品質管理
品質管理：所要の品質の製品を継続して，
安定して供給するための活動
品質の変動を評価する手法
ずれる，ばらつく
管理図
JIS Z 9020 管理図一般指針
JIS Z 9021 シューハート管理図
計数値：きず，色むら，絶縁，コンタミ
品質試験の
試験値
p，np，c管理図
計量値：強度，寸法，抵抗，濃度，電流
X，X，R，Rs管理図
群分けの可否 ー 試験値が複数か1つか
1
管理アウト：製造中止
試験値：統計量
上側管理限界線
UCL
注意限界線
試
験
値
CL 中心線
LCL
下側管理限界線
1
2
3
4
5
6
7
8
9 試験No.
JIS Z 9021
中心線：試験値の平均値
外側管理限界線：平均値±3 「3方式」
注意限界線：平均値±2
試験値の母分散を求める
試験値Xは正規分布N( X ，)に従う
N(0,1)
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
外側確率： p1 1 Pr X
1 N (0,1)dX 0.328
2
N(0,1)
X 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
p2 1 Pr 2 X 2 0.046 約5%
N(0,1)
X 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
p3 1 Pr 3 X 3 0.0026
約0.3%
工学的に発生しない
3
母集団の分散を求める
標本範囲の特性
大きさnの標本をK個抽出
{X11, X12, …. ,X1n｝
{X21, X22, …. ,X2n}
∞母集団
f(x)
・
・
{XK1, XK2, …. ,XKn}
標本平均： X i
1
n
n
X
j 1
ij
最小値： X m minX
標本の最大値： X M MAX X
標本範囲： R X M X m
標本範囲の確率密度関数：
g ( R ) n (n 1)
F
( R X m )
F( X m )
n2
f ( R X m ) f ( X m ) dX m
f ( X ) ～N ( , 2 ) のとき，
標本範囲の期待値 E(R)と分散 V2(R)は，
E ( R) R g ( R ) dR d 2
0
V 2 ( R) ( R E ( R)) 2 g ( R ) dR d 3 2
2
0
E ( R)
1
K
K
R R
i 1
i
なので，
母集団の標準偏差は，
R
d2
n
d2
d3
2
3
4
5
6
7
8
1.128
1.693
2.059
2.323
2.534
2.704
2.847
0.8525
0.8884
0.8798
0.8641
0.848
0.833
0.820
4
標本平均の特性
無限母集団 f(X) から抽出する
標本平均： X i
1
n
標本の大きさ：n
n
X
j 1
ij
標本の数：K
標本平均の集合： X 1 , X 2 , X 3 , , X K
f ( X ) ～N ( , 2 ) のとき，
標本平均の平均値 X : E ( X )
標本平均の分散： V ( X )
2
1
K
K
X
2
i 1
i
n
2
1 R
R
2
なので，V ( X )
d2
n d 22
X 管理図
標準偏差：V ( X )
1
n
R
d2
平均値の変動，ずれ
(1) 合理的な群分けが可能な計量値
(2) 1組の試験値は3～5 （標本の大きさ n）
(3) 組の数は20組程度必要 （標本の数 K）
試験
No.
試 験 値
平均値
X1
X2
X3
X4
1
93.4
94.0
93.6
93.8
2
92.8
92.4
92.4
92.6
3
93.4
94.6
94.4
94.5
4
94.7
94.2
93.8
92.5
5
93.3
93.8
93.7
94.6
X
範囲
R
5
試験
No.
試 験 値
平均値
X
範囲
R
X1
X2
X3
X4
1
93.4
94.0
93.6
93.8
93.70
0.6
2
92.8
92.4
92.4
92.6
92.55
0.4
3
93.4
94.6
94.4
94.5
94.22
1.2
4
94.7
94.2
93.8
92.5
93.80
2.2
5
93.3
93.8
93.7
94.6
93.85
1.3
24
93.0
94.3
93.6
94.6
93.88
1.6
計
2244.83
22.3
平均
93.535
0.929
平均値の平均値： X 93.535
標本の大きさ：n=4
標本の数：K=24
範囲の平均値： R 0.929
X 管理図の管理限界線
X 93.535, R 0.929
（１）中心線CL ：X の平均値＝E ( X ) X CL X 93.535
（２）上側管理限界 UCL：中心線＋3×X の標準偏差
UCL E ( X ) 3V ( X ) X
UCL 93.535
3
R
,
R V (X )
d2
n d2
n
3
0.929 94.21
4 2.059
（３）下側管理限界 LCL：中心線-3× X の標準偏差
LCL E ( X ) 3V ( X ) X
3
R 93.535
n d2
3
0.929 92.86
4 2.059
6
X 管理図
平 均 値 X 94.5
UCL=94.213
94.0
93.5
CL=93.535
93.0
LCL=92.857
92.5
0
5
10
15
20
25
試験番号
R 管理図
ばらつきの変動
(1) 合理的な群分けが可能な計量値
(2) 1組の試験値は3～5 （標本の大きさ n）
(3) 組の数は20組程度必要 （標本の数 K）
試験
No.
