操作変数法

Advanced Econometrics (Hiroki Kawai)
Ⅵ
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回帰診断：操作変数法（IV 法）、一般化最小２乗法（GLS 法）
古典的回帰モデルの仮定
(A1)線形性(Linearity)：ｙ=Xβ+ε
(A2)説明変数間に多重共線性がない(Full Rank)： rank(X)=K
(A3)説明変数の外生性(Exogeneity)： E(ε|X)=0 X 
 ε X:fixed or random
①E(εi)=0 ②E(xjkεi)=Cov(εi,xjk)=0
(A4)誤差の分散均一性と誤差間独立性(Spherical Disturbances)： E(εε’|X)=σ2I
① Homoschedasticity：Var(εi|X)=σ2 ②Nonautocorrelation：Cov(εi,εj|X)=0
(A5)説明変数が非確率変数(A3)・確率変数
(A6)正規性(Normality)： ε|X ～N(0,σ2I)
(AD5)定常性(stationarity)：plim
問題
A2 多重共線性(p-129)
A3 説明変数と残差の相関
(chap8)：Cov(X,ε)≠0
③ X の内生性 ②測定誤差
③特定化のエラー
AD5 非定常データ(chap21)
A4 分散不均一性(chap9)
E(εε’)=diag[  ….
2
1
A4 系列相関(chap20)
E(εtεt-s)≠0
XX
=Q
n
不偏性
有効性
診断法
説明変数Ｘの問題
○（b は不安定）
安定性、VIF
E(b)=β
Hausman 検定(p-321)
+Cov(X,ε)/Var(X) 過剰識別検定
○
×
DFTest→共和分検定
残差εの問題
×
残差テスト
 ]
2
n
○
×
残差テスト
解決策
変数の削減
IV(p-282)
ECM の推定
HCSE
GLS
HACSE
GLS
説明変数と残差の相関
E(εi|xi)≠0→Cov(xi,εi)=E(xiεi)=plim 1n X’ε=γのとき
b=
cov( X , Y ) cov( X ,   X   )  var( X )  cov( X ,  )
cov( X ,  )



var( X )
var( X )
var( X )
var( X )
b=β+(X’X)-1X’ε →plim b=β+plim( 1n X’X)-1plim( 1n X’ε)=β+Ｑ-1γ≠β see p-66, 76
1 操作変数法、２段階最小２乗法 chap 8
1.1 撹乱項と説明変数との相関が生じる場合（p-259）
（１）Dynamic Model（ラグつき内生変数モデル）＋残差の系列相関
Ct=α+βYt+γCt-1+εt, εt=ρεt-1＋vt
（２）同時方程式(Simultaneous Equations)：内生変数を含んだモデル
・消費関数 C=α+βGDP+ε,GDP=C+I→GDP＝(α+I+ε)/(1-β)
cov(GDP, ε)=cov[
b=β+
  I 
var( )
,ε]=
＞0 となることから
1 
1 
var( )
＞β
(1   ) var(GDP)
上方バイアスが生じる！！
※市場間の相互依存関係を考えると、経済変数のほとんどが内生変数であるといえる！
17
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（３）説明変数に観測エラーが存在(Errors in Variables)→薄められる(attenuation bias)
真の値 X*の代わりに誤差 v を含んだ変数 X=X*+v しか我々は観察できないとき…
真の関係式から Y=α+β(X－v)+ε=α+βX+u, u=－βv+εが得られることから
我々が推計できる関係式では var(X)=var(X*)+var(v)、cov(X,u) =cov(X*+v,－βv+ε)=
－βvar(v)＜0 のように X と u とには相関が生じる！ P-279
b=  


cov( X , u )
var(v)
  1 
 ＜β 下方バイアスが生じる！
*
var( X )
 var( X )  var(v) 
1.2 操作変数法（Instrumental Variable Estimation Mthods）p-265
（１）操作変数 Z
「X とは相関があるが､εとは相関がない Z を操作変数とする」
2 条件：i)Relevance 関連性[cov(Z,X)≠0] ii)Exogeneity 外生性[cov(Z,ε)=0]
※外生性と同時に Exclusion 唯一経路性 cov(Z,y)=0 を加える場合もある
①経済モデルの外生変数（気候、自然災害 etc）：「気温→内生変数」「気温 
 内生変数」
②ラグつき変数（「過去→現在」「過去 
 現在」）
例) C=α+βＹ+εにおいて I はＹと相関をもつが,εとは相関をもたない→I が操作変数
（２）操作変数法
dY dY / dZ cov(Y , Z ) var(Z ) cov(Y , Z )
1



