超電導工学試験 G G = )(,T T H TG H , KG LG +

平成１３年２月９日
超電導工学試験
担当：伊藤・堺
斗内・村上
【問題１】以下の文章の空欄(a)-(k)および（い）を埋めなさい。但し、(a)-(k)は数式、
（い）については式以
外にも知るところを述べなさい。（配点 35％）
超伝導研究の所期には、ミクロな電子状態も電子間相互作用も全然判明していない。ただマクロな電磁
気的特性として、基本的な B=0 の完全反磁性という事実が分かっているのみであった。これを基にしてマク
ロな物性の間の法則として熱力学を用いて、他のマクロな性質について導き出してみることにする。
ギブスの自由エネルギーは、単に温度 T、エントロピーS などの熱的特性だけでなく、次のように外部
磁場 H に対する磁化 M で、電場 E の下での電気分極ベクトル P、さらに圧力ｐ、体積 V などの電磁気的、
熱力学的諸量も含んでいる一般的なエネルギーポテンシャルである。これら用いて自由エネルギーG を表す
と
G = F − pV − H ⋅ M − E ⋅ P
F = U − TS
ここで U は内部エネルギー、F はヘルムホルツの自由エネルギーである。この内 P は誘電体以外の金属超伝
導体内ではほとんどゼロなので、最終的には除くことにする。G は全微分可能で次のようになる。
dG =
(a)
(1)
超伝導は固体であるため、dV = 0、また電圧一定下におかれた場合 dV = 0,dp = 0 となる。また熱力学的に、
入ってきた熱量 q と外部に対してした仕事 W を用いて
dU =
(b)
(c)
が成り立つので、これは(1)式中の
dG =
と等しい。これらを式(1)に代入すると、
(d)
(2)
の関係が成り立つ。
ところで、ギブスの自由エネルギーG は相空間にわたって連続的に変化するので、超伝導相 S から常伝
導相 N の境界線を横切って状態変化するときにも、その両側で等しく、dG = 0 となる。すなわち
G N = GS
である。そのために相転位の熱力学では二つの相を関係づけるものとして U や F で議論するよりも G を用
いる方が有効である。
さて、相境界上の１点 (T ,
H c (T ) ) （K 点とする）での G を求めるために dG を (T, 0) の状態（L 点と
する）から磁場 H を増大する経路にそって２点間の磁気エネルギー差を用いて積分を表すと、
G S (T , H c ) =
(e)
と表現できる。この経路上では T：一定、dT = 0 なので式(2)から
G S (K ) =
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(f)
+
+ G S (L )
(3)
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ここで超伝導 S 状態では、
B = µ 0 (H + M ) = 0
(4)
従って、M =−H。これを式(3)に用いると、結局
G S (T , H c ) − GS (T , 0) =
(g)
GN(K) を考えてみよう。
G N (K ) = G N (T , H c ) = G N (T , 0 ) −
(5)
一方、K 点での N 側における
(h)
ところが N 状態では、式(2)における M が S 状態とは異なって、通常の金属超伝導体では、MN
であるために結局
G N (T , H c ) ≅ G N (0 )
= 0, B = µ0H
(6)
式(5)と式(6)の比較において、K 点では元々エネルギー的に連続であるため G S (K ) = G N (K ) である。そのた
め次の関係がえられる。
G S (T , 0 ) = G N (T , 0 ) −
(i)
(7)
この関係は大変重要なもので、導出時の磁場印加過程とは無関係に、純粋に T < TC、H
= 0 の状態である L
点において、超伝導状態（S）にある試料は、仮にその電子状態が同じ L 点で常伝導（N）に保った時よりう
も自由エネルギーで
(i)
だけ低いということを意味する。
T = TC では両者は等しいが、T → 0 とともに Hc(T) は式
(い)
ますそのエネルギー差は大きくなる。このため、今度は L 点にある試料を T
に従って増大するので、ます
< TC に冷却すると、エネルギ
ー的に安定な S 状態に自然に転位することになる。
今度は L 点の試料
(T, Hc = 0) に磁界 H を印加してゆくと H <Hc では式(5)に従って、
G S (T , H ) = G S (T , 0 ) +
(j)
これに式(7)を合わせると結局
G S (T , H ) = G N (T , 0) −
(k)
となり、だんだん H とともにエネルギーは増大して H
=Hc の K 点において両者の差はなくなり、G は連続
的に推移する。
【問題２】超伝導体の特性を表す物理量としてξとλがある。
（配点 15％）
（１）これらの量は超伝導特性のうち、何を表したものか。
（２） T = 0 におけるそれぞれの定義式を示しなさい。
（３） T < TC の時のそれぞれの温度依存性ξ(T), λ(T) を示しなさい。
【問題３】
NS(E)
Nn(0)
（配点 25％）
次の超伝導体における準粒子の励起エネルギーE を与える式を用いて、T = 0K
における準粒子の状態密度 NS(E)を求めて図示せよ。
0
E = ε 2 + ∆2
但し、εはフェルミ面から測った常伝導状態の電子のエネルギー、Δは超伝導
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+
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E
ギャップ、また常伝導状態での状態密度はフェルミ面近傍で一定値 Nn(0)をとるものとする。
【問題４】
（配点 25％）
① 以下の空欄【a】∼【g】に適する語句または式を入れよ。
X
抵抗の無い超伝導体中を流れる電流は【a】の運動と密接に関係して
おり、この【a】波はむやみに散乱されずに非常に長い距離にわたっ
S
N
て【b】な関係にある。この性質により超伝導体では以下に示すよう
Y
な興味ある現象を見ることができる。
図に示すように常伝導領域（N 領域）を囲む超伝導リング（S 領域）
Z
内に点線で示されるような閉路を考えてみよう。磁界が存在し、ま
たリングを周回する超伝導電流が存在する場合、この曲線上の任意
図
超伝導リング
の二つの点の間には【a】波の位相差が生じ、XYZX の閉路の周りを
めぐって生じる位相差は、
(∆θ ) XYZX
=
4πm
4πe
J s ⋅ dl +
A ⋅ dl
³
hn s e
h ³
――――――――――
①
で与えられる。ただし、m は電子質量、ns は超伝導電子密度、e は素電荷、h はプランク定数、Js は超
伝導電流密度、A は【c】である。
今 dS を面積素とすると、Stokes の定理および curl A = B より
(∆θ ) XYZX
=
4πm
4πe
J s ⋅ dl +
B ⋅ dS
³
hn s e
h ³³
S
――――――――――
②
となる。
一方、
【a】波の【b】性より、この閉路の周りの位相差が【d】の n 倍（但し、n は整数）でなければな
らないことから、
(∆θ )XYZX =【d】n
―――――――――
③
―――――――――
④
が得られる。
よって、この②および③の関係からリングを貫く磁束φ が
φ =【e】n
で与えられることがわかる。
ここに、φ0
=【e】のことを【f】といい、その値は約【g】Web である（但し、h = 6.6×10-34 [J･s], e =
1.6×10-19 [C]）。
以上のことから、超伝導リングを貫く磁束はφ0 を単位として量子化されることがわかる。このような
超伝導リングに【h】を組み込んだデバイスは【i】として知られ r、超高感度な磁気センサーとして用い
られている。
② ジョセフソンの基礎方程式を示せ。ただし、ジョセフソン接合の両端での位相差を∆φ 、臨界電流を
とする。
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+
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Ic

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