1 - 中央大学理工学部経営システム工学科

システム工学
中央大学理工学部
経営システム工学科
遠藤靖
目次
第 1 章線形システム
1.1
線形システムの状態表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3
線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
1.5
同次システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
1.7
随伴システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
1.9
定常システムの状態推移行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
基本行列と推移行列
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
非同次システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
5
8
11
12
対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
15
1.10 定常システムの状態推移行列の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
第 2 章可制御性と可観測性
2.1
2.2
19
可制御性と可観測性の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
可制御性と可観測性の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
20
2.2.1
定常システムの可制御性と可観測性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.2
双対システムの可制御性と可観測性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
第 3 章システムの安定性
3.1
3.2
3.3
27
システムの安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
安定性の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
28
3.2.1
3.2.2
30
31
定常システムの安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
フルビッツの判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
リャプノフ関数と安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
リャプノフの行列方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2
3.3.3
リャプノフ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
安定性の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 4 章最適レギュレータ
32
32
33
34
4.1
最適制御問題の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
4.2
最適フィードバック則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.1
4.2.2
Riccati の行列微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
定常システムに対する最適レギュレーター . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3
最大値原理
3
4
第 5 章待ち行列システム
5.1
5.2
5.3
43
バスや電車の待ち時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
等間隔運行の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2
5.1.3
サイクル運行の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
確率的な運行の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
44
5.1.4 ダンゴ運行のときの平均待ち時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
客の到着とサービス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
46
5.2.1
5.2.2
46
48
ポアソン到着 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
サービス時間の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
窓口が１個の待ち行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1
定常状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
50
5.3.2
システムの平均値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
第 6 章金融システム
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
6.1
ファイナンスの用語
6.2
6.3
フォワードの価格決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
１期間 2 値オプション・モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
59
6.4
6.5
3 値モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
無裁定の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
63
6.6
6.7
リスク中立確率測度
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
連続時間への序章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
70
第 1 章線形システム
1.1
線形システムの状態表示
一般に連続時間システムの状態方程式は
d
x(t) = f [x(t), u(t), t]
(1.1)
dt
という形の微分方程式で表わされる．ここに x(t) は n 次元ベクトルでシステムの状態といい，u(t)
は r 次元ベクトルで入力変数とか制御変数という．f は n 次元ベクトル値関数でシステムの構造を
表現している．(1.1) は状態方程式あるいは状態微分方程式という．
出力変数 y(t) は m 次元ベクトルで
y(t) = g[x(t), u(t), t]
(1.2)
と表わされ，出力方程式という．状態方程式 (1.1) と出力方程式 (1.2) とを合わせてシステム方程
式という．
特に f , g が線形の場合，すなわちシステム方程式が
d
x(t)
dt
y(t)
= A(t)x(t) + B(t)u(t)
(1.3)
= C(t)x(t) + D(t)u(t)
(1.4)
と表わされるとき，線形システムという．さらに A, B, C, D が時間に依存しないとき，すなわち．
d
x(t)
dt
y(t)
= Ax(t) + Bu(t)
(1.5)
= Cx(t) + Du(t)
(1.6)
のとき，定常線形システムという．
1.2
線形化
u0 (t) を (1.1) の入力とし，このときの解軌道を x0 (t) とする．すなわち
d
x0 (t) = f [x0 (t), u0 (t), t], (t0 ≤ t ≤ t1 )
dt
とし，u0 を公称入力，x0 を公称軌道と呼ぶことにする．いまシステムは公称条件に近いところで
˜ (t), x
˜ 0 を小さい摂動として
運転されるものとする．このとき，u
u(t)
x(t0 )
˜ (t) (t0 ≤ t ≤ t1 )
= u0 (t) + u
(1.7)
˜ (t0 )
= x0 (t0 ) + x
(1.8)
1
2
endow-05
と表わす．これに対する (1.1) の解を
˜ (t) (t0 ≤ t ≤ t1 )
x(t) = x0 (t) + x
(1.9)
とする．これらの x, u を (1.1) に代入して，一次まで Taylor 展開すると
d
d
˜ (t)
x0 (t) + x
dt
dt
=
f [x0 (t), u0 (t), t] + Jx [x0 (t), u0 (t), t]˜
x(t)
u(t) + h(t) (t0 ≤ t ≤ t1 )
+Ju [x0 (t), u0 (t), t]˜
(1.10)
ここに Jx , Ju はそれぞれ f の x と u に関するヤコビ行列である．たとえば Jx の (i, j) 要素は
(Jx )i,j =
∂fi
∂ξj
(1.11)
˜やu
˜ と比べて小さいも
である．ここに fi は f の第 i 要素で，ξj は x の第 j 要素である．h(t) が x
˜, u
˜ は近似的に線形方程式
のとして h を無視することにより x
d
˜ (t) = A(t)˜
x
x(t) + B(t)˜
u(t) (t0 ≤ t ≤ t1 )
(1.12)
dt
を満たす．ここに A(t) = Jx [x0 (t), u0 (t), t], B(t) = Ju [x0 (t), u0 (t), t] である．方程式 (1.12) は
方程式 (1.1) の線形化状態方程式という．
1.3
例
例１）倒立振子
• 台車はモーターにより f (t) という力で動く．
• 重心と軸受けとの距離を L とする．
• 重心回りの慣性モーメントを J ，台車の質量を M とする．
• 振り子にかかる力は重心に mg と軸受けに水平方向の抗力 H と垂直方向の抗力 V である．
各方向の運動方程式は次のようになる．
d2
[s(t) + L sin φ(t)] = H(t)
dt2
d2
m 2 [L cos φ(t)] = V (t) − mg
dt
d2
J 2 φ(t) = LV (t) sin φ(t) − LH(t) cos φ(t)
dt
d2
ds(t)
M 2 s(t) = f (t) − H(t) − F
dt
dt
微分を実行すると
m
¨ cos φ(t) − mLφ˙ 2 (t) sin φ(t) = H(t),
m¨
s(t) + mLφ(t)
˙2
(1.13)
¨ − mLφ (t) cos φ(t) = V (t) − mg,
−mLφ(t)
(1.14)
¨ = LV (t) sin φ(t) − LH(t) cos φ(t),
J φ(t)
(1.15)
M s¨(t) = f (t) − H(t) − F s(t).
˙
(1.16)
endow-05
3
簡単のために m は M に比べて小さいものとする．よって台車の動きの中で水平方向の抗力を無視
すると，
M s¨(t) = f (t) − F s(t).
˙
(1.17)
(1.13)-(1.15) から H(t), V (t) を消去すると
¨ − g sin φ(t) + 1 s¨(t) cos φ(t) = 0,
φ(t)
L
L
(1.18)
ここに
L =
J + mL2
.
mL
(1.19)
公称解として s(t) ≡ 0, φ(t) ≡ 0 とする．(1.18) の sin φ, cos φ(t) をテーラー展開して線形化すると
¨ − g φ(t) + 1 s¨(t) = 0.
φ(t)
L
L
(1.20)
状態変数 x(t) = col(x1 (t), x2 (t), x3 (t), x4 (t)) を
x1 (t) := s(t)
˙
x2 (t) := s(t)
x3 (t) := s(t) + L φ(t)
˙
˙ + L φ(t)
x4 (t) := s(t)
とする．こうして (1.17) と (1.20) とにより
x˙ 1 (t) = x2 (t),
F
1
f (t) −
x2 (t),
x˙ 2 (t) =
M
M
x˙ 3 (t) = x4 (t),
g
x˙ 4 (t) = gφ(t) = [x3 (t) − x1 (t)].
L
(1.21)
これをベクトル表示すると
˙
x(t)
= Ax(t) + Bu(t),
ここに，u(t) = f (t),

0
1

F
 0
M
A=
 0
0

g
−L
0
(1.22)
0
0
0
0
0
1
g
L
0



,



0

 1 
 M 

B=
 0 .


0
例２）撹拌タンク
• １の流入口から濃度 c1 の液体が流量 F1 の割りでタンクに入る．
• ２の流入口から濃度 c2 の液体が流量 F2 の割りでタンクに入る．
4
endow-05
• 流出口から濃度 c の液体が流量 F の割りでタンクから出る．
タンク内の液体の量を V とすると質量平衡方程式は
d
V (t) = F1 (t) + F2 (t) − F (t),
dt
d
[c(t)V (t)] = c1 F1 (t) + c2 F2 (t) − cF (t).
dt
(1.23)
(1.24)
また流出量は液面の高さの平方根に比例するので, タンクの底面積を S とすると
F (t) = k
V (t)
S
1
2
(1.25)
となる．よって (1.23),(1.24) は
1
2
V (t)
S
d
V (t) = F1 (t) + F2 (t) − k
dt
,
d
[c(t)V (t)] = c1 F1 (t) + c2 F2 (t) − ck
dt
(1.26)
V (t)
S
1
2
.
(1.27)
ここで全ての量が一定となる定常な状態を考えよう．これらの値を
F10 , F20 , F0 , V0 , c0 ,
とする．このとき次の関係が成り立つ．
0 = F10 + F20 − F0 ,
(1.28)
0 = c1 F10 + c2 F20 − c0 F0 ,
(1.29)
F0 = k
V0
S
1
2
.
(1.30)
定常状態から小さい摂動が生じたとする．
F1 (t) = F10 + u1 (t),
F2 (t) = F20 + u2 (t),
V (t) = V0 + x1 (t),
c(t) = c0 + x2 (t).
ここに u1 , u2 は入力変数で，x1 , x2 は状態変数である．これらの変数は十分小さいものとして
(1.26),(1.27) の線形化を行うと
x˙ 1 (t) = u1 (t) + u2 (t) −
k
2V0
1
2
V0
S
x1 (t),
x˙ 2 (t)V0 + c0 x˙ 1 (t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) − c0
k
−
2V0
V0
S
(1.31)
k
2V0
V0
S
1
2
x1 (t)
1
2
x2 (t).
(1.32)
endow-05
5
をこれらに (1.30) 代入すると
x˙ 1 (t) = u1 (t) + u2 (t) −
1 F0
x1 (t),
2 V0
(1.33)
1 F0
x˙ 2 (t)V0 + c0 x˙ 1 (t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) − c0 x1 (t) − F0 x2 (t).
2 V0
(1.34)
V0
F0
(1.35)
いま
θ=
とおく．これをタンクのホールドアップ・タイムという．(1.34) から x˙ 1 を消去して整理すると
x(t)
˙
=
1
− 2θ
0
0
− 1θ
x(t) +
1
1
c1 −c0
V0
c2 −c0
V0
u(t),
(1.36)
ここに
x(t) = col(x1 (t), x2 (t)),
u = col(u1 (t), u2 (t))
さらに出力変数を
F0
1
x1 (t),
x1 (t) =
2V0
2θ
y2 (t) = c(t) − c0 = x2 (t),
y1 (t) = F (t) − F0
と定義すると
y(t) =
1
2θ
0
0
1
x(t)
(1.37)
を得る．ここに
y(t) = col(y1 (t), y2 (t)).
1.4
同次システム
状態方程式が微分方程式で表わされるシステムを微分システムという．方程式が線形であるとき
線形微分システムあるいは単に線形システムという．また，同次線形微分方程式
d
dt x(t)
= A(t)x(t)
x(t0 ) = x0
を状態方程式とするシステムを同次線形システムという．
定理 1.1 システム (1.38) の解は唯一つ存在する．
これを証明するために次の補題が必要である．
(1.38)
6
endow-05
補題 1.1 行列微分方程式
d
dt X(t)
= A(t)X(t)
(1.39)
X(t0 ) = I
は唯一つの解を持つ．
証明微分方程式 (1.39) と等価な次の積分方程式について考える．
t
X(t) = I +
A(s)X(s)ds
(1.40)
t0
（存在性）行列の列 {Xk (t)} を次式により定義する：
X0 (t) ≡ I
t
Xk+1 (t) = I +



(1.41)
k = 0, 1, 2, · · · . 