→ b IV  ( Z X) Z y
dX dX / dZ cov( X , Z ) var(Z ) cov( X , Z )
cov(Y , Z ) cov(  X   , Z )
cov(Z ,  )
① 一致性 bIV=


p-265
cov( X , Z )
cov( X , Z )
cov( X , Z )
bIV 
Z の「外生性(Exogeneity)」と「相関性(Relevance)」が成立すれば…→bIV=β
※上記の条件を満たさない IV は week instruments と呼ばれる。
1
 Z X  1
Z ε ～N(0,  2 Q ZX1 Q ZZ Q ZX1 ) p-266
n (b IV  β)  
② 漸近的正規性

n
 n 
2
1
1
2
'
2
Est. Asy.Var(bIV)= ˆ ( Z' X) (Z' Z)( X' Z) 、 ˆ  1n  ( y i  x i b IV )
（３）2 段階最小二乗法(2 Stage Least Square Method)
p-270
①説明変数Ｘi を操作変数 Zi で回帰する: Xˆ i  d 0  d 1 Z i  vi , d1=cov(X,Z)/var(Z)
②被説明変数Ｙi を Xi の理論値で回帰する: Yi=a+b Xˆ +εi
i
cov(Y , Xˆ ) cov(Y , Z ) cov(Y , Z )


 bIV
d1 var(Z ) cov( X , Z )
var( Xˆ )
cov(Y, Xˆ )=cov(Y,d0+d1Z)=d1cov(Y,Z), var( Xˆ )=var(d0+d1Z)=d21var(Z)
b2 SLS 
※操作変数の数 L ＞説明変数の数Ｋ p-271
ˆ ）： X
ˆ  Z(Z' Z) Z X
①Ｌ個の情報をＫ個へ効率的に縮約する（Z→ X
1
ˆ をとした操作変数法
②X


ˆ ' X) 1 X
ˆ ' y  (X
ˆ 'X
ˆ ) 1 X
ˆ ' y  X' Z(Z' Z) 1 Z' X X' Z(Z' Z) 1 Z' y
b IV  ( X
例 8.5 (p-272)
労働供給関数
LS≠IV、Z を変えると IVE も変化
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1.3 推定の実際
（１）どのように操作変数を選ぶのか？：構造方程式に登場するが外生変数
税率や公的支出などの政策変数、天災や気候等自然現象
ラグつき内生変数(系列相関がある場合は不適切)
（２）IV は OLS よりもバイアスが大きくなる恐れがある(小標本において) p-289
corr ( z ,  )  
IV
corr ( z , x )  x
b 
1)Z とεが相関を持つ時、１段階目の回帰ﾊﾞｲｱｽは２段階目のﾊﾞｲｱｽをさらに大きくする
2)Z と X が相関しない時もバイアスが大きくなる→Z と X の相関はチェックする必要あり
1.4 IV 推定における 3 検定
(1) 適切な IV を選択しているか？
Instrument Relevance Test
Xˆ i  d 0  d1 Z i  vi において d1=0 を検定→F 検定(IV が 1 つのときはｔ検定)、R2
(2) IV とεの直交性 E(Ziεi)=0 過剰識別(Overidentification)検定 p-278
m= 1n
Z i e IVi →m’[Var(m)]-1m～χ2(L-K)、 Var(m)= n12 ( z i e IVi )( z i e IVi )


または
TSLS 残差 e2SLS=Zδ+νで Ho:δ=0 を検定 J=LF～χ2(L－K)
例 8.8 (p-279) 労働供給関数 E(Z,ε)=0 を採択
(3) OLS を利用すべきか、IV を利用すべきか？ Hausman Specification Test p-274
H0:Cov(X,ε)=0→bIV＝bLS →Wald 検定量 H=0 → 通常の最小二乗法で十分
H1:Cov(X,ε)≠0→bIV≠bLS →Wald 検定量 H>0 → IV 法を用いるべき
Ｈ=ｄ’[Ver(d)]-1d～χ2(K) d=bIV－bLS に関する Wald 検定量
Var(d)= Var(bIV)＋Var(bLS)―Cov(bIV,bLS)―Cov(bLS,bIV)=Var(bIV)－Var(bLS)

