数学Ⅰ・A(134kb)

2005 年度
第１問
本試験
数学 I･A
〔１〕
〔１〕
a を定数とし， x の 2 次関数
y = x 2 − 2( a + 2) x + a 2 − a + 1
のグラフを G とする。
グラフ G と y 軸との交点の y 座標を Y とする。Y の値が最小になるのは a =
(1)
ア
イ
のときで，最
ウ
小値は
である。このときグラフ G は x 軸と異なる 2 点で交わり，その交点の x 座標は，
エ
±
オ
カキ
ク
である。
グラフ G が y 軸に関して対称になるのは a = −
(2)
グラフ G が x 軸に接するのは a = −
ケ
のときで，このときのグラフを G1 とする。
コ
サ
のときで，このときのグラフを G2 とする。
シ
グラフ G1 を x 軸方向に
ス
， y 軸方向にセソだけ平行移動するとグラフ G2 に重なる。
〔２〕
〔２〕
大小 2 個のさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ a ， b とし，2 次関数 y = x 2 −
b−2
のグラフを C
a
とする。
(1)
グラフ C と x 軸との共有点の個数が 0 個である確率(すなわちグラフ C が x 軸と共有点をもたない
タ
確率)は
チ
ツ
であり，共有点の個数が 1 個である確率は
テ
ト
率は
ナ
である。
ニ
(2)
グラフ C と x 軸との共有点の個数の期待値は
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1/6
ヌ
である。
，共有点の個数が 2 個である確
ネノ
(3)
グラフ C と x 軸とが共有点をもち，かつ共有点の x 座標がすべて整数となる確率は
る。
第２問
〔１〕
〔１〕
a ， b を実数とし， x の整式
A = x 4 + (a 2 − a − 1) x 2 + (−a 2 + b) x + b 3
B = x2 − x − a
を考える。 A を B で割った商を Q ，余りを R とすると，
Q = x2 + x + a
ア
R = ( a + b) x + a
イ
+b
ウ
である。
(1)
R = x + 7 のとき， a =
(2)
キ
と
ク
エ
または a = オカである。
０～③のうちから一つずつ選べ。
に当てはまるものを，以下の◯
1
a < − は，すべての実数 x に対して Q > 0 となるためのキ。
2
a + b = 0 は， A が B で割り切れるためのク。
(ⅰ)
(ⅱ)
０
◯
必要十分条件である
①
必要条件であるが十分条件ではない
②
十分条件であるが必要条件ではない
③
必要条件でも十分条件でもない
〔２〕
〔２〕
線分 AB を直径とする半円周上に 2 点 C ， D があり，
AC = 2 5 ， AD = 8 ， tan ∠CAD =
1
2
であるとする。
このとき，
cos ∠CAD =
CD =
シ
ケ
コ
サ
ス
である。
さらに，
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2/6
ハヒ
であ
△ADC の面積は
セ
AB = ソタ
である。
第３問
【１】【２】…必答問題，【３】【４】【５】…選択問題(１題選択)
(1)
数列 {an } の初項から第 n 項までの和 S n =
n
∑a
k
が
k =1
S n = −n 2 + 24n (n = 1 , 2 , 3 , Λ Λ )
で与えられるものとする。このとき a1 = アイ， a2 = ウエである。また an < 0 となる自然数 n の値
の範囲は n > オカであり，
40
∑ |a
k
| = キクケ
k =1
となる。
(2)
初項 1，公比 3 の等比数列を {bk } とおく。各自然数 n に対して，bk < n を満たす最大の bk を cn とお
く。例えば， n = 5 のとき
b2 = 3 ， b3 = 9 であり b1 < b2 < 5 < b3 < b4 < Λ
なので c5 = b2 = 3 である。
c10 =
(ⅰ)
30
∑c
(ⅱ)
k
コ
であり， cn = 27 である自然数 n は全部でサシ個ある。
= スセソである。
k =1
第４問
△ABC において，∠A は鈍角で，∠ B = 30° である。点 C から直線 AB に引いた垂線と直線 AB との交