A(s)Xk (s)ds
t0
これより
t
Xk+1 (t) − Xk (t) =
A(s)(Xk (s) − Xk−1 (s))ds
t0
が得られる．そこで
m(t1 ) := max
t0 ≤s≤t1
A(s)
とおくと，t0 ≤ t ≤ t1 と k = 1, 2, 3, · · · に対して
t
Xk+1 (t) − Xk (t)
A(s)(Xk (s) − Xk−1 (s))ds
=
t0
t
≤
Xk (s) − Xk−1 (s) ds
A(s)
t0
t
≤
Xk (s) − Xk−1 (s) ds
m(t1 )
(1.42)
t0
となる．一方
t
X1 (t) − X0 (t) ≤
A(s) ds ≤ m(t1 )t
t0
であるから，これを k = 1 の場合の (1.42) の右辺に代入する．次にこれを k = 2 の場合の (1.42)
の右辺に代入する．このように逐次これを繰り返すと，不等式
Xk+1 (t) − Xk (t) ≤
m(t1 )k+1 (t − t0 )k+1
(k + 1)!
k = 0, 1, 2, · · ·
(1.43)
が得られる．k について両辺の和を作ると
∞
∞
Xk+1 (t) − Xk (t)
≤
k=0
k=0
∞
≤
k=0
m(t1 )k+1 (t − t0 )k+1
(k + 1)!
m(t1 )k (t − t0 )k
≤ em(t1 )t1
k!
(t0 ≤ t ≤ t1 )
endow-05
7
となる．この式は級数
∞
(Xk+1 (t) − Xk (t)) = −I + lim Xk (t)
k→∞
k=0
が区間 [t0 , t1 ] において一様に収束することを意味している．すなわち，Xk (t) はある行列 X∞ (t)
に区間 [t0 , t1 ] において一様に収束する．そこで (1.41) の下式の両辺の極限をとると
X∞ (t) =
lim Xk+1 (t)
k→∞
t
=
A(s)Xk (s)ds
I + lim
k→∞
t0
t
=
I+
A(s) lim Xk (s)ds
k→∞
t0
t
=
A(s)X∞ (s)ds
I+
t0
となる．これは X∞ (t) が (1.40) を満たしていることを示している．すなわち，この X∞ (t) は行列
微分方程式 (1.40) の一つ解である．ところで，上の式で極限と積分の記号の交換は極限移行が一様
収束であることから可能である．以上の議論において t1 は任意であったからすべての t ∈ (−∞, ∞)
に対して行列微分方程式 (1.40) の解が確定する．
（一意性）X∞ (t) を行列微分方程式 (1.40) のもう一つの解としよう．このとき
t
X(t) − Y (t) =
A(s)(X(s) − Y (s))ds
t0
となるから
t
X(t) − Y (t) ≤
A(s)
X(s) − Y (s) ds.
t0
そこで
p(t1 ) := max
t0 ≤s≤t1
X(s) − Y (s)
とおくと，
t
X(t) − Y (t) ≤ p(t1 )
A(s) ds
t0
となる．これを (1.44) の右辺に代入して
t
X(t) − Y (t) ≤ p(t1 )
t0
が得られる．ここで，
s
α(s) :=
A(u) du
t0
と置くと
d
α(s) = A(s)
ds
s
A(s)
A(u) du ds
t0
(1.44)
8
endow-05
となるから
t
X(t) − Y (t)
≤ p(t1 )
α(s)
t0
=
1
p(t1 )
2
t
t0
d
α(s)ds
ss
d
1
[α(s)]2 ds = p(t1 )[α(t)]2
ds
2
これを再び (1.44) に代入して，順次この操作を繰り返すと，k = 1, 2, 3, · · · に対して
X(t) − Y (t) ≤
p(t1 )[α(t1 )]k
k!
(t0 ≤ t ≤ t1 )
を得る．右辺は任意の t ∈ [t0 , t1 ] に対して k を大きくすればいくらでもゼロに近づくから
X(t) − Y (t) = 0
(t0 ≤ t ≤ t1 )
とならなければならない．すなわち
X(t) = Y (t)
(t0 ≤ t ≤ t1 )
である．ここで t1 は任意であったから
X(t) = Y (t)
(−∞ < t < ∞).
よって行列微分方程式 (1.40) の解は一意である．
定理 1.1 の証明：（存在性）方程式 (1.38) の解は行列微分方程式 (1.39) の解 X(t) を用いて
x(t) = X(t)x0
(1.45)
と表わされることを示そう．(1.45) を微分すると，X(t) が行列微分方程式 (1.39) を満たすことより
d
d
x(t) = X(t)x0 = A(t)X(t)x0 = A(t)x(t)
dt
dt
となり，x(t) = X(t)x0 が (1.38) を満たすことが分かる．また (1.45) で t = t0 とおいて，X(t0 ) = I
を代入すると
x(t0 ) = X(t0 )x0 = Ix0 = x0 .
（一意性）方程式 (1.38) の解が一意であることは補題の証明と同じようにできる（練習問題）．
1.5
基本行列と推移行列
行列方程式 (1.39) はシステム (1.38) に付随した行列微分方程式といい，その解を基本解という．
一般に初期値を正則行列とするシステムに付随した行列微分方程式の解をシステムの基本行列と
いう．
定理 1.2 システム (1.38) の基本行列 X(t) は正則である．
endow-05
9
証明：ある t1 で X(t1 ) が正則でないとしよう．このとき X(t1 )b = 0 となるゼロでないベクトル
b = 0 が存在する．そこで
x(t) := X(t)b
とおくと，これは方程式

d
x(t) = A(t)x(t) 
dt

x(t1 ) = 0
(1.46)
の解となる．他方，
x(t) ≡ 0
も (1.46) の解である．したがって解の一意性により
X(t)b = 0
となる．ところが X(t0 ) は正則であるから
X(t0 )b = 0
となり，矛盾する．
定義 1.1 システムの基本行列を X(t) とするとき，
Φ(t, s) := X(t)X −1 (s)
(1.47)
により定義される行列 Φ をシステムの (状態推移行列) (state transition matrix) という．
さて，
x(t) = Φ(t, t0 )x(t0 )
(1.48)
は (1.38) の解である．表現を変えると
Rn
x(t0 ) −→ Φ(t, t0 )x(t0 ) ∈ Rn
すなわち，状態推移行列 Φ(t, t0 ) は時刻 t = t0 における状態 x(t0 ) を時刻 t = t における状態に推
移させる．このように状態推移行列はシステムの状態の時間的推移を完全に記述している．状態推
移行列の基本的な性質について述べておこう．
補題 1.2 システムの状態推移行列を Φ(t, s) とする．このとき次の性質が成り立つ．
(1) 推移法則
Φ(t2 , t0 ) = Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 )
(t0 ≤ t1 ≤ t2 )
(1.49)
(2) 逆行列
Φ(s, t) =
Φ−1 (t, s)
(1.50)
Φ(t, t) =
I
(1.51)
10
endow-05
(3) Φ(t, t0 ) は t の関数としてシステムの基本行列
d
Φ(t, t0 ) = A(t)Φ(t, t0 )
dt
(1.52)
(4) n × n 行列 T (t) はその各要素が微分可能でかつ T −1 (t) が存在する．このとき変数変換
z(t) := T (t)x(t)
(1.53)
によってシステム
d
x(t) = A(t)x(t)
dt
(1.54)
d
d
z(t) = [T (t)A(t)T −1 (t) + T (t)T −1 (t)]z(t)
dt
dt
(1.55)
は
と変換される．このとき状態推移行列は
Φz (t, s) = T (t)Φx (t, s)T −1 (s)
と表わされる．ここに，Φx , Φz はそれぞれ (1.54), (1.55) の状態推移行列である．
証明：(1) t0 ≤ t1 ≤ t2 に対して
x(t1 ) =
Φ(t1 , t0 )x(t0 )
x(t2 ) =
Φ(t2 , t1 )x(t1 )
となる．一方
x(t2 ) =
Φ(t2 , t0 )x(t0 )
である．よって
[Φ(t2 , t0 ) − Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 )]x(t0 ) = 0.
これは任意の x(t0 ) ∈ Rn に対して成り立つので
Φ(t2 , t0 ) − Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 ) = Θ.
(2) 状態推移行列の定義により
Φ(s, t)Φ(t, s)
= [X(s)X −1 (t)][X(t)X −1 (s)]
= X(s)[X −1 (t)X(t)]X −1 (s)
= X(s)X −1 (s)
= I.
(1.56)
endow-05
11
Φ(t, t) =
=
X(t)X −1 (t)
I
(3) 基本行列 X(t) は微分方程式 (1.39) を満たすので
d
Φ(t, t0 ) =
dt
=
=
d
X(t)X −1 (t0 )
dt
A(t)X(t)X −1 (t0 )
A(t)Φ(t, t0 ).
(4) 式
x(t) = Φx (t, s)x(s)
の両辺に左から T (t) を掛け，z(t) = T (t)x(t) を考慮するとると
z(t)
= T (t)x(t)
= T (t)Φx (t, s)x(s)
= T (t)Φx (t, s)T −1 (s)z(s).
一方
z(t) = Φz (t, s)z(s)
であるから
[Φz (t, s) − T (t)Φx (t, s)T −1 (s)]z(s) = 0.
z(s) は空間 Rn の任意のベクトルとすることができるので，
Φz (t, s) − T (t)Φx (t, s)T −1 (s) = Θ
1.6
随伴システム
システム
d
x(t) = A(t)x(t)
dt
(1.57)
に対して，同次元のベクトル λ(t) に関する線形微分システムが存在して任意に与えられた初期条
件に対する (1.57) の解 x(t) と λ(t) との内積を常に一定とすることができる．この様な λ(t) に関す
るシステムをの随伴システムという．具体的にはシステム
d
λ(t) = −AT (t)λ(t)
dt
(1.58)
12
endow-05
がそれである．実際，(1.57) の任意の解 x(t) と (1.58) の任意の解 λ(t) との内積は次に示すように
一定となっている．
d
(λ(t), x(t))
dt
=
d
d
λ(t), x(t) + λ(t), x(t)
dt
dt
= (−AT (t)λ(t), x(t)) + (λ(t), A(t)x(t))
= (λ(t), (−A(t) + A(t))x(t))
= (λ(t), 0) = 0.
定理 1.3 Φ(t, s) を (1.57) の状態推移行列とすると，行列 ΦT (s, t) = ΦT (t, s)−1 は随伴システム
(1.58) の状態推移行列である．
証明： I = Φ(t, s)−1 Φ(t, s) の両辺を t で微分すると
0
d
d
[Φ(t, s)−1 ]Φ(t, s) + Φ(t, s)−1 Φ(t, s)
dt
dt
d
−1
−1
= [ Φ(t, s) + Φ(t, s) A(t)]Φ(t, s)
dt
=
Φ(t, s) は正則であるから両辺の左から Φ(t, s) を掛けると
d
Φ(t, s)−1 = −Φ(t, s)−1 A(t).
dt
よって両辺の転置をとると
d T
Φ (t, s)−1 = −AT (t)ΦT (t, s)−1 .
dt
1.7
非同次システム
状態方程式が非同次線形微分方程式

