0801 分子動力学法による異原子バンプと基板の界面特性評価

日本機械学会［No.147-1］北陸信越支部第51期総会・講演会講演論文集 [2014.3.8 富山県射水市] 0801
分子動力学法による異原子バンプと基板の界面特性評価
Evaluation of interface properties between a bump of different atom
and substrate using molecular dynamics
○ 平澤勇気（長岡技科大院）正古口日出男（長岡技科大）
Yuki HIRASAWA, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Key Words: Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress 1. 緒言本研究では,分子動力学法を用いてナノメートルの異方
性異材接合体の界面特性および界面端部の特異応力場の特
性について調べる.二つの異なる材料からなる異原子バン
プと基板の接合体における原子応力の分布を調べ,界面上
の原子応力分布と Stroh 形式を用いた特異性オーダの解析
との比較を行う. 2. 分子動力学法本研究では分子動力学(MD)法を用いて解析を行う.MD
法では原子の動きを以下のようなニュートン運動方程式に
より求める. ∂E α
m a = F = αβ
∂γ
α
α
α
1 ∂2 Eα
,
Ωα ∂εij∂ε kl
σ ijα =
a ∂γ a
,
Ωα ∂εij
α
dijkl
=
a ∂2γ a
Ωα ∂εij∂ε kl
(3)
ここで，a はレイヤー厚さである.
4. 界面特性を考慮した特異性固有値の算出方法異材界面角部の特異応力場は,角部の特異点を原点とし
て,特異点からの距離 r とすると次式で表される．
{
τ xy = k xy r − λΙ − ( L − r )
− λΙ
}
(4)
ここで，k
xy は応力集中の大きさを示すスカラー, λΙ は特
異性のオーダ,L は界面の長さである．次に,界面特性を考慮した特異性固有値 λ は以下のよう
に求められる (3)．K は材料定数と角度から成る 6×6 の行列
!
−1 #
G 2(2) #
#"
+
)
−1
, = !"G1(1)G1(0)
)
-
$ !
& # A2
&−
1−
λ
−1+
λ
pˆ*1 (θ1 ) pˆ*1 (θ 0 ) & #" B 2
%
$$
1−λ
−1+λ
pˆ*2
(θ1 ) pˆ*2
(θ 2 )
0
&&
&&
1−
λ
−1+
λ
0
pˆ*2 (θ1 ) pˆ*2 (θ 2 ) &&
%%
0
$
A2 &
B 2 &%
(5)
'
' 0 )
+
) p* +
) )
(
,=(
,
)
)
0
) 0 )
*
- *
ここで，p*は変位の固有ベクトル，<>は 3×3 の対角行列，
Ak と Bk は Stroh 固有ベクトルによって与えられる材料 k の
行列，p*k は Stroh の固有値，¯は共役複素数を表す (4)．θi は
図 1 における角度を表す．Gk(s)は 6×6 の行列であり式(6)で
定義される． "
%
A Ak ' )
0 %
, " 0
H
' (6)
G k (s) = Ωk $ k
− + H10 − 21s λ . Ωk $
$ Bk Bk ' *
 - $# A k A k '&
#
&
ここで，  は応力場の代表寸法であり，本研究では 1nm と
する．Ωk, H10k, H21k は次式となる．
# cosθ
%
Ωk = % −sin θ
% 0
$
! k (a)
# d1111i
1
H10 k = # 0
 # k (a)
#" d3111i
1 ∂Eα
(2) Ωα ∂εij
ここで,Ωα は原子 α に対するボロノイ多面体の体積であり,
εij はひずみテンソルである.原子レベルの界面応力 τ ijα ,原
α
子界面弾性係数 dijkl
は,界面エネルギ γ α を界面ひずみで微
分した次式で得られる. τ ijα =
! K K $'
) *
1
2
&( p
K =#
#" K 3 K 4 &%)
* 0
!
1−λ
−1+λ
# pˆ*1 (θ1 ) pˆ*1 (θ 0 )
#
0
#"
(1) α は原子 α の原子質量,
aα は原子
α の加速度,
ここで,m
Fα は
α
原子 α に加わる力, E は原子 α のもつポテンシャルエネル
ギ, γ αβ は原子 α,β 間の距離を表す.
