, f˜|W ) の代表元を f|W であらわすと
注意 1.12
f|W : W 99K Y は有理 S 写像で，代表元の選び方によらない．
4
定義 1.13（有理写像の定義域） f : X 99K Y を有理 S 写像とする．X の開部分スキーム dom(f ) ⊂ X を
{
}
dom(f ) := x ∈ X | ある f の代表元 (U, f˜) で x ∈ U かつ f˜ が S 射であるものが存在する．
で定め，有理写像 f の定義域という．
定義より dom(f ) は X でスキーム的稠密である．次の命題により Y が分離 S スキームであるときは，有
理写像 f : X 99K Y と，S 射 dom(f ) → Y を同一視できる．
命題 1.14
X を S スキーム，Y を分離的 S スキーム，f : X 99K Y を有理 S 射とする．このとき，f の代表
元である S 射 f0 : dom(f ) → Y が一意に定まる．
U 7→ HomS (U, Y ) は X 上の集合の層であるから，(U, f˜), (V, g˜) を f˜ および g˜ が S 射であるような f
の代表元としたとき，f˜|U ∩V = g˜|U ∩V を示せばよい．
証明
U と V はそれぞれスキーム的稠密であるから U ∩ V もスキーム的稠密である．(U, f˜) と ( V, g˜) は両方 f の
代表元であるから定義よりある開集合 W ⊂ U ∩ V が存在して f˜|W = g˜|W となる．Y は分離的 S スキームで
あるから命題 1.3 より f˜|U ∩V = g˜|U ∩V となる．
定義 1.15（有理関数） S をスキーム，X を S スキームとする．有理 S 写像 f : X 99K A1S を有理 S 関数と
いう．X 上の有理 S 関数の集合を R(X) で表す．
HomS (U, A1S ) = Γ(U, OX ) より，
R(X) := lim Γ(U, OX )
−→
U
（上の帰納極限において U はスキーム的稠密な開部分スキーム全体を走る．）を得る．
注意 1.16
既約なスキーム X に対し Xred はスキーム的稠密である．実際，U ⊂ X を任意の開集合，Y を
S 上分離的なスキーム，S 射 f, g : X → Y を f|U = g|U なるものとすると，Ker(f, g) ⊃ U であり，Y が
分離的であるから Ker(f, g) ⊂ X は閉部分スキーム，X が既約より U は稠密であるから，位相空間として
Ker(f, g) = X とならねばならない．これにより Xred ⊂ Ker(f, g) を得る．
以上より，特に整スキーム X に対しては任意の空でない開部分スキーム U （すなわち X の生成点 η ∈ X
を含む開集合）はスキーム的稠密である．よって
R(X) = OX,η = K(X)
となる．
定義 1.17（双有理写像，双有理同値） S をスキーム，X, Y を S スキームとする．有理 S 写像 f : X 99K Y
∼
は，代表元 (U, f˜) で，ある Y のスキーム的稠密な開部分スキーム V ⊂ Y に対して f˜ が S 同型 f˜ : U −
→V ⊂Y
を与えるようなものが存在するとき，双有理写像であるという．
X, Y は双有理写像 f : X 99K Y が存在するとき双有理同値であるという．また，S 射 f : X → Y は (X, f )
が双有理写像の代表元であるときに，双有理写像であるという．
X, Y が整スキームとのとき，双有理写像 f : X 99K Y は関数体の同型 K(X) ≃ K(Y ) を誘導する．実は，
X, Y が S 上局所有限表示なら逆も成り立つが，ここでは証明しない．
Now Writing
5
2 因子
2.1 Cartier 因子
定義 2.1（全商環の層） X をスキームとする．前層
U 7−→ Frac Γ(U, OX )
に付随する層 KX を OX の全商環の層という．
定義 2.2（Cartier 因子） X をスキームとする．
×
×
(1) Div X := Γ(X, KX
/OX
) の元を Cartier 因子（または単に因子）という．Cartier 因子の演算は加法的
に書く．
×
(2) Cartier 因子 D は D ∈ Im(Γ(X, KX
) → Div X) となるとき，主 Cartier 因子（または単に主因子）で
あるという．
(3) Cartier 因子 D1 , D2 ∈ Div X は，D1 − D2 が主 Cartier 因子になるとき，線型同値であるという．
D1 , D2 が線型同値であることを D1 ∼ D2 で表す．
×
×
(4) Cartier 因子 D ∈ Div X は，D ∈ Div+ X := Γ(X, (KX
∩ OX )/OX
) となるとき，有効 Cartier 因子
（または単に有効因子）という．
X 上の Cartier 因子は局所的には次のように表示できる．すなわち X 上の Cartier 因子は，X の開被覆