d
x(t) = A(t)x(t) + f (t) 
dt

x(t ) = x0
(1.59)
0
で表わされるシステムを単に非同次システムという．
定理 1.4 非同次システムの解は唯一つで
t
x(t) = Φ(t, t0 )x(t0 ) +
Φ(t, s)f (s)ds
t0
と表わされる．ここで Φ(t, s) はシステムの状態推移行列である．
証明：いま X(t) を (1.39) の解すなわち基本解とする．そこで
x(t) = X(t)y(t)
(1.60)
endow-05
13
とおいて，両辺を t で微分すると
d
x(t)
dt
=
d
X(t) y(t) + X(t)
dt
= A(t)X(t)y(t) + X(t)
d
y(t)
dt
d
y(t)
dt
d
y(t) .
dt
= A(t)x(t) + X(t)
これと (1.59) とを比較して
d
y(t) = X −1 (t)f (t)
dt
を得る．この両辺を t0 から t まで積分すると
t
y(t) = y(t0 ) +
X −1 (s)f (s)ds.
t0
左から X(t) を掛けて，x(t0 ) = X(t0 )y(t0 ) を考慮すると
x(t)
= X(t)X −1 (t0 )x(t0 ) +
t
X(t)X −1 (s)f (s)ds
t0
t
= Φ(t, t0 )x(t0 ) +
Φ(t, s)f (s)ds
(1.61)
t0
となる．
ここで次のことを注意しておこう．(1.60) において f (s) ≡ 0 とおくと同次方程式 (1.38) の解
(1.48) に帰着する．すなわち，非同次方程式の解は同次方程式の解を含んでいると言える．
1.8
定常システムの状態推移行列
定理 1.5 定常システム

d
x(t) = Ax(t) 
dt

x(0) = x0
(1.62)
の状態推移行列は
Φ(t, s) = eA(t−s) .
(1.63)
ここに
∞
eAt =
k=0
Ak tk
.
k!
定理の証明をする前につぎの補題を示しておこう．
補題 1.3 (1) (1.64) の右辺の行列の級数が任意の有限区間において一様収束する．
(1.64)
14
endow-05
(2) 微分
d At
e = AeAt
dt
(3) 任意の実数 t, s に対して
eAt eAs = eA(t+s)
(4) 逆行列
−1
eAt
= e−At
証明： (1) 任意の区間 [a, b] において
∞
A k |t|k
≤ eαT < ∞
k!
≤
eAt
k=0
である．ここに
T := max{|a|, |b|}.
α := A ,
(2) 上で示したように行列の級数 eAt は任意の有限区間で一様収束であるから項別微分が可能であ
る．よって
∞
d At
e
dt
=
k=0
∞
=
∞
Ak tk
k!
d
dt
=
k−1 k−1
A
k=1
Ak d k
t =
k! dt
k=0
∞
A
t
=A
(k − 1)!
k=0
∞
k=0
Ak tk−1
(k − 1)!
k k
A t
= AeAt .
k!
(3) 定義により
∞
eAt eAs
=
i=0
=
Ai ti
i!
∞
k=0
Aj sj
j!
1
1
1
I + At + A2 t2 + · · · + Ai ti + · · ·
1!
2!
i!
1
1 2 2
1
× I + As + A s + · · · + Aj sj + · · · .
1!
2!
j!
右辺の Ak (k = 1, 2, · · ·) の係数を求めると
i+j=k
ti s j
i! j!
=
1
k!
i+j=k
1
k! i j
ts =
i!j!
k!
よって
∞
eAt eAs =
k=0
Ak (t + s)k
= eA(t+s) .
k!
i+j=k
1
k i j
t s = (t + s)k
i
k!
endow-05
15
(4) (3) において s = −t とおくと
eAt e−At = eA(t−t) = I
したがって逆行列の定義により (4) が得られる．
定理の証明：まず，
X(t) := eAt
が基本行列であることを示そう．補題 1.3 の (2) を適用して両辺を t で微分すると
d
X(t) = AeAt
dt
= AX(t).
また状態推移行列の定義と補題 1.3 の (4) により
Φ(t, s) =
1.9
X(t)X −1 (s) = eAt eAs
−1
= eAt e−As = eA(t−s)
対角化
定常システムにおいて行列 A が特別な場合は対角化することができる．はじめに線形代数でよ
く知られたつぎの補題を挙げておこう．
補題 1.4 行列 A は n 個の異なる固有値 λ1 , · · · , λn を持つものとする．これらに対応する固有ベク
トルを e1 , · · · , en とし，n × n 行列を次のように定義する：
T
:= (e1 , · · · , en ),
(1.65)
Λ
:= diag(λ1 , · · · , λn ).
(1.66)
このとき T は正則で
A = T ΛT −1
と表わされる．
この補題 1.4 によりつぎの定理が成り立つ．
定理 1.6 行列 A は補題 1.4 の条件を満たすものとする．このとき
(1) eAt = T eΛt T −1 ,
(2) eΛt = diag(eλ1 t , · · · , eλn t ).
さらに次の定理も明らかであろう．
(1.67)
16
endow-05
定理 1.7 定常システム (1.62) において行列 A は補題 1.4 の条件を満たすものとする．行列 T −1 を
T −1 := (f1 , · · · , fn )T
と定義すると (1.62) の解は
n
eλi t ei fiT x(t0 )
x(t) =
i=1
と表わされる．
証明：定理 1.6 の (1) により解軌道は
x(t) = T eΛt T −1 x(t0 )
と表わされるので右辺を展開すればよい．
1.10
定常システムの状態推移行列の求め方
定常システム (1.62) の状態推移行列は
Φ(t, s) = eA(t−s)
であるが，行列 A が対角行列のような特別の場合を除いて eAt を計算するためには工夫が必要で
ある．行列 A の特性多項式を P (λ) としよう．これは λ の n 次の多項式である．
P (λ)
:=
|λI − A|
=
λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0
ところで関数 eλt は λ = 0 のまわりで解析的であるから，
eλt = P (λ)Q(λ) + R(λ),
(1.68)
と表わされる．ここに，Q は商で R は剰余である．P は n 次の多項式であるので，R は高々n − 1
次の多項式である．すなわち，
R(λ) = c0 + c1 λ + · · · + cn−1 λn−1 .
ここで，(1.68) で λ の代わりに A を代入して，Cayley-Hamilton の定理：P (A) = Θ を適用すると
eAt
=
R(A)
=
c0 I + c1 A + · · · + cn−1 An−1
が得られる．よって eAt を計算するためには n 個の係数 c0 , c1 , · · · , cn−1 を求めればよい．
さて，行列 A の固有値 λj , j = 1, 2, · · · , q の重複度を
mj , j = 1, 2, · · · , q;
m1 + m2 + · · · + mq = n
endow-05
17
としよう．このとき，特性多項式は
P (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 · · · (λ − λq )mq
と表わされる．
固有値 λj , (j = 1, 2, · · · , q) について考えよう．特性多項式 P (λ) は因数 λ − λj を含むので，
P (λ)Q(λ)|λ=λj = 0
となる．よって，
eλt
λ=λj
= R(λ)|λ=λj
(1.69)
を得る．もし mj > 1 ならば，(d/dλ)P (λ) は因数 (λ − λj ) を含むので，
d
P (λ)Q(λ)
dλ
=0
λ=λj
となる．よって，
d λt
e
dλ
=
λ=λj
d
R(λ)
dλ
(1.70)
λ=λj
を得る．以下同様にして
dν λt
e
dλν
=
λ=λj
dν
R(λ)
dλν
ν = 0, 1, · · · , mj − 1
(1.71)
λ=λj
を得る．このようにして各固有値 λj に対して mj 個の方程式が得られるので，全部で m1 +m2 +· · ·+
mq = n 個の方程式が得られる．これらの n 個の方程式を連立して解くと n 個の係数 c0 , c1 , · · · , cn−1
が求められる．
18
endow-05
練習問題
問１）次式で表わされるシステムの状態推移行列を求めなさい．
x˙ 1
=
−x1 − 2x2 + u1
x˙ 2
=
−3x2
+ 2u1
問２）次の行列を係数行列とするシステムの状態推移行列を求めなさい．
A=
−1 −1
1 −3
問３）次の行列を係数行列とするシステムの状態推移行列を求めなさい．
A=
√
−2 2
2
−1
0
第 2 章可制御性と可観測性
2.1
可制御性と可観測性の定義
線形システム

d
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) 
dt

y(t) = C(t)x(t)
(2.1)
について考えよう．このシステムの解は (1.60) により
t
x(t) = Φ(t, t0 )x(t0 ) +
Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
(2.2)
t0
と表わされる．この表現を用いて線形システムの可制御性の定義をしよう．可制御性は入力変数
u(t) と状態変数 X(t) とのあいだのある関係を述べたものである．
定義 2.1 可制御性
(1) 状態 x0 は時刻 t0 において x1 に到達可能である．
def
=
(∀x1 ∈ Rn )(∃t1 (> t0 ), ∃u(τ ) (t0 ≤ τ ≤ t1 )) :
x(t1 ) = Φ(t1 , t0 )x0 +
t1
Φ(t1 , τ )B(τ )u(τ )dτ = x1
t0
(2) 状態 x0 は時刻 t0 において到達可能である．
def
= 状態 x0 は時刻 t0 において x1 = 0 に到達可能である．
(3) システムは時刻 t0 において可制御である．
def
= 任意の状態 x0 ∈ Rn が時刻 t0 において到達可能である．
(4) システムは可制御である．
def
= システムは任意の時刻 t0 において可制御である．
つぎに可観測性の定義をしよう．可観測性は出力変数と状態変数とのあいだの関係を述べたもので
ある．まず出力変数は (2.2) を出力方程式に代入することにより
t
y(t) = C(t)Φ(t, t0 )x(t0 ) +
C(t)Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
t0
19
(2.3)
20
endow-05
と表わされる．可制御性を考えるときは入力は既知と仮定するので，上式の右辺第２項は既知とな
る．そこで可観測性を考える場合システム (4.7) のかわりに

