受験番号 氏 名 クラス 出席番号 試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。 2012年度 第 3回 数 全統マーク模試問題 学 ① 〔数学Ⅰ，数学Ⅰ・数学 (100点 60分) 〕 2012年10月実施 この問題冊子には，「数学Ⅰ」「数学Ⅰ・数学 」の２科目を掲載していま す。解答する科目を間違えないよう選択しなさい。 注 意 事 項 解答用紙は，第１面(表面)及び第２面(裏面)の両面を使用しなさい。 解答用紙には解答欄以外に次の記入欄があるので，監督者の指示に従って，それ ぞれ正しく記入し，マークしなさい。必要事項欄及びマーク欄に正しく記入・マー クされていない場合は，採点できないことがあります。 ① 受験番号欄 受験票が発行されている場合のみ，必ず受験番号(数字及び英字)を記入し，さ らにその下のマーク欄にマークしなさい。 ② 氏名欄，高校名欄，クラス・出席番号欄 氏名・フリガナ，高校名・フリガナ及びクラス・出席番号を記入しなさい。 ③ 解答科目欄 解答する科目を一つ選び，マーク欄にマークしなさい。 マークされていない場合又は複数の科目にマークされている場合は，０点とな ることがあります。 １ 解答科目については，間違いのないよう十分に注意し，マークしなさい。 ２ 出題科目，ページ及び選択方法は，下表のとおりです。 出題科目 数 学 ペ ー ジ Ⅰ ４∼11 数学Ⅰ・数学Ａ 12∼19 選 択 方 法 左の２科目のうちから１科目を選択し，解答しなさ い。 ３ 試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁及び解答用紙の汚れ等に気 付いた場合は，手を挙げて監督者に知らせなさい。 ４ 問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離してはいけません。 ５ この注意事項は，問題冊子の裏表紙にも続きます。問題冊子を裏返して必ず読み なさい。 ― 1 ― 白ページ ― 2 ― 白ページ ― 3 ― 数 学 (全 第１問 (配点 問 必 Ⅰ 答) 解説 20) 〔１〕 ２次方程式 − 5 ＋ 5＝ 0 の解は ア ± ＝ イ ウ である。 このうち，小さい方を ，大きい方を とし，α＝ − 2 ，β＝ −2 とすると α＋ β＝ エ ， αβ＝ オ である。 また α＋β ＝ であり， ≦β＜ カ ， α ＋ β ＝ キク ＋ 1 を満たす整数 は ケコ である。 (数学Ⅰ 第１問 は次ページに続く。 ) ― 4 ― 数学Ⅰ 〔２〕 ⑴ 1＋ ２ ＋ ３ 1＋ ２ − ３ を計算すると 1＋ ２ ＋ ３ 1＋ ２ − ３ ＝ 1＋ ２ ＋ ３ ＝ 1＋ ２ ＝ サ ス − 1＋ ２ − ３ シ セ である。 また，1＋ ２ ＋ ３ ＋ ６ を変形すると 1＋ ２ ＋ ３ ＋ ６ ＝ である。ただし， ⑵ タ ＜ ソ チ ＋ タ ソ ＋ チ とする。 連立不等式 1＋ ２ ＋ ３ ＜1 1＋ ２ ＋ ３ ＋ ６ ＞1 の解は ツ − テ − ト ＋ ナ ＜ ニ ヌ ＜ である。ただし， テ ＜ ト とする。 ― 5 ― ＋ ネ ハ − ノ 数学Ⅰ 第２問 (配点 解説 25) ， を定数として２次関数 ＝ − 4 −2 ＋ ………… ① について考える。関数 ① のグラフ ア − イ の頂点の座標は ， ウエ ＋ オ ＋ − カ である。 ⑴ 関数 ① の最小値が −25であるとする。 ＝ キ − ク である。さらに， と 軸の サシ ＜ ＜ ス − ケコ ＜ 0 の部分が交わるような の値の範囲は である。 サシ ＜ ＜ ス を満たす のうち，最小の整数を ，最大の整数を と する。 ＝ 0≦ のときの 0≦ ≦ 4 における関数 ① の最大値を ≦ 4 における関数 ① の最大値を − ， ＝ のときの とするとき ＝ セソ である。 (数学Ⅰ 第２問 は次ページに続く。 ) ― 6 ― 数学Ⅰ ⑵ ＝ 2 とする。 と 軸が異なる２点で交わるような タ − ＜ チ と タ ， ツ である。さらに， の値の範囲は 軸の 0＜ ツ ＋ ナ ト ＜ チ ＜ ＜ 2 の部分が異なる２点で交わるような 値の範囲は テ ＋ ＜ ニ ヌ である。 ― 7 ― の 数学Ⅰ 第３問 (配点 解説 30) △ABC において，AB ＝ 5，BC ＝ ６，CA ＝ 4 であるとき ア cos∠ABC ＝ イ ウエ ， sin∠ABC ＝ カ であり，△ABC の面積は コ オ キク ，△ABC の外接円の半径は ケ サシ ス である。 (数学Ⅰ 第３問 は次ページに続く。 ) ― 8 ― 数学Ⅰ 辺 AB 上に点 D を BD ＝ 1 となるようにとる。このとき CD ＝ セ であり，さらに，△ABC の外接円と直線 CD との交点のうち C と異なる方を E と する。このとき AE ＝ ソ タ ， DE ＝ チ である。 したがって，△AED の面積は の面積を ツテ であり，△ABC の面積を とするとき ＝ ト である。 ― 9 ― ，△AEB 数学Ⅰ 第４問 ⑴ (配点 25) 解説 正の実数 αは 1 α ＝8 ＋ α 4 ………… ① を満たしている。 1 α 1 α ＋ ＋ ＝ ＋ α 4 α 2 ア であるから，① より 1 α ＝ ＋ α 2 イ すなわち 1 α ＋ ＝ α 2 ウ ………… ② となる。また 1 α 1 α − ＋ ＝ − α 4 α 2 エ であるから，① より 1 α ＝ − α 2 オ すなわち 1 α ＝± − α 2 オ ………… ③ となる。 ②，③ より α＝ ウ ± オ である。この二つの値のうち，大きい方を α，小さい方を α とする。 (数学Ⅰ 第４問 は次ページに続く。 ) ― 10 ― 数学Ⅰ 正の実数 βが 16 β ＝8 ＋ β 4 を満たしているとき β＝ カ キ ± ク である。この二つの値のうち，大きい方を β，小さい方を β とする。 このとき α ＝ ケコ ＋ サ シ β ＝ スセ ＋ ソ タ であるから，α と β の大小関係は 次の ∼ である。 チ に当てはまるものを， のうちから一つ選べ。 α＞ β ⑵ チ α＝ β α＜ β を整数として， の不等式 − ≦1 ………… ④ を考える。 ⅰ ＝ 2 のとき，④ の解は ツ ≦ ≦ テ であるから，⑴ の四つの値 α，α，β，β のうち， ト 個の値が ④ の解に含 まれる。 ⅱ ⑴ の四つの値 α，α，β，β のうち，ちょうど２個の値が ④ の解に含まれる の値は ナ 個ある。 ― 11 ― 数学Ⅰ・数学 (全 第１問 (配点 問 必 答) 解説 20) 〔１〕 ２次方程式 − 5 ＋ 5＝ 0 の解は ア ± ＝ イ ウ である。 このうち，小さい方を ，大きい方を とし，α＝ − 2 ，β＝ −2 とすると α＋ β＝ エ ， αβ＝ オ である。 また α＋β ＝ であり， ≦β＜ カ ， α ＋ β ＝ キク ＋ 1 を満たす整数 は ケコ (数学Ⅰ・数学 ― 12 ― である。 第１問 は次ページに続く。 ) 数学Ⅰ・数学 〔２〕 有理数 ， に関する条件 ， ， を次のように定める。 ： ＝0 ： ＋ ： ＋ ⑴ 次の サ ＝0 ２＝0 ∼ ス に当てはまるものを，下の ∼ のうちから一つず つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ＝ 0 であることは であるための は であるための シ 。 は であるための ス 。 サ 。 必要十分条件である 必要条件であるが，十分条件でない 十分条件であるが，必要条件でない 必要条件でも十分条件でもない ⑵ 条件 ⅰ の否定を 次の セ で表す。 に当てはまるものを，下の と同値である条件は ⅱ セ ＞ ＋ ∼ であるための必要条件であるが，十分 のうち − ＞0 のうちから一つ選べ。 である。 二つの条件 ， について， は 条件でないとする。下の ∼ に該当するものは ＝0 0 ― 13 ― −1 ソ 個ある。 −1 ＝0 数学Ⅰ・数学 第２問 (配点 25) 解説 ， を定数として２次関数 ＝ − 4 −2 ＋ ………… ① について考える。関数 ① のグラフ ア − イ の頂点の座標は ， ウエ ＋ オ ＋ − カ である。 ⑴ 関数 ① の最小値が −25であるとする。 ＝ キ − ク である。さらに， と 軸の サシ ＜ ＜ ス − ケコ ＜ 0 の部分が交わるような の値の範囲は である。 サシ ＜ ＜ ス を満たす のうち，最小の整数を ，最大の整数を と する。 ＝ 0≦ のときの 0≦ ≦ 4 における関数 ① の最大値を ≦ 4 における関数 ① の最大値を − ， ＝ のときの とするとき ＝ セソ である。 (数学Ⅰ・数学 ― 14 ― 第２問 は次ページに続く。 ) 数学Ⅰ・数学 ⑵ ＝ 2 とする。 