点を H とする。辺 BC の中点を M とし，直線 AC は 3 点 A ， B ， M を通る円と点 A で接しているとす
る。
以下の
ア
～
ウ
，
オ
，
ク
０～◯
Ｆのうちから一つ
については，最も適当なものを次の◯
ずつ選べ。
０
◯
鋭角三角形
②
二等辺三角形 ③
⑥
AMB
AB
BH
Ａ
◯
Ｅ
◯
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①
直角二等辺三角形
正三角形
④
直角三角形
⑤
ABC
⑦
HMC
⑧
⑨
MCA
Ｂ
◯
AC
Ｃ
◯
MAB
AM
Ｄ
◯
BC
Ｆ
◯
CH
3/6
直角三角形 HBC において ∠ HBC = 30° なので， BC = 2
で， △MAC と△
イ
AC = MC ⋅
2
ア
である。一方 ∠MAC = ∠
イ
なの
は相似になる。したがって
ウ
となる。 M は辺 BC の中点なので
AC =
エ
CH
が成り立つ。したがって △HAC は
オ
であり， ∠AMB = カキ
°
となる。
AC と HM の交点を K ，直線 BK と HC の交点を L とする。 △HBK と △BCK の面積比は HL : LC で
あり， △CHK と △BCK の面積比は
△CHK : △BCK = HA :
ク
である。また，M は辺 BC の中点だから，△HBK と △CHK の面積は等しい。ゆえに，HL : LC = HA :
ク
が成り立つ。
したがって △HAL と △HBC の面積比は
△HAL : △HBC = 1 :
ケ
となる。
第５問
次のプログラムを考える。ただし，N には自然数を入力するものとする。また，INT(X)は X を超えな
い最大整数を与える関数である。
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
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INPUT ”N”; N
IF N9 THEN GOTO 230
FOR A1 TO N
FOR B1 TO N
IF B2INT(B2) THEN GOTO 210
IF BA THEN GOTO 210
FOR C1 TO N
IF CA THEN GOTO 200
IF CB THEN GOTO 200
PRINT 100A10BC
NEXT C
4/6
210
220
230
(1)
NEXT B
NEXT A
END
けた
前のプログラムを実行し，N?に 3 を入力すると，3桁の数が
ア
個表示される。特に，2 番目
に表示される 3 桁の数はイウエである。
(2)
前のプログラムを実行し，N?に 5 を入力すると，150 行はオカ回実行され，イウエは
キ
番目に表示される。
(3)
前のプログラムの 160 行と 180 行を，それぞれ次のように書き直す。
160
180
FOR CB TO N
IF CBINT(CB) THEN GOTO 200
変更したこのプログラムを実行し，N?に 7 を入力する。このとき，表示される 3 桁の数のうち，
最大の数はクケコであり，300 以上 500 以下の数は
サ
個である。
【解答１】
第１問
〔１〕
〔１〕
ア
イ
，
1
ウ
2
エ 4
コ
3
− ，−
サ
5
−ケ，−2
，
オ ± カキ
3
ク
シ 7
，
ス 5
，
5 ± 22
2
セソ，－7
〔２〕
〔２〕
タ
チ
，
1
ツ
6
テ
，
1
ト
6
ナ
，
2
ニ
3
ヌ
，
3
ネノ
2
ハヒ
第２問〔１〕
〔１〕
aア， a 2
aイ， a 3
bウ， b 3
オカ，－1
キ，②
０
ク，◯
シス，2 5
セ，8
エ，2
〔２〕
〔２〕
ケコ
サ
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，
2 5
5
5/6
ソタ，10
，
11
36
第３問
アイ，23
ウエ，21
オカ，13
キクケ，928
コ，9
サシ，54
スセソ，290
Ｆ
ア，◯
イ，⑤
Ｄ
ウ，◯
オ，①
カキ，45
Ａ
ク，◯
ケ，3
ア，4
イウエ，213
オカ，15
キ，7
クケコ，756
サ，6
第４問
エ， 2
第５問
2005.1a.doc
6/6

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