d
x(t) = A(t)x(t) 
dt
y(t) = C(t)x(t) 
(2.4)
を考えればよい．
定義 2.2 可観測性
(1) システムは時刻 t0 において可観測である．
def
= 時刻 t0 から時刻 t1 (> t0 ) までの出力の測定データ y(τ ) (t0 ≤ τ ≤ t1 ) から，
初期値 x(t0 ) = x0 ∈ Rn を一意的に定めることができる．
(2) システムは可観測である．
def
= 任意の時刻 t0 においてシステムは可観測である．
2.2
可制御性と可観測性の条件
時刻 t0 における状態変数 x(t0 ) と時刻 t(> t0 ) における出力の測定データ y(t) との関係は
y(t) = C(t)Φ(t, t0 )x(t0 )
(2.5)
である．右辺の行列 C(t)Φ(t, t0 ) は m × n 行列であるから一般に逆行列を持つとは限らない．した
がってある時刻におけるデータ y(t) だけからは状態変数 x(to ) を定めることは出来ない．ところ
が t0 から t1 までのデータ y(t) から x(to ) を導けることがある．この条件を考えて見よう．
定理 2.1 （可観測性の必要十分条件）システム (4.7) または (2.4) が時刻 t0 で可観測であるため
の必要十分な条件は，ある時刻 t1 (≥ t0 ) において
t1
M (t0 , t1 ) :=
ΦT (t, t0 )C T (t)C(t)Φ(t, t0 )dt
(2.6)
t0
が正則になることである．
証明：（十分性）時刻 t1 で行列 M (t0 , t1 ) が正則であるとする．いま (2.5) の両辺に左から ΦT (t, t0 )C T (t)
をかけて t0 から t1 まで積分すると
t1
ΦT (t, t0 )C T (t)y(t)dt
t1
=
t0
ΦT (t, t0 )C T (t)C(t)Φ(t, t0 )dtx(t0 )
t0
=
M (t0 , t1 )x(t0 ).
この両辺に左から逆行列 M (t0 , t1 )−1 をかけると
x(t0 ) = M (t0 , t1 )−1
t1
t0
ΦT (t, t0 )C T (t)y(t)dt
endow-05
21
となる．よって x(t0 ) は出力の測定データ y(t) (t0 ≤ t ≤ t1 ) から定まる．
（必要性）任意の t に対して行列 M (t0 , t1 ) は正則でないと仮定しよう．このとき任意の t ≥ t0 に
対して
(x, M (t0 , t)x) = 0
となるゼロでないベクトル x = 0 が存在する．この式を書き直すと
t
0 = (x, M (t0 , t)x)
x, ΦT (τ, t0 )C T (τ )C(τ )Φ(τ, t0 )x dτ
=
t0
t
C(τ )Φ(τ, t0 )x 2 dτ
=
t0
となる．上式の被積分関数は連続であるから
C(τ )Φ(τ, t0 )x = 0
(t ≥ t0 )
となる．したがって，もしも x(t0 ) = x ならば (2.5) により y(t) = 0 (t ≥ t0 ) となる．他方 x(t0 ) = 0
ならばやはり y(t) = 0 (t ≥ t0 ) となる．つまり出力の測定データ y(t) = 0 (t0 ≤ t ≤ t1 ) から状態
変数 x(t0 ) = x と x(t0 ) = 0 とを区別できない．
つぎに可制御性の条件について考えよう．
定理 2.2 （可制御性の必要十分条件）システム (4.7) が時刻 t0 で可制御であるための必要十分な
条件は，ある時刻 t1 (≥ t0 ) において
t1
D(t0 , t1 ) :=
Φ(t0 , t)B(t)B T (t)ΦT (t0 , t)dt
(2.7)
t0
が正則になることである．
証明：（十分性）時刻 t1 で行列 D(t0 , t1 ) が正則であるとする．逆行列 D(t0 , t1 )−1 を用いて制御
入力
u(t) = −B T (t)ΦT (t0 , t)D(t0 , t1 )−1 x0
を定義する．ここに x(t0 ) = x0 である．これを (2.2) に代入すると
x(t1 )
= Φ(t1 , t0 )x0 +
t1
Φ(t1 , t0 )Φ(t0 , t)B(t)u(t)dt
t0
= Φ(t1 , t0 ) x0 −
t1
Φ(t0 , t)B(t)B T (t)ΦT (t0 , t)dt D(t0 , t1 )−1 x0
t0
= 0
となる．x0 ∈ Rn は任意にとれるのでシステム (4.7) は時刻 t0 において可制御である．
（必要性）任意の t に対して行列 D(t0 , t1 ) は正則でないと仮定しよう．このとき任意の t ≥ t0 に
対して
(x, D(t0 , t)x) = 0
22
endow-05
となるゼロでないベクトル x = 0 が存在する．この式を書き直すと
t
0 = (x, D(t0 , t)x)
x, B(τ )Φ(τ, t0 )ΦT (τ, t0 )B T (τ )x dτ
=
t0
t
B T (τ )ΦT (τ, t0 )x 2 dτ.
=
t0
上式の被積分関数は連続であるから，任意の t ≥ t0 に対して
B T (τ )ΦT (τ, t0 )x = 0
(t ≥ t0 )
となる．一方，システム (4.7) は時刻 t0 において可制御であるから，とくに初期状態 x(t0 ) = x も
時刻 t0 で可制御である．すなわち，ある時刻 t1 と制御入力 u0 (τ ) (t0 ≤ τ ≤ t1 ) とが存在して
t1
Φ(t1 , t0 )x +
Φ(t1 , t)B(t)u0 (t)dt = 0
t0
となる．両辺に左から Φ(t0 t1 ) をかけて移項すると
x=−
t1
Φ(t0 , t)B(t)u0 (t)dt.
t0
よって
x
2
= (x, x)
= − x,
t1
Φ(t0 , t)B(t)u0 (t)dt
t0
= −
t1
B T (t)ΦT (t0 , t)x, u0 (t) dt
t0
= 0
となる．これより x = 0 となり，x = 0 に矛盾する．
定理 2.3 システム (4.7) が時刻 t0 において可制御ならば，システム (4.7) の任意の状態 x0 ∈ Rn
は時刻 t0 において任意の状態 x1 ∈ Rn に到達可能である．
証明：制御入力を
u(t) = −B T (t)ΦT (t0 , t)D(t0 , t1 )−1 x0 − Φ(t0 , t1 )x1
と定義して (2.2) に代入すると
x(t1 ) =
Φ(t1 , t0 )x0 +
t1
Φ(t1 , t0 )Φ(t0 , t)B(t)u(t)dt
t0
=
Φ(t1 , t0 ) x0 −
t1
Φ(t0 , t)B(t)B T (t)ΦT (t0 , t)dt D(t0 , t1 )−1 x0
t0
+Φ(t1 , t0 )Φ(t0 , t1 )x1
=
Φ(t1 , t0 ) x0 − D(t0 , t1 )D(t0 , t1 )−1 x0 + Φ(t1 , t0 )Φ(t0 , t1 )x1
=
Φ(t1 , t1 )x1 = x1
となる．
行列 M (t0 , t1 ), D(t0 , t1 ) の簡単な性質について述べておこう．
endow-05
23
定理 2.4
(1) 行列 M (t0 , t1 ), D(t0 , t1 ) はともに対称行列である．
(2) 行列 M (t0 , t1 ), D(t0 , t1 ) はともに非負定値である．
証明：練習問題とする．
2.2.1
定常システムの可制御性と可観測性
線形システム (4.7) のすべての係数行列が定数の場合システムは

d
x(t) = Ax(t) + Bu(t) 
dt

y(t) = Cx(t)
(2.8)
と表わされ，定常であるという．このとき可制御性と可観測性は時点 t0 に無関係である．定常な
システムの可制御性と可観測性の必要十分条件は次のように簡単になる．
定理 2.5 定常な線形システム (2.8) において
(1) システムが可制御であるための必要十分条件は
rankD = n.
(2.9)
ここで，D := [B, AB, · · · , An−1 ].
(2) システムが可観測であるための必要十分条件は
rankM = n.
ここで，M := [C T , AT C T , · · · , (AT )n−1 C T ].
証明：可制御性についてのみ証明するが，可観測性の証明も同様にできるので練習問題とする．定
常なシステムでは初期時点には依存しないので，t0 = 0 としても一般性は失われない．
（十分性）いま (2.9) は成立するがシステム (2.8) は可制御ではないと仮定する．このときあるゼ
ロでないベクトル x ∈ Rn があって，すべての t ≥ 0 に対して
(x, D(0, t)x) = 0
が成立する．これは
0T = xT Φ(0, t)B = xT e−At B
を意味する．この両辺を t でつぎつぎ微分して t = 0 とすると
0T = xT Ak B,
k = 0, 1, · · · , n − 1,
(2.10)
24
endow-05
すなわち，
0T = xT (I, A1 , · · · , An−1 )B = xT D
が得られる．よって
(x, DDT x) = 0
となって，DDT が正則でないこと，すなわち rankD < n となることを示している．これは仮定
(2.9) に矛盾する．
（必要性）システム (2.8) は可制御であるにもかかわらず
rankD < n
であると仮定しよう．このとき式 (2.10) をみたすあるゼロでないベクトル x ∈ Rn が存在する．行
列 A の特性多項式 P (s) とする．すべての j = 0, 1, · · · に対して
sn+j = Qj (s)P (s) + Rj (s)
と表わされる．ここで Qj (s) は商で Rj (s) は剰余で n − 1 次以下の多項式である．よって，Cayley-
Hamilton の定理：P (A) = Θ，により，
An+j
=
Qj (A)P (A) + Rj (A)
=
Rj (A),
となる．すなわち，行列 An+j (j = 0, 1, · · ·) は行列 I, A, A2 , · · · , An−1 の線形結合で表わされる．
したがって (2.10) より
∞
xT eAt B = xT
k=0
Ak tk
B = 0T
k!
(t ≥ 0)
となる．このベクトルの内積をとって区間 [0, t1 ] で積分すると
t1
0
=
T
T
(B T eA t x, B T eA t x)dt
0
t1
=
x,
T
eAt BB T eA t dt x
0
= (x, D(0, t1 )x)
(2.11)
となる．仮定よりシステムは可制御であるから，D(0, t1 ) はある t1 > 0 で正則である．すなわち，
D(0, t1 ) はある t1 > 0 で正定値になる．よって (2.11) は x = 0 を意味する．これは x = 0 に矛盾
する．
2.2.2
双対システムの可制御性と可観測性
システム (4.7) に対して

d
x∗(t) = −AT (t)x∗(t) − C T (t)u∗(t) 
dt

y∗(t) = B T (t)x∗(t)
を考えよう．(2.12) を (4.7) の双対システムという．
(2.12)
endow-05
25
定理 2.6 双対システム (2.12) が時刻 t0 において可制御（可観測）であるための必要十分条件はも
とのシステム (4.7) が時刻 t0 において可観測（可制御）であることである．
証明証明は，もとのシステムと随伴システムとの関係を考慮すればほとんど明らかであるので，
練習問題とする．
26
endow-05
練習問題
問１）次のシステムの可制御性と可観測性について調べなさい.
x˙ 1 = x1 + x2 + u
x˙ 2 = x1
,
y = x1 + x2 .
問２）次のシステムの可制御性と可観測性について調べなさい．