∪
×
×
) の組 (Ui , fi )i で，任意の i, j に対し fi fj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX
X = i Ui と単元 fi ∈ Γ(Ui , KX
) となるも
のと考えられる．これに対し Cartier 因子の各性質は次のように与えられる：D, E をそれぞれ (Ui , fi )i と
(Vj , gj )j で代表される Cartier 因子とする．
×
(1) D = E となるための必要十分条件は，任意の i, j に対して fi gj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Vj , OX
) となることである．
(2) D + E は (Ui ∩ Vj , fi gj )i,j で定義される．
(3) D が主因子であるための必要十分条件は，D が (X, f ) で代表されることである．
(4) D が有効因子であるための必要十分条件は任意の i で fi ∈ Γ(Ui , OX ) となることである．
(5) −D は (Ui , fi−1 )i で定義される．
主因子全体からなる部分群を Divprinc X で表し，剰余群
DivCl X := Div X/Divprinc X
を因子類群という．このとき完全列
×
×
1 −→ Γ(X, OX
) −→ Γ(X, KX
) −→ Div X −→ DivCl X −→ 0
を得る．
定義 2.3（可逆商イデアル） KX の OX 部分加群で可逆 OX 加群であるものを，OX の可逆商イデアルとい
う．可逆商イデアルの積を I1 I2 ⊂ KX で定める．
×
D を Cartier 因子，(Ui , fi )i を D の代表元とすると，fi fj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX
) より，IX (D)|Ui := fi OUi
なる可逆商イデアル IX (D) が定まる．
6
命題 2.4 スキーム X に対し，群の同型
}
∼ {
Div X −
→ OX の可逆商イデアル
D 7−→ IX (D)
が存在する．
証明
逆対応を作る．I ⊂ KX を可逆商イデアルとすると，可逆層であることから開被覆 X =
∼
∪
i
Ui が存在
して任意の i に対し同型 ηi : OX |Ui −
→ I|Ui が定まる．この同型に対し
ηi (Ui ) : OUi (Ui ) −→ I(Ui )
1 7−→ fi
×
とすると，fi ∈ Γ(Ui , KX
) となる．実際，fi が単元でないとすると，層化の構成からある開集合 W ⊂ Ui
が存在して f|W = g/h ∈ Frac Γ(W, OX )（g は零因子，h は非零因子）の形で書ける．このとき，ηi (W ) :
OUi (W ) → I(W ) は同型ではないので矛盾する．I に対しこれにより得られる (Ui , fi )i を対応させればよい．
注意 2.5 D を Cartier 因子，(Ui , fi )i を代表元とすると，D が有効 Cartier 因子となるための必要十分条件
は対応する可逆商イデアル IX (D) が OX のイデアルとなることである．このイデアル層 I(D) ⊂ OX に対応
する X の閉部分スキームを再び D で表し元の有効 Cartier 因子と同一視する．またこのとき，注意 1.9 より
開部分スキーム U := X \ D は X でスキーム的稠密となる．
■因子の引き戻し
補題 2.6 φ : A → B を平坦な環準同型（すなわち B は φ による作用によって平坦 A 代数になる）とする．
このとき，φ は A の非零因子を B の非零因子にうつす．
証明
a ∈ A を非零因子とすれば，a 倍によって与えられる A 加群の準同型 a : A → A は単射である．
A ⊗A B ≃ B に注意すれば B は A 上平坦なので，φ(a) : B → B も単射である．従って φ(a) は B の非零因
子である．
命題 2.7 f : X → Y を平坦射とする．このとき，層の準同型 OY → f∗ OX は，全商環の層の準同型
f ♯ : KY → f: KX に延長できる．
証明
KX は前層 U 7→ Frac Γ(U, OX ) に付随する層であること，およびアフィン開集合たちがスキームの開
基をなすことより，アフィン開集合 V = Spec A ⊂ Y に対し環準同型
φ : Γ(V, OY ) −→ Γ(f −1 (V ), OX )
が非零因子を非零因子にうつすことを確かめればよい（そうすれば局所化の普遍性より求めている準同型を
得る）
．
f −1 (V ) =
∪
i
Ui （各 i に対し Ui = Spec Bi ）をアフィン開被覆とする．これにより各 i に定まる環準同型
φi : A → Bi
は仮定より平坦であるから，直前の補題により非零因子を非零因子にうつす．