と 軸が異なる２点で交わるような タ − ＜ チ と タ ， ツ である。さらに， の値の範囲は 軸の 0＜ ツ ＋ ナ ト ＜ チ ＜ ＜ 2 の部分が異なる２点で交わるような 値の範囲は テ ＋ ＜ ニ ヌ である。 ― 15 ― の 数学Ⅰ・数学 第３問 (配点 解説 30) △ABC において，AB ＝ 5，BC ＝ ６，CA ＝ 4 であるとき ア cos∠ABC ＝ イ ウエ ， sin∠ABC ＝ カ であり，△ABC の面積は コ オ キク ，△ABC の外接円の半径は ケ サシ ス である。 (数学Ⅰ・数学 ― 16 ― 第３問 は次ページに続く。 ) 数学Ⅰ・数学 直線 CA に関して点 B と反対側に点 D を CD ＝ 3，AD ＝ 2 であるようにとる。 このとき cos∠CDA ＝ セソ タ であり，点 D について，次の ， のうち正しいものは チ である。 点 D は △ABC の外接円の周上にある 点 D は △ABC の外接円の周上にない 線分 CD 上に点 E を DE ＝ 1 であるようにとる。このとき AE ＝ ツ であり テ cos∠CEA ＝ − ト である。 さらに，線分 AD 上に点 F を ∠CFA ＝ ∠CEA であるようにとる。このとき ナ CF ＝ ニ ヌ ネ であり，四角形 ACEF の面積は ノハ ヒフ ― 17 ― である。 数学Ⅰ・数学 第４問 (配点 25) 解説 １から７までの数字が一つずつ書かれた７枚のカードがあり，これをすべて横一列 に並べる。このようなカードの並べ方は ⑴ アイウエ 通りある。 １と書かれたカードと７と書かれたカードが隣り合うようなカードの並べ方は オカキク 通りであり，１と書かれたカードと７と書かれたカードの間にあるカ ードが５と書かれたカードだけであるようなカードの並べ方は ケコサ 通りであ る。 (数学Ⅰ・数学 ― 18 ― 第４問 は次ページに続く。 ) 数学Ⅰ・数学 ⑵ カードを並べる前の持ち点を０点として，並べたカードの並び方によって次のよ うに得点を加える。 １と書かれたカードと７と書かれたカードの間に，偶数が書かれたカードが１枚 以上あるときは２点を加え，３の倍数が書かれたカードが１枚以上あるときは３点 を加える。 例えば，並べたカードが， ２ ， ７ ， ４ ， ５ ， ６ ， １ ， ３ であるとき，カー ドを並べた後の得点は５点である。 カードを並べた後の得点が０点となる確率は 後の得点が，３点となる確率は セ ソタ シ ス である。カードを並べた であり，２点となる確率は る。 また，カードを並べた後の得点の期待値は ― 19 ― テト ナニ 点である。 チ ツ であ 解答上の注意 １ 解答は，解答用紙の問題番号に対応した解答欄にマークしなさい。 ２ 問題の文中の ア ， イウ などには，特に指示がないかぎり，符号（−，±) 又は数字(０∼９)が入ります。ア，イ，ウ，… の一つ一つは，これらのいずれか一 つに対応します。それらを解答用紙のア，イ，ウ，… で示された解答欄にマークし て答えなさい。 例 アイウ に −83 と答えたいとき ア イ ウ なお，同一の問題文中に 降は， ３ ア ， イウ ア ， イウ などが２度以上現れる場合，２度目以 のように細字で表記します。 分数形で解答する場合，分数の符号は分子につけ，分母につけてはいけません。 例えば， エオ カ に − −4 4 として答えなさい。 と答えたいときは， 5 5 また，それ以上約分できない形で答えなさい。 例えば， ４ 6 3 のように答えてはいけません。 と答えるところを， 8 4 根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えな さい。 例えば， キ ク に 4 ２ と答えるところを，2 ８ のように答えてはい けません。 ケ ５ ＋ 根号を含む分数形で解答する場合，例えば コ シ サ に 6＋2 ８ 6＋4 ２ 3＋2 ２ のように答えてはいけません。 や と答えるところを， 4 4 2 問題を解く際には，「問題」冊子にも必ず自分の解答を記録し，試験終了後に 配付される「学習の手引き」にそって自己採点し，再確認しなさい。 Ⓒ Kawaijuku 2012 Printed in Japan 無断転載複写禁止・譲渡禁止 数①
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