1

1 1
ˆ 'X
ˆ )  ( X' X)
d /s2 ～ χ2(K) s2=e’e/(n-K)
１）H= d' ( X
２） Variable addition test / Wu test （簡便な検定方法、p-276）
ˆ =Z(Z’Z)-1Z’X を得る
(step1) X を Z で回帰するＸ＝Ｚγ+ｖ→fitted value X
ˆ δ+u を行ない､H0:δ=0 を F＝t2～Ｆ(1, n-K)で検定を行う
(step2) 補助回帰 y=Xβ+ X
例 8.6 (p-276) 労働供給関数 Wu test→δ≠0 なので Wage の外生性は棄却
例 8.7 (p-277) 消費関数 H test(H>0), Wu test(δ≠0)→Yt の外生性は棄却
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２一般化最小２乗法（Generalized Least Square Method）chap 9, 20
2.1 non-spherical disturbances Var(ε)= E(εε’)=V＝σ2Ω≠σ2I
①分散不均一性(heteroschedasticity)：cross section data において生じやすい
特定化の誤り、データの集計→Var(εi)=σ2i,
②系列相関(serial correlation)：time series data において生じやすい
特定化の誤り、季節調整→Cov(εiεj)=σij≠0
※特定化の誤り：非線形性、除外された変数、習慣･調整コストの存在
※時系列的相関だけでなく空間的相関も存在する（外部効果など）
※AR(1)process では（AR(p), MA(p)もある）
εt=ρεt-1+vt=ρ(ρεt-2+vt-1)+vt=ρ2εt-2+ρvt-1+vt=vt+ρvt-1+ρ2vt-2+ρ3vt-3+…
E(εt)=0, E(εtεt)=  v /(1-ρ2)=σ2ε, Cov(εtεt-1)=ρσ2ε, Cov(εtεt-s)=ρsσ2ε
2
ρが大きいほどσ2εは大きくなる
①βの OLSE は不偏性､一致性､正規性､漸近的正規性を満たす
∵ b＝β+(X’X)-1X’ε E(b-β)=E[(X’X)-1X’ε]=0
②Var(b)=σ2(X’X)-1 は biased / inconsistent なので、誤った仮説検定をする恐れがある
var(b)=E(b-β)(b-β)’=E[(X’X)-1X’ε][ε’X(X’X)-1]= (X’X)-1X’V’X(X’X)-1
対処 A：変数の追加
対処 B：変数変換（対数、比率）
対処１：E(εε’)=V の構造がわからなければ、Var(b)の consistent estimator(HCSE)を
求めそれにもとづいて正規検定を行なえるが、それは有効推定量ではない。
対処２：E(εε’)=V の構造がわかるならば、βの BLUE を GLSE より求める
ˆ
bGLS=(X’V-1X)-1X’V-1y=(X*’X*)-1X*’y*,X*=PX,y*=Py→bFGLS=(X’ V
V=σ2Ω、V-1= 12 Ω-1、Ω-1=P’P
1
ˆ
X)-1X’ V
1
y
※Cov(X,ε)≠0 の場合はＧＭＭ推定量がある。 P-961
2.2
LSE への影響
①βの LSE は不偏性､一致性､正規性､漸近的正規性を満たす
∵ b＝β+(X’X)-1X’ε → E(b－β)=E[(X’X)-1X’ε]=0
②βの分散共分散行列の LSE は biased/inconsistent→誤った仮説検定をする恐れがある:
var(b)=E(b－β)(b－β)’=E[(X’X)-1X’ε][ε’X(X’X)-1]= (X’X)-1X’V’X(X’X)-1 ≠σ2(X’X)-1
2.3 Residual Test(1)：分散不均一性のテスト
(p-315)
(1)残差のプロット ei(ei2) － Yi plot (p-309 事例 9.1)
Goldfeld-Quandt(1965) F Test：小標本のとき有効、基準が１つのみ
2 つのサブサンプル間の分散が等しいか否かを検定する
1)σ2i と相関のある変数(Yi, Xi, Zi)に関してﾃﾞｰﾀを並べ替える
2)下位 1/3 と上位 1/3 で求めた残差 2 乗和の比率
e1' e1 /(n1  K )
～F(n1-K,n2-K)
e '2 e 2 /( n2  K )
(2)補助回帰に基づく検定
ˆ i2 =ei2=d0+d1Z1i+d2Z2i+…+dpZpi で H0：d1=d2=…=dp=0 を検定
ESS / p
R2 / p
i) F 検定量 F=