7
非零因子 a ∈ A に対して，Γ(f −1 (V ), OX ) において φ(a) · b = 0 とする．これを開集合 Ui に制限すると，
0 = (φ(a) · b)|Ui = φi (a) · b|Ui となり，φi (a) は非零因子であるから b|Ui = 0 である．i は任意なので層の性
質から b = 0．すなわち φ(a) は非零因子である．
以上によりスキームの平坦射 f : X → Y に対し，次のように Cartier 因子の引き戻しを定めるこ
とができる．まず，この命題により f ♯ : KY → f∗ KX が定まる．環準同型は単元を単元にうつすの
で，f ♯ : KY× → (f∗ KX )× を得る．ここで開集合 V ⊂ Y に対して Γ(V, (f∗ KX )× ) = Γ(V, f∗ KX )× =
×
×
×
Γ(f −1 (V ), OX )× = Γ(f −1 (V ), OX
) = Γ(V, f∗ (KX
)) となるので，結局この準同型は f ♯ : KY× → f∗ (KX
)で
×
×
×
ある．この部分層間の準同型 OY× → f∗ (OX
) も定まるから，KY× /OY× → f∗ (KX
)/f∗ (OX
) を得る．ここで，
完全列
×
×
×
×
0 −→ OX
−→ KX
−→ KX
/OX
−→ 0
に対して，f∗ は左完全関手より
( × ×)
×
×
0 −→ f∗ (OX
) −→ f∗ (KX
) −→ f∗ KX
/OX
×
×
×
×
は完全列．よって f∗ (OX
) −→ f∗ (KX
) の余核 f∗ (KX
)/f∗ (OX
) の普遍性より
( × ×)
×
×
f∗ (KX
)/f∗ (OX
) −→ f∗ KX
/OX
が定まる．以上の写像を合成することで，
( × ×)
KY× /OY× −→ f∗ KX
/OX
が定まり，これによって
(
( × × ))
( ( × × ))
f ∗ : Div Y = Γ(Y, KY× /OY× ) −→ Γ Y, f∗ KX
/OX = Γ X, KX
/OX = Div X
を得る．
定義 2.8（引き戻し） この f ∗ : Div Y → Div X を Cartier 因子の引き戻し写像という．
系 2.9 f : X → Y をスキームの平坦射とする．Y の有効 Cartier 因子 Z ⊂ Y に対して，f −1 (Z) は X の有
効 Cartier 因子であり，因子として Z の引き戻し f ∗ (Z) と一致する．
証明
局所的に確かめられるので X = Spec B ，Y = Spec A，非零因子 t ∈ A に対し Z = V (t) とし
てよい．対応する環準同型を φ : A → B とするとこれは平坦射であるから φ(t) は非零因子であり，
f −1 (Z) = V (φ(t)) = f ∗ (Z) となる．
Now Writing
3 ブローアップ
定義 3.1（ブローアップ） X をスキーム，Z を X の閉部分スキームとする．Z に沿った X のブローアップ
˜ と射 π : X
˜ → X で π −1 (Z) が X
˜ の有効 Cartier 因子となるものであり，次の普遍性を満
とは，スキーム X
たす：
8
˜ ′ → X で π ′−1 (Z) が有効 Cartier 因子であるものに対し，g : X
˜′ → X
˜ で π ◦ g = π ′ なるも
任意の π ′ : X
のが一意に存在する．
∃!g
/X
˜
}
}}
}
π′
}} π
}~ }
X
˜′
X
˜ で表す．ま
この定義より X の Z に沿ったブローアップは同型を除いて一意的であり，これを BlZ (X) := X
た，有効 Cartier 因子 π −1 (Z) をブローアップの例外因子という．
命題 3.2 X をスキーム，Z ⊂ X を閉部分スキーム，π : BlZ (X) → X を Z に沿った X のブローアップ，
f : X ′ → X をスキームの射とする．このとき，次が成り立つ．
(i) スキームの射 BlZ (f ) : Blf −1 (Z) (X ′ ) → BlZ (X) が存在して次が可換になる．
BlZ (f )
Blf −1 (Z) (X ′ )
/ BlZ (X)
X′
/X
f
(ii) f が平坦射であれば (i) の図式は pull back である．
∼
(iii) 開部分スキーム U := X \ Z に対し，π|π−1 (U ) : π −1 (U ) −
→ U は同型である．
(iv) Z に対応するイデアル層を I ⊂ OX とする．任意の開集合 V ⊂ X に対し Γ(V, I) が非零因子をもつ
ならば，π は双有理写像である．
証明
(i) ブローアップの普遍性より明らかである．
(ii) Y := X ′ ×X BlZ (X) とする．ファイバー積の普遍性から次の図式全体を可換にする Blf −1 (Z) (X ′ ) → Y
が一意に定まる．
Blf −1 (Z) (X ′ )
∃!