0

˙
x(t)
= 0
0



0
0



1  x(t) +  1  u(t),
−1 −2
1
y(t) =
1 1
0
1
0
x(t).
第 3 章システムの安定性
3.1
システムの安定性
システムの安定性について考える．
定義 3.1 状態微分方程式
d
x(t) = f [x(t), t]
dt
(3.1)
の公称解を x0 (t) とする．公称解を x0 (t) が安定であるというのは任意の t0 , ε > 0 に対してある
δ = δ(ε, t0 ) > 0 が存在して
x(t0 ) − x0 (t0 ) ≤ δ ⇒ x(t) − x0 (t) ≤ ε
(t ≥ t0 )
(3.2)
となることである．
定義 3.2 公称解を x0 (t) が漸近安定であるというのはつぎの二条件が成り立つことである：
(1) 安定である．
(2) すべての t0 に対してある ρ = ρ(t0 ) > 0 が存在して
x(t0 ) − x0 (t0 ) ≤ ρ ⇒ x(t) − x0 (t) → 0,
(t → ∞).
(3.3)
定義 3.3 公称解を x0 (t) が大域的漸近安定であるというのはつぎの二条件が成り立つことである：
(1) 安定である．
(2) 任意の t0 と任意の x(t0 ) ∈ Rn に対して
x(t) − x0 (t) → 0,
(t → ∞).
(3.4)
定義 3.4 線形微分システム
d
x(t) = A(t)x(t)
dt
(3.5)
が（安定，漸近安定，大域的漸近安定）であるというのはゼロ解 x(t) ≡ 0 がそれぞれの意味で安
定であることである．
27
28
endow-05
注意）線形微分システムの公称解を x0 (t) とし，別の解を x(t) とする．このとき
d
(x0 (t) − x(t)) = A(t)(x0 (t) − x(t))
dt
となる．よって線形微分システムにおいては公称解 x0 (t) の安定性を考える場合ゼロ解の安定性を
考えればよい．すなわちゼロ解が安定ならばすべての公称解も安定である．さらにつぎの定理が成
り立つことも注意しておこう．
定理 3.1 線形微分システムが漸近安定であることと大域的漸近安定であることとは等価である．
定義 3.5 線形微分システムが指数的安定であるというのは正数 α, β が存在して，すべての初期
状態 x(t0 ) ∈ Rn に対して
x(t) ≤ αe−β(t−t0 ) x0 (t)
(t ≥ t0 )
(3.6)
となることである．
例）撹拌タンク (1.36) の基本行列は
1
eAt =
e− 2θ t
0
0
e
− θ1 t
であるから
1
e− 2θ t
x(t) =
0
0
e
− θ1 t
x(0)
となる．よって
x(t)
=
=
1
2
e− θ t x21 (0) + e− θ t x22 (0)
1
2
1
1
≤ e− 2θ t (x21 (0) + x22 (0)) 2
1
e− 2θ t x(0) → 0 (t → ∞)
したがってシステムは指数的安定である．
3.2
安定性の条件
システムが安定であるための条件について考えよう．
定理 3.2 線形システム
d
x(t) = A(t)x(t)
dt
(3.7)
が安定であるための必要十分な条件は，ある正数 M = M (t0 ) が存在して全ての t ≥ t0 において
Φ(t, t0 ) ≤ M
となることである．
endow-05
29
言い換えると，上の条件は状態推移行列 Φ が t ≥ t0 において一様有界であるということである．
Proof: （十分性）時刻 t ≥ t0 におけるシステムの状態は
x(t) = Φ(t, t0 )x0
と表わされるから
x(t) ≤ Φ(t, t0 )
x0 ≤ M x0 .
よって
x0 <
ε
⇒ x(t) ≤ ε
M
(∀t ≥ t0 ).
（必要性）背理法で証明する．Φ が t ≥ t0 において一様有界でないと仮定しよう．このとき少なく
とも Φ の要素 φij は t → ∞ のとき任意に大きい値をとる．そこで第 j 要素のみゼロでない要素 c
をもつベクトルを x0 とする．すなわち
x0 = col(0, · · · , 0, c, 0, · · · , 0)
とすると x(t) の第 i 要素は
xi (t) = φij (t)c.
したがって t → ∞ とすることにより xi (t) はいくらでも大きくなる．これはシステムが不安定で
あることを意味する．
定理 3.3 線形システム (3.7) が漸近安定であるための必要十分条件は以下の条件が満たされるこ
とである．
(１) ∃M > 0 : Φ(t, t0 ) ≤ M
(２) lim Φ(t, t0 ) = 0
t→∞
(∀t ≥ t0 )
(∀t0 )
Proof: (⇐) (1) よりシステムは安定である (定理 3.2)．そして
x(t : x0 , t0 ) ≤ Φ(t, t0 )
x0 → 0,
(t → ∞).
よってシステムは漸近安定である．
(⇒) 漸近安定ならば安定であるから定理 3.2 より（１）が成り立つ．もし（２）が成り立たないと
仮定すると，少なくともある φij は t → ∞ のときゼロに収束しない．定理 3.2 と同じように x0 を
とると
xi (t) = φij (t)c
は t → ∞ のときゼロに収束しない．したがって x(t) は t → ∞ のとき 0 に収束しない．よってシ
ステムは漸近安定ではない．これは矛盾である．
30
endow-05
3.2.1
定常システムの安定性
定常システムではシステムを規定する行列 A の固有値がシステムの安定性を決定している．こ
のことについて次の定理が知られている．
定理 3.4 定常線形システム (1.62) が安定であるのはつぎの２条件が満たされることである：
(1) A のすべての固有値は非正の実数部を持つ．
(2) 重複度 m の虚軸上の固有値は丁度 m 個の固有ベクトルを持つ．
証明：（省略）
定理 3.5 (安定性の基本定理) 定常線形システム (1.62) が漸近安定であるのは A のすべての固有
値が負の実数部をもつことであり，かつそのときに限る．
A のすべての固有値の実数部が負のとき A は安定な行列という．
証明： A のすべての固有値の実数部が負のとき A は安定な行列という．
よく知られているように適当な正則行列 P を用いて行列 A を三角行列 B に変換できる：P −1 AP =
B. このとき元のシステムは

d
z(t) = Bz(t) 
dt

z(0) = c
(3.8)
となる．ここに，x(t) := P z(t), c = P −1 x0 である．これを要素で表現すると
d
z1 (t)
dt
d
z2 (t)
dt
d
zn (t)
dt
= b11 z1 + b12 z2 + · · · + b1n zn ,
z1 (0) = c1
+b22 z2 + · · · + b2n zn ,
z2 (0) = c2
=
·········
=
bnn zn ,
ここで bii は A の固有値で，仮定より
zn (0) = cn
(bii ) < 0 (i = 1, 2, · · · , n) である．
まず zn について解くと
zn (t) = cn ebn t
で，t → ∞ のとき zn (t) → 0.
t → ∞ のときすべての i に対して zi (t) → 0 となることは帰納的に示せばよい．すなわち，もし
t → ∞ のとき v(t) → 0 ならば
d
u(t) = b1 u(t) + v(t),
dt
u(0) = a1
によって定まる u(t) が t → ∞ のときゼロに近づくことを示す．ここで
t
u(t) = a1 eb1 t + eb1 t
0
e−b1 s v(s)ds
(b1 ) < 0. 解は
endow-05
31
と表わされるから u(t) が t → ∞ のときゼロに近づくことは明らかであろう．
この方法を zn から始めて順次 zn−1 , zn−2 , · · · , z1 について示すことができる．
この定理をつかってつぎの結果を得ることができる．
定理 3.6 定常線形システム (1.62) が指数的安定であるのはそれが漸近安定のとき，かつそのとき
に限る．
証明：（省略）
3.2.2
フルビッツの判定法
安定性の基本定理によると、システムの安定性を調べるには係数行列の固有値の実数部の符号を
判定すればよい。そこで、定常線形システム (1.62) において、A の特性方程式
P (λ) = an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0,
に対して行列






H=




0
an > 0
(3.9)

an−1
an−3
an−5
an−7
...
an
an−2
an−4
an−6
...
0
0
..
.
an−1
an
..
.
an−3
an−2
..
.
an−5
an−4
..
.
...
...
..
.

0 

0 


0 
.. 

. 
0
...
...
a4
a2
a0
(3.10)
を定義し、k × k の主座行列式 Hk (k = 1, . . . , n) を
H1 = an−1 ,
H2 =
an−1
an−3
an
an−2
,
H3 =
an−1
an−3
an−5
an
0
an−2
an−1
an−4
an−3
,
···
(3.11)
とする。
フルビッツは符号がすべて正であることを判定する次の方法を提案した。
定理 3.7 (フルビッツの判定法) すべての係数が an > 0, an−1 > 0, . . . , a1 > 0, a0 > 0 で、かつ、
すべての行列式が H1 , H2 > 0, . . . , Hn−1 > 0, Hn > 0 ならば、システムは漸近安定である。
証明：（省略）
例題 P (λ) = λ5 + λ4 + 6λ3 + 3λ2 + 4λ1 + 1 の場合。
a6 = 1 > 0, a4 = 1 > 0, a3