RSS /(n  p  1) (1  R 2 ) /(n  p  1)
20
R2 は補助回帰の決定係数
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ii) LM test(Score test)
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LM= s (d)I dd s(d) ～χ2(p)
1
①方法１: Breusch-Paggan(1979) Test
1)OLS の実施→OLS 残差 ei
Econometrica 47:1287-94 テキスト p-316
2)補助回帰 ei2/s2=Ziγ+vi, s2=Σei2/n の実施
3)LM=
1
ESS =nR2～χ2(p)
2
②方法２：漸近的に同等な方法
3)LM=nR2～χ2(p)
2)補助回帰 ei2=Ziγ+vi の実施
証明は Johnston(1997) p-198、 Ruud p-425、蓑谷(1996) p-103
③White(1980) General Test: Z＝(X, X’X) テキスト p-315 general but nonconstructive
2)補助回帰 ei2= Xiγ1+ Xi’γ2Xi
3)LM=nR2～χ2(p)
④簡便法
2)補助回帰 ei2=γ0+γ1 yˆ i の実施 3)nR2～χ2(1) or γ1 のｔ検定
※特殊な分散不均一性
ARCH(q)： 
2
t
ARCH(q)、GARCH(p,q) テキスト p-970
  0   1 t21  ....   q  t2 q
2.4 Residual Test(2)：系列相関のテスト (p-962)
(1) 残差のプロットテキスト p-944, 945
(2) Durbin-Watson(1971,Biometrica)検定

H :ρ=0 を検定。DW=
T
0
t 2
(et  et 1 ) 2

T
2
t 1 t
テキスト p-963
 ee
ˆ =
 e
T
≒2(1- ˆ ),
e
t  2 t t 1
T
2
t 1 t
定数項を含むモデル･非確率変数 X･εt の正規分布の AR(1)過程を前提として
d～f(X,y)→d の分布の下限 dL(n,k’)と上限 dU(n,k’),k’=k-1→臨界値の表
original(15≦n≦100,k’≦5)→Savin-White1977,ECMT(6≦n≦200,k’≦10)
0(ρ=1)—dL—dU—2(ρ=0)—4-dU—4-dL—4(ρ=－1)
merit：モデルに定式化の誤りの判定(DW≦R2)で有用
demerit：不決定区間の存在(n が小/k が大の時深刻)、定数項なしモデル(蓑谷 p-72)､ラグ付
き内生変数モデル(DW は 2 の方向にバイアスをもつ)、高階の自己相関モデルには不適用
(3) Durbin(1970,Econometrica)の asymptotic test テキスト p-963
(3-1)ラグ内生変数モデル(yt=xtβ+Σγpyt-p+ut, ut=ρut-1+εt,ε～N(0,σ2I)
Ho:ρ=0 の検定においては yt-1 と ut に相関が生じ､ρはゼロ方向へのバイアスを持つため
DW 値は使えない
①Durbin’s h= ˆ
a
n
～N(0,1), ˆ =1-DW/2
ˆ)
1  n var(γ
②1－n･var(γ)≦0 のときは漸近的に同等な補助回帰にもとづく Durbin’s m を推奨
et= xtδ+φyt-1+ρet-1+εt において H0:ρ=0 を t 検定する｡
ｍ検定はｈ検定よりも検定力の点で優れているので小標本では有用である
(3-2)高階の自己相関モデル(ut=ρ1ut-1+ρ2ut-2+…+ρput-p+εt):Durbin’s alternative
H0:ρ1=…=ρp=0 を検定するため、補助回帰での F=(ESS/p)/(RSS/(n-p))を計算し、
a
pF～χ2(p)(∵ lim n1 F ( n1 , n2 ) 
n 2
 2 (n1 ) )にもとづき検定を行なう
(4) Breusch(1978)-Godfrey(1978,ECMT) LM test: AR(p), MA(p)への拡張テキスト p-962
最尤推定量のもとでの score 検定 see 蓑谷(1996) p-77
εt=ρ1εt-1+ρ2εt-2+…+ρpεt-p+vt で H0:ρ1=…=ρp を検定。ＯＬＳ残差 et の補助回帰
et=a+bxt+cyt-1+d1et-1+d2et-2+…+dpet-p の R2 を用いて検定をおこなう。
21
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a
LM=ESS/(RSS/n)=nR2～χ2(p)
説明変数にラグ付き内生変数が入っても可な一般的なテスト
発想は異なるが Durbin’s alternative とこの LM テストは漸近的に同等となる
(5) Box-Pierce(1970,J American Stat Assoc.)と Ljung(1978,Biometrica)の Q test
AR(p)や MA(p)での検定に用いる(ラグつき内生変数モデルでは利用できない)