%
Y
p
q
! X′
'
/ BlZ (X)
p.b.
f
π
/X
また，平坦性は基底変換の下で安定であるから p も平坦射である．よって有効 Cartier 因子の平坦射
による逆像がまた有効因子であることから q −1 (f −1 (Z)) = p−1 (π −1 (Z)) は有効 Cartier 因子である．
よってブローアップの普遍性から Y → Blf −1 (Z) (X ′ ) で次を可換にするものが一意に定まる．
/ Blf −1 (Z) (X ′ )
s
sss
q
s
s
s
ysss
′
X
Y
これにより Y ≃ Blf −1 (Z) (X ′ ) を得る．
(iii) (ii) を開埋め込み U ,→ X に対し適用すればよい．
9
(iv) 注意 1.9 より U はスキーム的稠密，また注意 2.5 より π −1 (U ) = BlZ (X) \ π −1 (Z) も BlZ (X) でス
キーム的稠密であるから，結果は (iii) より従う．
命題 3.3 X をスキーム，Z ⊂ X を X の閉部分スキーム，I ⊂ OX を Z に対応するイデアル層とする．正
の整数 d > 0 に対し I d を，I の自身による d 回テンソル，I 0 = OX とし，B =
⊕
d≥0
I d とおく．このとき，
˜ := Proj B → X は，X の Z に沿ったブローアップになる．
π:X
証明
B=
局所的に確かめられるので，以下では X = Spec A，I ⊂ A を Z = V (I) となる A のイデアル，
⊕
d≥0
I d とする．
f ∈ I に対し，A[If −1 ] ⊂ Af を x/f (x ∈ I) で生成される Af の部分 A 代数とする．このとき，A[If −1 ]
は Bf の 0 次部分 B(f ) と同型であるから，D+ (f ) ≃ Spec A[If −1 ] となる．
/9 X
ss
s
s
ss
ss π′
s
s
/ Spec A[If −1 ]
π
˜
X
O
?
D+ (f )
∼
˜ たちの開被覆をなすから，π −1 (Z) が有効 Cartier 因子であることを確かめる
ここで，D+ (f ) たちは X
には，π −1 (Z) ∩ D+ (f ) ≃ π ′−1 (Z) ⊂ Spec A[If −1 ] が非零因子から生成される単項イデアルに対応する
閉集合であることを確かめればよい．φ′ : A → A[If −1 ] を π ′ に対応する A 代数の準同型とすると，
π ′−1 (Z) = π ′−1 (V (I)) = V (φ′ (I)) である．{xα }α を I の生成系とすると，同型
∼
A[If −1 ] −
→ A[(Tα )α ]/((f Tα − xα )α )
が成り立つから，A[If −1 ] の中で φ′ (I) で生成されるイデアルは単項イデアル (f ) と一致し V (φ′ (I)) = V (f )
となる．f ∈ A[If −1 ] は非零因子であるから，以上より π −1 (Z) は有効 Cartier 因子である．
˜ がブローアップの普遍性を満たすことを確かめる．ψ : A → C を A 代数で，ψ(f ) が C の非零因
最後に X
子かつ，ψ(I)C = ψ(f )C が成り立つようなものとする．x ∈ I に対して，ψ(x) ∈ ψ(I)C = ψ(f )C であるか
ら，ある c ∈ C が存在して ψ(f )c = ψ(x) となる（ψ(f ) が非零因子であるから c ∈ C は一意的である）
．A 代
数の準同型 A[If −1 ] → C を，生成元 x/f ∈ A[If −1 ] に対して，この ψ(f )c = ψ(x) なる c ∈ C を対応させ
る写像とする．この写像が A 代数の準同型を与えること，およびその一意性などは簡単に確かめられる． 例 3.4 R を環，A = R[T1 , . . . , Tn ]，I = (T1 , . . . , Tn ) とする．X の Z = V (I) によるブローアップは，
B=
⊕
d≥0
I d としたとき
π : Proj B → Spec A = AnR
となる．ここで Ti を B0 の元としてみるか B1 の元としてみるかを区別しておく必要がある．
A[X1 , . . . , Xn ] −→ B
Xi 7−→ Ti (∈ B1 )
で定めると，この準同型の核は Ti Xj − Tj Xi たちで生成されるイデアルである．以上から同型
Proj B ≃ V+ ((Ti Xj − Tj Xi )i,j ) ⊂ Pn−1
≃ Pn−1
×R Spec A = Pn−1
× AnR
A
R
R
を得る．
Now Writing
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参考文献
[1] Grothendieck A, Dieudonn´e J, El´ements de G´eom´etrie Alg´ebrique I,II,III,IV.
[2] Robin Hartshorne, Aigebraic Geometry, Springer, 1977.
[3] Ulrich G¨ortz, Torsten Wedhorn, Algebraic Geomerty I, Vieweg+Teubner, 2010.
[4] 松村英之, 可換環論, 共立出版, 1980.
[5] 斎藤秀司, 佐藤周友, 代数的サイクルとエタールコホモロジー, 丸善出版, 2013.
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