1 3 1 0

 1 6 4 0

H=
 0 1 3 1

 0 1 6 4
0
0 1
= 6 > 0, a2 = 3, a1 = 4 > 0, a0 = 1 > 0 である。また、

0

0 

0 


0 
3 1
32
endow-05
であるから、
H1 = 1,
H2 =
1 3
1 6
= 1 · 6 − 1 · 3 = 3,
H4 = 9,
H3 =
1
1
3
6
1
4
0
1
3
= 18 + 1 − 9 − 4 = 6,
H5 = 9
となり、フルビッツの判定法より、このシステムは漸近安定である。
3.3
リャプノフ関数と安定性
3.3.1
リャプノフの行列方程式
リャプノフの行列方程式
AT X + XA = −C T C
(3.12)
はシステム理論において重要な役割を果たしている。これは定係数の線形システム
dx
= Ax,
dt
x(0) = 0
(3.13)
の解の安定性に関係している。実際、スカラ関数
V (x(t)) = xT (t)Xx(t)
(3.14)
を t について微分すると、(3.13) の解軌道にそって
d
V (x(t))
dt
˙
= x˙ T (t)Xx(t) + xT (t)X x(t)
= xT (t)(AT X + XA)x(t)
= −xT (t)C T Cx(t)
(3.15)
となる。したがって、もし X が正定値で、かつ C T C も正定値ならば、ある正数 r が存在して
d
V (x(t)) = −xT (t)C T Cx(t) ≤ rxT (t)Xx = −rV (x)
dt
(3.16)
となるので、
V (x(t)) ≤ e−rt V (0)
(3.17)
となり、t → ∞ のとき xT (t) → 0 となることがわかる。そこで、一般につぎのことが成り立つ。
定理 3.8 システム (A, C) は可制御とする。そのとき、このシステムが安定になるための必要十分
条件はリャプノフの方程式 (3.12) の解 X が正定値となることである。
証明：（十分性）システムが安定であれば、積分
∞
X=
0
T
eA t C T CeAt dt
(3.18)
endow-05
33
が存在し、方程式 (3.12) をみたす一意的な解である。これが正定値であることは容易にわかる。
（必要性）逆に、方程式 (3.12) の解 X が正定値であったとする。このとき、方程式 (3.12) により、
一般に
AT (AT )k XAk ) + ((AT )k XAk A = −(AT )k C T CAk ,
k = 0, 1, 2, . . .
(3.19)
が成立するので、これらを加え合わせると
AT X + XA = −D
(3.20)
が得られる。ここに、
n−1
n−1
(AT )k XAk ,
X=
(AT )k C T CAk
D=
k=0
k=0
である。システムは可制御であるから、D は正定値で、かつ X も正定値であるので、すべての解
x(t) は t → ∞ のときゼロ解に収束する。
3.3.2
リャプノフ関数
非線形システムの安定性を評価するときリャプノフ関数は重要である．はじめに正定値関数の定
義をしておこう．V (x) が Rn の原点を含むある領域で定義されたスカラー値関数とする．つぎの
３条件を満たすとき V は正定値 (positive deﬁnite) という：
(1) V はその一次偏導関数とともに原点を含むあう開領域 Ω で連続である．
(2) V (0) = 0
(3) V (x) > 0, x = 0
よく知られている正定値関数としては二次形式がある．正方行列 M に対して V (x) := xT M x が
任意の x ∈ Rn に対して V (x) ≥ 0 で，x = 0 に対して V (x) > 0 のとき，二次形式 V あるいは行
列 M は正定値という．関数 V が正定値であるとき，任意の正数 k > 0 に対して
V (x) = k
は等高線と呼ばれている．つぎにリャプノフ関数を定義しよう．自律系
d
x = f [x]
(3.21)
dt
の解軌道 x に対して
d
V (x) ≤ 0
dt
となるならば，正定値関数 V はリャプノフ関数 (Lyapunov function) という．線形システムの場
合は前小節で見たように、リャプノフの方程式 (3.12) の解 X が正定値であるとき、(3.14) で定義
される V (X) はリャプノフ関数である。
関数 V が微分可能であることは一次偏導関数をもつことからわかる．すなわち，
d
V (x)
dt
=
=
∂
V (x)
∂x
V · f.
T
d
x
dt
34
3.3.3
endow-05
安定性の定理
定理 3.9 自律系 (3.21) において
(1) 原点のある近傍 Ω においてリャプノフ関数 V (x) が存在すれば，原点は安定である．
(2) さらに Ω において −V˙ も正定値であるならば，漸近安定である．
証明 (1) 任意の ε > 0 と球面 H(ε) := {x; x = ε} に対して等高線 C := {x; V (x) = k} が丁度
球面 H(ε) の内側にくるような k と，H(δ) が丁度 C の内側に入ってしまうような δ > 0 が存在す
る．ここで初期状態 x0 が球状領域 S(δ) := {x; x < δ} の中にある軌道 g + := {x(t); t ≥ 0} を考
える．点 x0 では V (x0 ) < k である．仮定より V は g + に沿って非増加であるから決して C には
到達しない．したがって H(ε) にも到達しない．このように S(δ) から出発する任意の軌道は S(ε)
内にとどもる．よって原点は安定である．
(2) ある価 l > 0 に対して V (x) ≥ l と仮定する．そうすると −V˙ (x) はある球 H(ε１ ) の外側でゼ
ロに近づく．しかし，このことは，−V˙ が正定値であるので環状領域 S(ε) \ S(ε1 ) で正の最小値 m
をもつことと矛盾する．よって，関数 V (x) は q + に沿ってゼロに近づく．そしてこのことは q + が
原点に近づくときのみ起こる．これは漸近安定であることを示している．
endow-05
35
練習問題
問１）撹拌タンクの例は指数的安定であることを示しなさい．
問２）倒立振子の例の安定性を調べなさい。
問３）フルビッツの判定方法により、固有方程式 P (λ) = λ3 + λ2 + 2λ1 + 1 = 0 をもつシステム
の安定性を調べなさい。
第 4 章最適レギュレータ
4.1
最適制御問題の例
単純な生産計画を例に考えよう。材料を機械加工して製品に仕上げ、製品は倉庫に一旦保管され
るものとする。時刻 t における生産率を u(t) とし、倉庫の在庫量は x(t) とする。いま、この製品
の需要率は既知で z(t) とする。時刻 t0 = 0 での在庫量を x0 とすると、これらの諸量の関係は
x(t)
˙
= u(t) − z(t),
x(0) = x0 ,
t ≥ 0,
(4.1)
と表される。ここで、x(t) は正負の値をとり、x > 0 のとき、過剰在庫で、x < 0 のとき、品切れ
を意味する。在庫 x と生産率 u のときの単位時間当りのコストを h(x, u) とする。関数 h の代表的
な例として
h(x, u) = c+ x+ + c− x− + pu
(4.2)
がある。ここに、x+ = max{x, 0}, x− = max{−x, 0} で、c+ , c− > 0 はそれぞれ過剰在庫と品切
れに対するマージナル・コストとマージナル・ペナルティを、また、p は単位当りの生産コストを
表している。
工場長は全期間 [0, T ] における割引きコストを最小とする生産計画 u(·) := {u(t), 0 ≤ t ≤ T } を
選択したい。すなわち、
T
J（u（ · ））=
e−γt h(x(t), u(t))dt
(4.3)
0
を最小とする u(·) を選択する。ここに、γ > 0 は割引率である。機械の生産容量、すなわち最大生
産量を k とすると、生産計画は
0 ≤ u(t) ≤ k,
t ∈ [0, T ],
(4.4)
を満たさなければならない。一方、倉庫の容量が b > 0 であるとすると在庫量 x(t) は
x(t) ≤ b,
t ∈ [0, T ],
(4.5)
という制約を満たさなければならない。状態方程式 (4.1) を通して制約条件 (4.4)-(4.5) を満足する
生産計画を実現可能計画という。したがって、問題は実現可能計画の中からコスト (4.3) を最小と
するものを見つけることである。
37
38
endow-05
4.2
最適フィードバック則
はじめに次の問題を考えよう．
問題：
J = J[u(·)] ⇒ min
(4.6)
subject to
d
x(t) = Ax(t) + Bu(t).
dt
ここに，J はシステムの動作指標で
J[u(·)] := xT (t1 )X1 x(t1 ) +
(4.7)
t1
[xT (t)Q(t)x(t) + uT (t)R(t)u(t)]dt
(4.8)
t0
であり，X1 , Q(t), R(t) は非負定値行列で，R(t) はすべての t で正則である．
この問題を最適レギュレータ問題といい，J を最小とする u(·) := {u(t), t0 ≤ t ≤ t1 } を最適制
御入力と言う．
˙
さて、ある n × n 行列 S(t) は対称で区間 [t0 , t1 ] において S(t)
が存在するものとする。このと
き、次の恒等式が成り立つことに注意しよう。
xT (t)S(t)x(t)
t1
t1
=
t0
t0
t1
=
d T
[x (t)S(t)x(t)]dt
dt
˙
˙
[xT (t)S(t)x(t)
+ x˙ T (t)S(t)x(t) + xT (t)S(t)x(t)]dt
(4.9)
t0
状態変数 X(t) が (4.7) にしたがっているとき、(4.9) はつぎのように表せる。
xT (t)S(t)x(t)
t1
t0
t1
−
˙ + AT (t)S(t) + S(t)A(t)]x(t)]
xT (t)[S(t)
t0
+ uT (t)B T (t)S(t)x(t) + xT S(t)B(t)xT (t) dt = 0
(4.10)
この結果を利用することにより、最適化の問題は容易に解決できる。
定理 4.1 n × n 行列 S(t) に関する Riccati の微分方程式
˙
S(t)
= −AT (t)S(t) − S(t)A(t) + S(t)B(t)R−1 (t)B T (t)S(t) − Q(t)
S(t1 ) = X1
(4.11)
の解が区間 [t0 , t1 ] で存在するものとする．このとき，与えられた x(t0 ) = x0 に対して動作指標を
最小にする最適制御入力は
u∗ (t)
=
=
−R−1 (t)B T (t)S(t)x(t)
−R
−1
T
(t)B (t)S(t)Φ(t, t0 )x0
(4.12)
(4.13)
である．ここに Φ はシステム
˙
x(t)
= A(t) − B(t)R−1 (t)B T (t)S(t) x(t)
(4.14)
の状態推移行列である．このときの動作指標の最小値は
J ∗ := J[u∗ (·)] = xT (t0 )S(t0 )x(t0 ).
(4.15)
endow-05
39
証明）まず，
xT (t)S(t)x(t)
t1
t0
t1
=
t0
t1
=
d T
[x (t)S(t)x(t)]dt
dt
˙
˙
[xT (t)S(t)x(t)
+ x˙ T (t)S(t)x(t) + xT (t)S(t)x(t)]dt
t0
であるから，x(t) を (4.7) の解とすると
xT (t)S(t)x(t)
t1
t0
−
t1
˙ + AT (t)S(t) + S(t)A(t) x(t)
xT (t) S(t)
t0
−uT (t)B T (t)S(t)x(t) + xT (t)S(t)B(t)u(t) dt = 0
(4.16)
となる．そこで (4.8) から (4.16) を引き，S(t) が (4.11) の解であることより
J
= xT (t1 )X1 x(t1 ) − xT (t)S(t)x(t)
t1
+
t1
t0
˙ + AT (t)S(t) + S(t)A(t) x(t)
xT (t) Q(t) + S(t)
t0
+uT (t)B T (t)S(t)x(t) + xT (t)S(t)B(t)u(t) + uT (t)R(t)u(t) dt
= xT (t0 )S(t0 )x(t0 )
t1
+
u(t) + R−1 (t)B T (t)S(t)x(t)
T
R(t) u(t) + R−1 (t)B T (t)S(t)x(t) dt
t0
となる．R(t) は正定値であるから，J は (4.12) が成り立つとき最小になり，その値は (4.15) であ
る．次に (4.12) を (4.7) に代入すると (4.14) が得られる．この方程式の解は x(t) = Φ(t, t0 )x(t0 ) =
Φ(t, t0 )x0 で与えられ，これを (4.12) に代入すると (4.13) が得られる．
式 (4.12) は，時刻 t における最適制御入力がその時点における状態ベクトルの値に直接線形結合
されていることを示している．すなわち，最適制御が状態変数のフィードバックによって実現して
いることを示しており，このため (4.12) は最適フィードバック則と呼ばれている．
4.2.1
Riccati の行列微分方程式
すで見たように最適制御入力を得るためには Riccati の行列微分方程式の解が必要である．この
方程式は Lipschitz の条件を満たしているので解が局所的に存在することがわかる．しかし２次の
項を含むので任意の時間区間にわたって解が存在するか否かは不明である．実はこの場合は次に見
るように解が一意的に存在することが知られている．
定理 4.2 Riccati の行列微分方程式 (4.11) の解が区間 [t0 , t1 ] において一意的に存在する．
証明は省略する．
40
endow-05
4.2.2
定常システムに対する最適レギュレーター
システムが定常である場合について考えよう．
問題：
J = J[u(·)] ⇒ min
(4.17)
subject to

d
x(t) = Ax(t) + Bu(t) 
dt

y(t) = Cx(t)
(4.18)
ここに，J はシステムの動作指標で
∞
J[u(·)] =
[yT (t)Qy(t) + uT (t)Ru(t)]dt
(4.19)
0
であり，Q, R はそれぞれ m × m, r × r の正定値行列である．
この問題に対してつぎの定理が成り立つことが知られている．
定理 4.3 システム (4.18) は可制御かつ可観測とする．このとき最適制御入力は一意的に存在し，
その最適フィードバック則は
u∗ (t) = −R−1 B T Sx(t)
(4.20)
である．ここに S(t) は Riccati の行列方程式
AT S(t) + S(t)A − S(t)B(t)R−1 B T S(t) = −C T QC
(4.21)
を満たす正定値行列である．
証明は省略する．
4.3
最大値原理
一般に非線形の状態方程式
x(t)
˙
= b(t, x(t), u(t)),
x(0) = x0 ,
(4.22)
で表される制御システムとコスト汎関数
T
J[u(·)] =
f (t, x(t), u(t))dt + h(x(T ))
(4.23)
0
について考える．可測関数 u(t) ∈ U[0, T ] := {u(·) : [0, T → U, u(·) : 可測 } に対して (4.22) は一
意的な解をもつと仮定する．
最適制御問題：コスト汎関数 (4.23) を U[0, T ] 上で最小化する．すなわち，
J[¯
u(·)] =
inf
u(·)∈U [0,T ]
J[u(·)]
(4.24)
endow-05
41
をみたす u
¯(·) ∈ U[0, T ] のことを最適制御という．また，x¯(·) := x(·, u¯(·)) を最適軌道といい，
(¯
x(·), u¯(·)) を最適ペアという．つぎに述べる Pontryagin の最大値原理は，この問題について最適
ペアに関する必要条件を与える．
定理 4.4 (Pontryagin の最大値原理) 最適制御問題の最適ペアを (¯
x(·), u¯(·)) とする．このとき，
以下をみたす関数 p(·) : [0, T ] → Rn が存在する．
¯(t), u
¯(t))T p(t) + fx (t, x
¯(t), u
¯(t)),
p(t)
˙ = −bx (t, x
t ∈ [0, T ]
p(T ) = −hx (¯
x(T ))
(4.25)
かつ
H(t, x
¯(t), u¯(t), p(t)) = max H(t, x
¯(t), u, p(t)),
u∈U
t ∈ [0, T ].
(4.26)
ここに，
H(t, x, u, p) := p, b(t, x, u) − f (t, x, u).
(4.27)
関数 p(·) をペア (¯
x(·), u¯(·)) に対する随伴変数，(4.25) を随伴方程式という．また，(4.26) を最大値
条件といい，(4.27) により定義される関数 H は Hamiltonian とよばれている．状態方程式 (4.22)，
随伴方程式 (4.25)，および最大条件 (4.26) を合わせて表記するとつぎのようになる;
Hamiltonian system