～χ (p)、小標本の補正 Q’= n( n  2)
OLS 残差 et のもとで定義される r j 
Q= n

p
2
j 1 j
r

n
ee
t  j 1 t t  j
n
2
t 1 t
p
e より
2
j 1 j
2
AR(ｐ）
DW test
×
Durbin's h
×
Durbin's m
×
Durbin’s alternative ○
Q test
○
LM test
○
ラグ内生
×
○
○
×
×
○
p-962
r
(n  j ) ～χ2(p)
小標本
△
△
○
△
△
△
2.5 対処１：Heteroscedasticity Consistent Standard Error (HCSE)
「robustness to unknown heteroschedasticity / autocorrelation」
(1)White’s heteroscedasticity consistent estimator p-313
var(bOLS)=(X’X)-1X’V’X(X’X)-1 を Vˆ =diag{e12/d1,…,en2/dn}で評価｡White(1980,ECMT)はこ
れが var(b)の一致推定量となり、さらにこの HCSE で定義される t 値が正規分布で近似で
きることを示した(ラフな証明は p-163)。その後の Davidson & MacKinnon(1993)では小標
本でも耐えうる調整が推奨されている。 di=1(HC0), di=(n-k)/n(HC1, 自由度修正 ),
di=1-hii(HC2, 標準(Student)化された残差), di=(1-hii)2(HC3), H=X(X’X)-1X’
e=My, M=I－X(X’X)-1X’, MX=0, Me=e
Homoschedasticity のもとでは E(e’e)=E(MuuM)=σ2M
E(et2)=σ2(1－xt(X’X)-1xt)<σ2 最小２乗残差ではσ2 を過小推定してしまう！
(2) Newey-West Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Standard Error
see Newey&West(ECMT, 1987), Hamilton p-220, Greene p-959
var(bOLS)=(X’X)-1X’VX(X’X)-1←(X’X)-1Q(X’X)-1 →正規検定
Q= T1

