2014 年山口大学（前期）

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問題と分析
2014 年山口大学（前期）
Ä 理系学部（®）ÝÝ 工・理（数理科学以外）・教育
¼
で与えられる数列 fan g について，次の問いに答えなさい．
2n+1
(1) 正接の 2 倍角の公式 tan 2µ = 2 tan µ2 を用いて，数列 fan g の漸化式を求めなさい．
1 ¡ tan µ
an+1
(2) 極限値 lim
を求めなさい．
n!1 an
!
一般項が an = tan
"
図のように，円柱 E と直円錐 F が半径 1 の球に内接しており，さ
らに E と F の底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 円柱 E の高さを h とするとき，円柱 E の底面の半径と直円錐 F
の高さを，それぞれ h を用いて表しなさい．
(2) 半径 1 の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3) 円柱 E の体積と直円錐 F の体積が等しいとする．円柱 E から直
円錐 F が重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った
立体の体積を求めなさい．
#
a; b を実数とする．行列
A=&
a
b
b
a
>
について，次の問いに答えなさい．
(1) すべての自然数 n に対して，
An = &
an
bn
bn
an
>
となる実数 an ; bn があることを数学的帰納法で示し，an ; bn を用いて an+1 ; bn+1 を表しなさい．
(2) cn = an + bn ; dn = an ¡ bn とおく．数列 fcn g の漸化式と数列 fdn g の漸化式をそれぞれ求め，a;
b; n を用いて cn ; dn を表しなさい．
(3) a; b; n を用いて an ; bn を表しなさい．
$
関数
f(x) =
Z
0
x
(t ¡ 1)(t ¡ 2) dt ¡
Z
0
x
(t ¡ 1)(t ¡ 2) dt
に対して，y = f(x) (x > 0) のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
Ä 理系学部（¯）ÝÝ 理（数理科学）・医
!
理系学部 (®) の # と同じ．
y2
x2
¡
9
4 = 1 が表す双曲線 C と点 P(a; 0) がある．ただし，a > 3 とす
る．点 P を通り y 軸に平行な直線と双曲線 C との交点の一つである点 Q(a; b) をとる．ただし，b > 0 と
"
座標平面において，方程式
する．さらに，点 Q における双曲線 C の接線 ` と x 軸との交点を R(c; 0) とする．このとき，次の問いに
答えなさい．
C 大学受験・数学塾管理人：makoto
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問題と分析
(1) a を用いて b を表しなさい．
(2) a を用いて接線 ` の方程式を表しなさい．
(3) a を用いて c を表しなさい．
(4) 極限値
lim
a!1
PQ
PR
を求めなさい．
#
四面体 ABCD において，
p
AB = AC = AD = 1; BC = 3; ÎBDC = µ
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，
¼ < µ < ¼ とする．
3
2
(1) 点 A から 4BCD を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を H とする．線分 AH; BH; CH;
DH の長さを，それぞれ µ を用いて表しなさい．
(2) t = cos µ とする．µ を一定の値に保ったまま点 D が動くときの四面体 ABCD の体積の最大値を，t を
用いて表しなさい．
¼
(3) (2) で求めた四面体 ABCD の体積の最大値を V(t) とする． ¼
3 < µ < 2 の範囲で µ が動くときの
V(t) の最大値を求めなさい．ただし，V(t) が最大値をとるときの µ の値は求めなくてよい．
$
理系学部 (®) の $ と同じ．
Ä 文系学部
!