試 験 値
平均値
X1
X2
X3
X4
1
93.4
94.0
93.6
93.8
2
92.8
92.4
92.4
92.6
3
93.4
94.6
94.4
94.5
4
94.7
94.2
93.8
92.5
5
93.3
93.8
93.7
94.6
X
範囲
R
7
試験
No.
試 験 値
平均値
X
範囲
R
X1
X2
X3
X4
1
93.4
94.0
93.6
93.8
93.70
0.6
2
92.8
92.4
92.4
92.6
92.55
0.4
3
93.4
94.6
94.4
94.5
94.22
1.2
4
94.7
94.2
93.8
92.5
93.80
2.2
5
93.3
93.8
93.7
94.6
93.85
1.3
24
93.0
94.3
93.6
94.6
93.88
1.6
計
2244.83
22.3
平均
93.535
0.929
標本の大きさ：n=4
標本の数：K=24
R 管理図の管理限界線
平均値の平均値： X 93.535
範囲の平均値： R 0.929
X 93.535, R 0.929
（１）中心線CL ： R の平均値＝ E ( R) R
CL R 0.929
（２）上側管理限界 UCL：中心線＋3×R の標準偏差
UCL E ( R) 3 V ( R) R 3
d3
R
R V ( R) d 3 ,
d2
d2
0.8798
d
UCL 1 3 3 R 1 3
0.929 2.12
2.059
d2
（３）下側管理限界 LCL：中心線-3× R の標準偏差
d
0.8798
LCL E ( R) 3 V ( R) 1 3 3 R 1 3
0.929 0.26 0
d2
2.059
標本範囲の定義から，R>0なので，LCLはなし
8
JIS Z 9021「シューハート管理図」における
X -R管理図の管理限界をもとめる係数
X 管理図
標本の
大きさ
n
R管理図
UCL X A2 R
UCL D4 R
LCL X A2 R
LCL D3 R
2
3
4
5
6
7
8
A2
A2
D3
D4
1.88
1.02
0.73
0.58
0.48
0.42
0.37
－
－
－
－
－
0.08
0.14
3.27
2.57
2.28
2.11
2.00
1.92
1.86
d
D3 1 3 3
d2
d
D3 1 3 3
d2
3
n d2
X -R管理図
平 均 値 X
94.5
UCL=94.213
94.0
93.5
CL=93.535
93.0
LCL=92.857
92.5
範 囲 R
UCL=2.118
2.0
1.0
0.0
CL=0.929
0
5
10
15
20
25
試験番号
9
管理図の判定のルール
UCL
A
+2
B
+
C
CL
C
-
B
-2
A
LCL
ルール1：1点が領域Aを超えている
UCL
CL
A
UCL
B
CL
CL
LCL
UCL
CL
B
C
C
CL
A
A
C
B
LCL
A
ルール4：14の点が交互に増減している
UCL
A
B
B
C
C
C
CL
A
A
C
B
LCL
A
ルール6：連続する5点中，4点が領域B
またはそれを超えた領域にある
UCL
A
B
B
C
C
C
CL
B
LCL
A
C
ルール5：連続する3点中，2点が領域Aに
ある
UCL
A
ルール2：9点が中心線に対して同じ側に
ある
B
LCL
C
B
ルール3：6点が連続して増加または
減少している
UCL
C
B
B
LCL
A
B
A
ルール7：連続する15点が領域Cにある
C
LCL
A
ルール8：連続する8点が，領域Cを超えた
領域にある
10
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