x(t)
˙
= Hp (t, x(t), u(t), p(t)), t ∈ [0, T ],



 p(t)
˙ = −Hx (t, x(t), u(t), p(t)), t ∈ [0, T ],

x(0) = x0 , p(T ) = −hx (x(T )),



 H(t, x(t), u(t), p(t)) = max
H(t, x(t), u, p(t)),
u∈U
(4.28)
t ∈ [0, T ].
最適ペアを (x(t), u(t)) とし，これに対する随伴変数を p(t) とするとき，(x(t), u(t), p(t)) を最適ト
リプルという．最適制御問題は Hamilton system によって完全に記述することができる．最後に，
最適性の十分条件についてのべておく．
x(t), u¯(t)) を実行可能ペアとし，p(t) を対応する随伴変数とする．
定理 4.5 (最適性の十分条件) (¯
関数 h(·) は凸で，H(t, ·, ·, p(t)) は凹とする．このとき，(¯
x(t), u¯(t)) が最適ペアであるための必要
十分条件は
H(t, x
¯(t), u¯(t), p(t)) = max H(t, x
¯(t), u, p(t)),
u∈U
が成り立つことである．
t ∈ [0, T ].
(4.29)
第 5 章待ち行列システム
5.1
バスや電車の待ち時間
5.1.1
等間隔運行の場合
電車の発車間隔が一定である場合を考えよう。そして君は電車の運行ダイヤとは無関係にホーム
に到着するものとする。
Q1) ５分間隔で運行している場合、電車が来るまで君は平均して何分待つか。
A1) 君がホームに着く時刻は電車の発車とは無関係に決まるので、君の到着時刻は前の電車の発
車時刻と次の電車の発車時刻との間で一様分布していると考えられる。すなわち、君がホームに到
着する時刻は区間 [0, 5) 上の一様分布に従う確率変数 X である。したがって、君の平均待ち時間
W は確率変数 X の期待値であるから
W = E[X] =
1
5
5
xdx =
0
5
= 2.5,
2
すなわち、2.5 分である。
このように電車が一定の等間隔で運行している場合に電車の運行と無関係に到着するならば、平
均の待ち時間はその運行間隔の半分である。
5.1.2
サイクル運行の場合
急行と各停電車が交互に発車し、急行が発車してから４分後に各停が発車し、その６分後に急行
が発車するという一定のサイクルで運行をしているものとしよう。
Q2) この場合君は平均何分待つか。
この問題に答える前に、先ず
Q3) 急行と各停とどちらに乗る可能性が高いか。 A3) ６：４で急行の方が高い。
それでは
Q4) 急行に乗るとして君は平均何分待つのだろうか。 A4) ３分。
また、
Q5) 各停に乗るとして平均何分待つか。 A5) ２分。
したがって、
A2) 電車が来るまでの平均の待ち時間は、急行の場合と各停の場合とに分けて考えると
4
26
6
×3+
×2=
= 2.6（分）.
10
10
10
43
44
endow-05
である。それではこの待ち時間が
Q7) 等間隔運行の場合の平均待ち時間の 2.5 分より大きいのはなぜか。
5.1.3
確率的な運行の場合
電車の運行間隔が互いに独立な同一確率分布に従う場合について考えてみよう。
はじめにランダム、すなわち運行間隔の密度関数がパラメータ α (α > 0) の指数分布の場合につ
いて考えよう。このとき運行間隔を表す確率変数を X とすると確率分布関数は
x
P{X ≤ x} = α
e−αt dt = 1 − e−αx (x ≥ 0)
0
である。また、期待値は
∞
E[X] =
α
xe−αx dx
0
=
=
−xe−αx
1
− e−αx
α
∞
∞
+
0
∞
e−αx dx
0
=
0
1
α
であり、さらに E[X 2 ] = 2/α2 であるから、分散は
Var[X] = E[X 2 ] − (E[X])2
2
1
1
=
− 2 = 2
α2
α
α
である。ところで、
P{X > x} = 1 − P{X ≤ x} = 1 − (1 − e−αx ) = e−αx
である。そこで、条件付確率 P{X > x + y|X > y} を求めると
P{X > x + y|X > y} =
P{X > x + y, X > y}
P{X > y}
e−α(x+y)
P{X > x + y}
=
= e−αx
P{X > y}
e−αy
= P{X > x}
=
となる。これは、電車が行ってしまってから y 分経過したという条件のもとでさらに x 分以上待つ
という条件付確率（左辺）が、発車直後から x 分以上待つという確率（右辺）に等しいというこ
とを示している。つまり、この条件付確率は電車が行ってからどれ位経過したかという条件には無
関係で、これからどれ位待つかということだけで決まる。これは指数分布のもつ特徴で、「無記憶
性」と呼ばれている。
そこで、
Q8) 電車の発車間隔が互いに独立で平均５分 (α = 1/5) の指数分布に従う場合、君が電車の発車
と無関係にホームに着くとすると、君の平均待ち時間はいくらか。
endow-05
45
A8) 指数分布の無記憶性から、君がホームに着く前に発車した電車がどれ位前に出たかには無関
係で、発車直後に君がホームに到着した時の待ち時間と同じ分布に従う。したがって、平均待ち時
間は
W = E[X] = 1/α = 5 (分)
である。
次に、電車の発車間隔が一般の確率密度関数 f (x) (x > 0) を持つ場合を考えよう。長さ x の区
間が出現する可能性は確率密度関数 f (x) で与えられるので、長さ x の間隔の間に到着する可能性
は x と f (x) との積に比例する。これを表す確率密度関数を g(x) := Kxf (x) とする。基準化の条
件より定数 K は
∞
1=K
xf (x)dx = KE[X],
0
すなわち、K = 1/E[X] となる。したがって、この確率密度関数は
g(x) =
xf (x)
,
E[X]
で、このときの平均待ち時間は x/2 である。よって平均待ち時間 W は
∞
W =
0
1
x
g(x)dx =
2
2E[X]
∞
x2 f (x)dx =
0
E[X 2 ]
2E[X]
(5.1)
となる。すなわち、平均待ち時間 W は X の２次モーメント (X 2 の期待値) を X の平均値 (X の
期待値) の２倍で割ったものである。したがって平均発車間隔が同じならば、発車間隔のバラツキ
が大きい程平均待ち時間は長くなることが分る。それでは改めて
Q9) 発車間隔が一定の場合の平均待ち時間はいくらか。
A9) W = E[X]/2.
また、
Q10) 発車間隔がランダム、すなわち指数分布の場合の平均待ち時間はいくらか。
A10) W = E[X].
5.1.4
ダンゴ運行のときの平均待ち時間
上で見たように、平均発車間隔が同じならば発車間隔が一定のとき平均待ち時間が一番小さくな
ることが分る。そしてランダムの場合はその２倍であるが、これより平均待ち時間が長くなること
はあるのだろうか。実はいろいろな場合があるが、例としてダンゴ状態で運行している場合を考え
よう。平均して (m + 1) 回に１回 ma という長い間隔が出現し、それ以外は a/m という短い区間
が続く場合を考えよう。このとき、発車間隔を表す独立な確率変数 X の分布は
a
}
m
=
P{X = ma}
=
P{X =
m
,
m+1
1
m+1
46
endow-05
である。
Q11) この確率変数 X の期待値を求めなさい。A11) E[X] = a.
また、
Q12) ２次モーメントを求めなさい。 A12) E[X 2 ] = (m3 + 1)a2 /m(m + 1).
よって平均待ち時間は
W =
m3 + 1
a
2(m2 + m)
となる。これは m が大きいときおよそ W ≈ ma/2 であり、発車間隔が一定の場合の m 倍である
ことが分る。このように何かの原因でダンゴ運行になるとダンゴの大きさに比例して平均待ち時間
は大きくなる。
5.2
客の到着とサービス
行列を作って順番を待つ現象を待ち行列 (queue) という。スーパーマーケットのレジや、駅の自
動券売機の前にできる行列、あるいは診療所や理髪店にたまる客などがその例である。待ち行列理
論はあるサービスを受けようと順番を待つ客の行列の長さや待ち時間などの混雑の度合を扱う数学
的方法の一つである。
待ち行列理論の対象となる現象に共通するものとしてサービスを提供する窓口と、そのサービス
を受けようとする多数の客の流れがある。しかし、待つ客というのは人間だけではない。たとえ
ば、システムの保守では故障の発生が客であり、保守要員が窓口である。交通システムでは、自動
車を客とすれば、信号や料金所のゲートが窓口となり、航空機を客とすれば、空港施設が窓口であ
る。待ち行列をシステムとして捉える場合行列と窓口とを合わせたものをシステムと見なし、入力
は客の到着で、出力はサービスを受けた客の退出である。
ところで待ち行列システムを記述するには、客の到着の仕方とサービスの提供の仕方とを規定し
なければならない。客は一定時間間隔で規則正しく到着する場合は稀であり、一般に客の到着はラ
ンダムである。また、サービス時間も一定であることは少なく、ランダムであることが多い。そこ
で平均待ち時間や待たされる確率などを求めるには、到着人数の分布やサービス時間の分布を規定
する必要がある。
5.2.1
ポアソン到着
客が全くランダムに到着する場合を考えよう。いま、微小時間 ∆t の間に１人の客が到着する確
率は λ∆t とする。これは客の到着が時刻に無関係で、時間の長さにのみ依存するという事を意味
している。微小時間 ∆t の間に２人の客が到着する確率はほとんど無視できるものとして t 時間内
にちょうど n(> 0) 人が到着する確率 pn (t) を求めよう。
時間 t + ∆t の間に n 人到着する確率 pn (t + ∆t) は、次のように２つの排反事象の和として表さ
れる。
pn (t + ∆t) =
P{t 時間内に n 人到着し、その後∆t 時間内に１人も到着しない }
+P{t 時間内に (n − 1) 人到着し、その後∆t 時間内に１人到着する
endow-05
47
= pn (t)(1 − λt) + pn−1 (t)λ∆t
この式を変形すると
pn (t + ∆t) − pn (t)
= −λpn (t) + λpn−1 (t)
∆t
(5.2)
となる。両辺において ∆t → 0 とすると、
dpn (t)
= −λpn (t) + λpn−1 (t)
dt
(5.3)
となる。
n = 0 の場合は (n − 1) 人到着することは起こりえないから
p0 (t + ∆t) = p0 (t)(1 − λ∆t)
となり、よって
dp0 (t)
= −λp0 (t)
dt
(5.4)
となる。