k を正の実数とする．座標平面において，方程式 y = ¡x2 ¡ 2x ¡ 1 が表す放物線 C1 および方程式
y = kx2 が表す放物線 C2 がある．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 放物線 C1 の接線であり，C2 の接線でもあるような直線は 2 つある．この 2 つの直線の方程式を求め
なさい．
(2) (1) で求めた 2 つの直線の交点を P とする．k が正の実数の範囲を動くときの P の軌跡を求め，図示
しなさい．
"
4OAB において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を C とし，OA = 7; OB = 6; OC = 5 とする．
¡! ~ ¡! ~ ¡! ~
OA = a; OB = b; OC = c とするとき，次の問いに答えなさい．
(1) ~
a; ~
b を用いて ~
c を表しなさい．
(2) 内積 ~
a ¢~
b を求めなさい．
(3) 4OAB の面積を求めなさい．
#
次の問いに答えなさい．
p
p
(1) 2 つの整数 a; b が 1 + 2 = a + b 2 を満たすならば，a = b = 1 であることを示しなさい．ただし，
p
2 が無理数であることは示さなくてよい．
p
p
(2) k を自然数とする．2 つの整数 a; b が (1 + 2)k+1 = a + b 2 を満たしているとき，
p
p
(1 + 2)k = a0 + b0 2 を満たす整数 a0 ; b0 を a; b を用いて表しなさい．
(3) すべての自然数 n に対して，
p
p
p
p
命題「2 つの整数 a; b が (1 + 2)n = a + b 2 を満たしているならば，(1 ¡ 2)n = a ¡ b 2 である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
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問題と分析
$
座標平面において，点 O(0; 0); 点 A(1; 1) がある．方程式 y = ¡ax + 2a + 2 が表す直線を ` とす
るとき，次の問いに答えなさい．ただし，a は正の実数とする．
(1) 直線 ` に関して点 A と対称な点を A0 とする．A0 の座標を求めなさい．
(2) 点 P が直線 ` 上を動くときの OP + PA の最小値を，a を用いて表しなさい．
(3) (2) で求めた OP + PA の最小値を f(a) とするとき，f(a) を最大にするような a の値を求めなさい．
✓
✏
出題範囲と難易度
| 理系学部 (®)
!
U f 数列の極限
"
T f 微分法の応用
#
T b 数列・c 行列
$
S
f 微分法の応用・積分法
| 理系学部 (¯)
!
T
b 数列・c 行列
"
T
f 極限・微分法・c いろいろな曲線
#
S
f 積分法の応用
$
S
f 微分法の応用・積分法
| 文系学部
!
T
e 微分積分
"
U
b ベクトル（平面）
#
T
b 数列
$
T
e 図形と方程式
✒
✑
C 大学受験・数学塾管理人：makoto
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略解
略解
} 理系学部（®）
! (1)
(2)
" (1)
(2)
(3)
# (1)
(2)
an+1
B
¡1 + an 2 + 1
=
an
1
2
1B
h
E の底面の半径： 4 ¡ h2 ; F の高さ： + 1
2
2
p
4 3
¼
9
128
¼
1125
証明は省略．an+1 = aan + bbn ; bn+1 = ban + abn
cn+1 = (a + b)cn ; dn+1 = (a ¡ b)dn
cn = (a + b)n ; dn = (a ¡ b)n
(3)
$
1
f(a + b)n + (a ¡ b)n g
2
1
bn = f(a + b)n ¡ (a ¡ b)n g
2
an =
グラフは，右図太実線部分．
} 理系学部（¯）
!
y
1
3
O
y = ¡ 2 x3 + 3x2 ¡ 4x + 5
3
3
1
2
x
理系学部 (®) の # と同じ．
2B 2
a ¡9
3
2a
9
#x ¡ ;
(2) y = B
a
2
3 a ¡9
9
(3) c =
a
2
(4)
3
C
p
4 sin2 µ ¡ 3
3
# (1) AH =
; BH = CH = DH =
2 sin µ
2 sin µ
B
1 ¡ 4t2
(2)
8(1 ¡ t)
p
3
(3)
12
$
理系学部 (®) の $ と同じ．
" (1)
b=
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略解
} 文系学部
!
y
4k
4k
x¡
k+1
(k + 1)2
(1)
y = 0; y = ¡
(2)
y = 0 (¡1 < x < 0)
P の軌跡は，右図太実線部分．
"
~
(1) ~
c = 31 ~
a+ 2
3b
(2) ~
a ¢~
b=8
p
(3) 5 17
#
(1)
証明は省略
(2)
a0 = ¡a + 2b; b0 = a ¡ b
(3)
証明は省略
$
¡1
O
x
2
2a + 1 ; a2 + 2a + 3 <
(1) A0 $ 3a +
2
a +1
a2 + 1
F
10a2 + 16a + 10
(2)
a2 + 1
(3) a = 1
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