e 2 x x   l 1 pp11 l ( T1 t l 1 et et l xt xtl  T1 t l 1 et et l xt l xt )
t 1 t t t
T
p
T
T
系列相関がない場合は White の SCSE と同しになる
ラグ期間 p の決定: p=Ta<T,0<a<1/4 が基準とされるが､G=3 で十分:Andrew(91,ECMT)
2.6 対処 2：Generalized Least Square
(1) Weighted LSE としての解釈 → BLUE(Aitken’s Theorem p-305, 317)
Positive definite 行列がΩ-1=P’P のように分解できるとき
y=Xβ+ε→Py=PXβ+Pε→y*=X*β+ε*
E(ε*)=0、Var(ε*)=E(Pεε’P’)=σ2PΩP’=σ2PP-1(P’)-1P’=σ2I
このモデルの下での OLSE、bGLS=(X*’X*)-1X*’y* =(X’P’PX)-1X’P’Py＝(X’V-1X)-1X’V-1y
は BLUE となる。bGLS の分散共分散行列は Var(bGLS)=σ2(X*’X*)-1=σ2(X’Ω-1X)-1、だが、
σ2 の不偏推定量は s2=(y-XbGLS)’Ω-1(y-XbGLS)/(n-K)で得られる。
例えばΩ=diag(w1,…,wn)のとき P=diag{.. 1
wi ..}
(2)MLE としての解釈 → 一致性、漸近的有効性、漸近的正規性
22
p-592
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y=Xβ+ε, ε～N(0,σ2Ω)→f(ε)=(2π)-n/2|σ2Ω|-1/2exp{- 12 ε’(σ2Ω)-1ε}より
1
-1
(∵|σ2Ω|=σ2n|Ω|)
lnL=－ n2 ln(2π)－ n2 lnσ2－ 12 ln|Ω|－ 2σ
２ ( y-Xβ)’Ω (y-Xβ)
lnLβ= σ1２ ( X’Ω-1y－X’Ω-1Xβ)=0→bML=(X’Ω-1X)-1X’Ω-1y
n
n
(y－Xβ)’Ω-1(y－Xβ)=0→σ2ML=(y-XbML)’Ω-1(y-XbML)/n
lnLσ2=－ 2σ
２ +
2σ4
1
1
bGLS=(X’ V X)-1X’ V y＝(X’Ω-1X)-1X’Ω-1y
1
Var(bGLS)=(X’ V X)-1=σ2(X’Ω-1X)-1
(3)Feasible GLS：加重最小二乗法(Weighted Least Squares) ｐ-307
yi=α+βxi+εi→(yi/σi)=α(1/σi)+β(xi/σi)+(εi/σi)→minΣ(ei/σi)2
A.σi2 が既知(例えば､平均化データ):WLS→BLUE
B.σi2 が未知: Feasible GLS(two-step estimator)→漸近的に GLS と同じになる
P
(証明は Ruud p-437)MLE(=GLS)←LMLE=FGLS
① OLSE より ei ②σi2= ei2=σ2･exp(Ziγ) ③この fitted value を weight にして WLS
※新しい b を用いて 1)2)3)を収束するまで繰り返す場合もある（漸近的には同等なので△）
一般に GLS は OLS より efficient であるが、小標本の場合は必ずしも成立しない
(4) Feasible GLS: 準階差変換(Cochrane=Orcutt 法→Prais-Winsten 変換) ｐ-966
min S(α,β,ρ)=Σt=2,…,T{(Yt－ρYt-1)－α(1－ρ)－b(Xt－ρXt-1)}2+(1－ρ)(Y1－α－βX1)2
1)OLS で et 2)et=ρet-1+εt で ˆ 3) Prais-Winsten 変換(Y’t=Yt－ρYt-1, X’t=Xt－ρXt-1,
Y’1=(1－ρ2)1/2Y1, X’1=(1－ρ2)1/2X1 4) Y’t=α(1－ρ)+βX’t+εt を推定
･ ˆ を用いるため推定される a,b は BLUE とはならないが(不偏性さえも満たさない)、大標
本では OLSE よりも有効な推定量となる(X が非定常時系列の場合は成立しない)
･ｐ次自己相関モデルでは yt*=Pyt=yt－ρ1yt-1－ρ2yt-2…のような変換を行なう
(5) MLE：consistent & asy. Efficient
l=- n2 ln(2π)- 12 ln|V|- 12 ε’V-1ε,|V|=   (1-ρ2)-1, ε’V-1ε=(ε’ε)/   ,u=Pε=P(y-Xβ)
2n
2
=- n2 ln(2π)－ n2 ln(   )＋ 12 ln(1-ρ2)－u’u/(2   )
2
2
lρ=lβ=lσ2=0 の非線形問題を数値的に解くことになる。MLE では FGLS で無視されてい
る第３項が入っているので、若干の差が生じる
Monte Carlo 実験によると小標本でρが小さい場合は OLS の方が良い結果(Ruudｐ-603)
※2 step estimator の一致性・有効性
(1)Linearized MLE(LMLE) Rothenberg & Leender(1964) Econometrica 32(1-2):57-76
lnL(θ)≒lnL(θo)+[
 ln L(θ o )
 ln L(θ o )
1
]’(θ－θo)+ (θ－θo)’[
] (θ－θo)
θ
2
θθ
MLE の１階の条件の期待値 E{g(θ)}=E{g(θo)}+E{H(θo)}(θ－θo)＝0
~
~
~
MLE の解 ˆ =θo＋{ －E[H(θo)] }-1E{g(θo)}=  ＋{I(  )}-1E{g(  )}
P
LMLE も consistent & asymptotically efficient である LMLE→MLE（Ruud p-339）
(2)LMLE としての 2 step estimator
1
~
~
~ 1
~
~
  X '
 ˆ   ~   X  1 X
0
( y  X )   ( X '  1 X ) 1 X '  1 y 
  1 ' ~ 2 ~
   ~  
~ 2
~ ~ 
' ~ 2
~   ( Z ' 
1
Z * ) 1 Z *'   2 w
*
 *
2 Z *  Z *   2 Z *  {w  h( Z )]}
 ˆ     0
~
~
~
w*  w  h( Z )  Z * 、 Z *  h( Z )  | ~
23

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