本研究では式(1)のポテンシャルエネルギに GEAM ポテ
ンシャル (1)を用いた. 3. 原子界面応力,界面応力,界面弾性係数原子レベルの不連続構造体における有効な弾性係数とし
α
て原子弾性係数 Cijkl
,原子応力 σ ijα がある.原子弾性係数,原
子応力は式(2)で表される (2). α
Cijkl
=
であり，次式で求める． H 21k
! k (a)
# da1111i
=# 0
#
k (a)
# da3111i
"
sin θ
cosθ
0
0
0
1
&
(
( (
'
k (a) $
0 d1131i
&
0
0 & k (a) &
0 d3131i
&%
0
τ
k (a)
a11i
0
$
k (a)
da1131i
&
0 &
&
k (a)
& da3131i
%
(7)
(8)
(9)
式(3)より得られる原子レベルの界面応力 τ ijα ，原子界面弾
α
性係数 dijkl
を用いて，式(8),(9)は求められる．次式を解くこ
とで，特性異固有値 λ を求める． K 3 p* = 0,
K 3 = 0 (10) 6・ 2 固有値解析結果と MD 法における界面上の応力比較
開き角 70°において, 6・1 節より得られた結果と式(10)を
用いて固有値解析を行った.固有値解析により得られた Au
と Cu の固有値 λⅠ について近似した結果を図 4 に示す.MD
法により得られた界面上の応力分布 τxy および式(4)による
結果を図 5 に示す. 式(4)はそれぞれ λⅠ に図 4 の式，kxy は
0.985 を適用している.図 5 より,MD 法の結果と固有値解析
により求めた結果が良く一致していることが分かる.
他の開き角の結果については講演時に報告する.
5. 解析条件接合体として図 2 のような Γ2 を界面とし，異材界面角部
を有するモデルを用いた．Γ1 と Γ3 の外向き法線方向に
100MPa の力を加える. Γ4 は y 方向変位を固定する.また,界
面は[100]になるような結晶構造を持つ.解析に用いたモデ
ルの厚さは約 2nm とし,材料 1 の開き角 ω は 70°, 90°, 130°
と変え,モデル全体の原子数は 14,000~16,000 個である.1 ス
テップを 1fs とした.計算中の温度変化は 0K から計算を始
め 25,000 ステップで 0.5K までに上げ,その後 75,000 ステッ
プから 100,000 ステップまでに 0K に下げ，150,000 ステッ
プまで計算した．z 方向に周期境界条件を設定した．
Material1, 2 はそれぞれ金(Au), 銅(Cu)を用い，界面は整合
界面になるようにした．
Au : λΙ
Cu : λΙ
0.48
-0.000113
0.0172exp(-6.46r)cos(-4.26r)-0.561r
+1.00
-0.000319
0.115exp(-5.24r)cos(-2.56r)+1.72r
-1.28
0.47
1-λΙ
Fig.1 Wedge model
0.46
0.45
0.44
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
r , nm
Fig.4 The order of stress singularity λⅠ
Interface edge of Au and interface
Interface edge of Cu and interface
-λ
-λ
Fitting curve of Au : 0.985{r Ι-(11.43-r) Ι}
2
Atomic stress τxy , GPa
- λΙ
- λΙ
Fitting curve of Cu : 0.985{r -(11.43-r) }
1
0
-1
-2
0
Fig.2 Model for analysis
Atomic interface elastic modulus d1111 , N/m
0
-5
Interface edge of Au and interface
Interface edge of Cu and interface
-73.5exp(-8.70r)cos(5.90r)+10.7r
-0.0226
-10.9
-0.0218
-5623exp(-15.6r)cos(-4.15r)+10.8r
-11.0
-15
0
1
2
3
4
5
r , nm
Fig.3 Distribution of interface elastic modulus d1111
along the interface
4
6
8
10
12
r , nm
6. 解析結果 6・ 1 原子界面応力，原子界面弾性係数開き角 70°において MD 解析により得られた Au と Cu の
原子界面弾性係数 d1111 について近似した結果を図 3 に示す．
図 3 より界面端 y≒1.5nm 以内で異なる傾向を示すことがわ
かる．τ11, d1131, d3131 においても同様の傾向を得る． -10
2
6
Fig.5 Distribution of stress τxy along the interface
6. 結言 MD 法により,Au と Cu の接合モデルにおいて原子界面応
力,原子界面弾性係数を求めた.MD 法による結果と Stroh 形
式を用いた固有値解析により得られた結果の比較を行い，
良く一致していることを示した.
参考文献 (1) X.W.Zhou. et al., Atomic scale structure of sputtered metal
multilayer, Acta materialia., 49 (2001), pp. 4005-4015.
(2) Izumi, S. et al., The atomic level evaluation of the interface
stress and interface elastic constants for semiconductor
materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical
Engineers, No.03-06 (2003), pp. 1- 6
(3) Koguchi, H., Analysis for Stress singular fields near a
wedge corner in 2D joints considering interface stress and
interface elasticity, ASME 2012 International Mechanical
Engineering Congress & Exposition (IMECE2012),
Technical Paper (Reviewed paper), IMECE2012-86097.
(4) Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and
Applications, Oxford University Press, (1996), pp.134-263.

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