ところで、t = 0 では誰も到着していないから p0 (0) = 1, pn (0) = 0 である。これらを考慮して
式 (5.3) と (5.4) とをラプラス変換すると
(s + λ)Pn (s)
=
λPn−1 (s)
(s + λ)P0 (s)
=
1
となる。よって
Pn (s) =
λ
s+λ
n
P0 (s) =
λn
(s + λ)n+1
となり、ラプラス逆変換をすると
pn (t) =
(λt)n −λt
e , (n = 0, 1, · · ·)
n!
(5.5)
となる。こうして次の定理が得られた。
定理 5.1 客がランダムに到着する場合、一定時間 t 内に n 人の客が到着する確率は (5.5) である。
すなわち、一定時間 t 内に到着する客の数 n はパラメータ λ のポアソン分布に従う。
次に、客がランダムに到着する場合に、前の客と後の客との到着時間間隔について考えよう。相
続く客と客との到着時点の間隔が τ 以上 τ + ∆τ 未満である確率は、τ までに１人も到着しない確
率と、(τ, τ + ∆τ ) の間に１人到着する確率の積とで表される。それそれの確率は
P{τ までに１人も到着しない } =
P{∆τ の間に少なくとも１人到着する } =
p0 (τ ) = e−λτ
1 − e−λ∆τ = λ∆τ + o(∆τ )
でから、
P{ 相続く客と客との到着時間間隔が (τ, τ + ∆τ ) 間にある } = λe−λτ ∆τ + o(∆τ )
48
endow-05
となる。したがって、その密度関数は
f (τ ) = λe−λτ
(5.6)
となる。
定理 5.2 客がランダムに到着する場合、客の到着時間間隔はパラメータ λ の指数分布に従う。
この場合、客の到着時間間隔の平均値は
∞
E[τ ] =
τ λe−λτ dτ =
0
1
λ
(5.7)
となる。よって、λ は単位時間当たりの平均到着数を表し、平均到着率という。
5.2.2
サービス時間の分布
各客がサービスを受ける時間は独立な確率変数であるとする。すなわち、客のサービス時間は他
の客のそれとは無関係であるとする。
(1) 指数分布サービス
１人の客がサービスを受ける時間がパラメータ µ の指数分布に従うとき、指数分布サービスとい
う。このとき、平均サービス時間は
∞
E[τ ] =
τ µe−µτ dτ =
0
1
µ
(5.8)
である。よって、µ は単位時間にサービスを受ける平均客数であり、サービス率という。この場合、
ある一定の時間 t の間にサービスを終えて出て行く客の数 n はパラメータ µ のポアソン分布に従
う。すなわち、t 時間内に n 人の客がサービスを終えて出て行く確率は
pn (t) =
(µt)n −µt
e
n!
(5.9)
である。
(2) アーラン分布サービス
指数分布では τ = 0 で最大値をとるので、サービス時間としては実情に合わないことがある。この
ような場合、アーラン分布が用いられることが多い。すなわち、k を自然数とするとき、サービス
時間の分布として
f (t) =
(kµ)k tk−1 −kµt
e
(k = 1, · · ·)
(k − 1)!
(5.10)
を用いる。これをフェーズ k のアーラン分布という。指数分布は k = 1 の特別の場合である。平均
と分散は
E[τ ] =
である。
1
,
µ
Var[τ ] =
1
kµ2
(5.11)
endow-05
5.3
49
窓口が１個の待ち行列
待ち行列の問題は、客の到着の仕方、サービスの提供方法などによって多様な型がある。ケン
ドールは待ち行列の標準的モデルを
A/B/s
(5.12)
のように表すことを提唱した。ここで、A は客の到着分布、B はサービス時間の分布、s は窓口の
数を表している。指数分布は M で、アーラン分布は E で、一般の分布は G で表す約束になって
いる。また待ち行列の長さに制限がある場合、待ち行列の最大客数が N であれば、
A/B/s(N )
(5.13)
のように表す。以下では最も単純な M/M/1 モデルについて考えることにする。
(1) 状態方程式
まず、
λ∆t
= ∆t 内に客１人が到着する確率
µ∆t
= ∆t 内に客１人がサービスを終える確率
とすると、時刻 t + ∆t で系内の客数が n 人である確率 Pn (t + ∆t) は、次のように４つの排反事象
の和として表される。
Pn (t + ∆t) =
P{ 時刻 t で n 人列にいて、∆t 間に１人も到着せず、
∆t 間に１人もサービスを終えない }
+P{ 時刻 t で (n − 1) 人列にいて、∆t 間に１人の客が到着し、
∆t 間に１人もサービスを終えない }
+P{ 時刻 t で (n + 1) 人列にいて、∆t 間に１人も到着せず、
∆t 間に１人がサービスを終えて出て行く }
+P{ 時刻 t で n 人列にいて、∆t 間に１人の客が到着し、
∆t 間に１人がサービスを終えて出て行く }
=
Pn (t)(1 − λ∆t)(1 − µ∆t) + Pn−1 (t)λ∆t(1 − µ∆t)
+Pn+1 (t)(1 − λ∆t)µ∆t + Pn (t)λ∆tµ∆t
=
Pn (t)(1 − λ∆t − µ∆t) + Pn−1 (t)λ∆t
+Pn+1 (t)µ∆t + o(∆t)
したがって
Pn (t + ∆t) − Pn (t)
o(∆t)
= λPn−1 (t) + µPn+1 − (λ + µ)Pn (t) +
∆t
∆t
となる。ここで両辺において ∆t → 0 とすると
dPn (t)
= λPn−1 (t) + µPn+1 (t) − (λ + µ)Pn (t)
dt
(5.14)
50
endow-05
が得られる。
特に n = 0 の場合には
P0 (t + ∆t)
= P{ 時刻 t で n = 0 であり、∆t 間に１人も到着しない
+P{ 時刻 t で n = 1 であり、∆t 間に１人の客も到着せず、
∆t 間に１人がサービスを終えて出て行く }
= P0 (t)(1 − λ∆t) + P1 (t)(1 − λ∆t)µ∆t
であるから、同様にして
dP0 (t)
= −λP0 (t) + µP1 (t)
dt
(5.15)
が得られる。(5.15) と (5.14) とを状態方程式という。
5.3.1
定常状態
確率 Pn (t) が t に無関係のとき、待ち行列システムは定常状態であるという。システムが定常状
態ならば、dPn (t)/dt = 0 であるから、(5.15) と (5.14) とは
λPn−1 + µPn+1
=
(λ + µ)Pn
(5.16)
λP0
=
µP1
(5.17)
これらの式を P0 について解くと
Pn =
n
λ
µ
P0 = ρn P0
(5.18)
となる。ここで
ρ=
λ
µ
(平均到着率）
(到着率）
=
(平均サービス時間)
(サービス率)
= (利用率)
=
(5.19)
である。ところで、ρ ≥ 1 の場合は (5.18) により n を大きくすると P0 = 0 のとき以外は Pn はい
くらでも大きくなって、やがて 1 を越えてしまう。したがって定常状態となるためには ρ < 1 でな
ければならない。これを平衡条件という。
次に確率の性質
∞
∞
n=0
Pn = 1 と (5.18) とにより
∞
Pn =
n=0
ρPo =
n=0
P0
=1
1−ρ
てなり、よって
P0 = 1 − ρ
を得る。これより
1 − P0 = ρ
(5.20)
endow-05
51
となるが、確率 P0 は客数がゼロである確率であるから、その余事象は窓口がふさがっている確率
で、任意の時刻に到着した客が待たされる確率を表している。
さらに、(5.20) と (5.18) により
= (1 − ρ)ρn
n
λ
λ
=
1−
µ
µ
Pn
(n = 0, 1, 2, · · ·)
(5.21)
を得る。
5.3.2
システムの平均値
(1) システム内の客数の平均値期待値の定義により
∞
L = E[n] =
∞
nρn
nPn = P0
n=0
n=0
である。ここで、
∞
nρn−1 =
n=0
∞
d
dρ
ρn
n=0
という関係を用いて
L =
=
P0 ρ
d
dρ
∞
ρn
= P0 ρ
n=0
d
dρ
1
1−ρ
λ
ρ
ρ
=
P0 =
2
(1 − ρ)
1−ρ
µ−λ
(5.22)
となる。
(2) 待ち行列の長さの平均値サービス中の客を含めないシステム内の客数の平均値、すなわち待
ち行列の長さの平均値は
∞
Lq
=
∞
(n − 1)Pn =
n=1
∞
nPn −
n=1
= L − (1 − P0 ) = L − ρ
λ2
ρ2
=
=
1−ρ
µ(µ − λ)
Pn
n=1
(5.23)
したがって
Lq = L − ρ = L −
λ
µ
(5.24)
のようにも表される。
(3) システム内にいる時間の平均値到着してからサービスを受けて出てゆくまでの時間、すなわ
ちシステム内にいる時間の平均値を求めよう。客の平均到着時間間隔は 1/λ である。定常状態で
はこのシステムから出て行く客の平均時間間隔はやはり 1/λ である。また、システム内にいる平
52
endow-05
均客数は L である。よってシステム内にいる時間の平均値は行列の最後尾に着いた客がサービス
を終えて出て行くまでの時間であるから L/λ である。すなわち、
W =
1 λ
1
1
L=
=
λ
λµ−λ
µ−λ
(5.25)
となる。
(4) 待ち時間の平均値客１人に対するサービス時間の平均値は 1/µ であるから、平均待ち時間は
Wq = W −
1
1
λ
1
=
− =
µ
µ−λ µ
µ(µ − λ)
(5.26)
となる。
(5) 平均の法則これら４つの量 L, Lq , W, Wq の間には
L =
W
=
Lq + ρ
1
Wq +
µ
すなわち
Lq
=
L =
λWq
(5.27)
λW
(5.28)
の関係がある。
例１) 数値例到着率 λ = 2/3(人／分)、サービス率 µ = 5/6(人／分) の待ち行列システム M/M/1
を考えよう。このとき利用率は ρ = 4/5 であるから
(1) システム内の客数の平均値 L = 4
(2) 待ち行列の長さの平均値 Lq = 16/5
(3) システム内にいる時間の平均値 W = 6
(4) 待ち時間の平均値 Wq = 24/5
となる。
endow-05
53
練習問題
問１) 特急、急行、各停の順に電車が発車し、特急の後３分して急行が発車し、急行の後５分して
各停が発車し、その後７分して特急が発車するという一定のサイクルで運行している場合を
考える。このとき君が運行ダイヤと無関係にホームに到着するものとし、一番早く来た電車
に乗るものとする。
１) 君は特急、急行、各停をどの程度の割合で待つのだろうか。
２) 君はホームで電車を平均して何分待つか。
問２ダンゴ運行で、a = 5, m = 4 の場合の平均待ち時間を求めなさい。
問３）待ち行列システム M/M/1 の定常状態における状態推移図を描きなさい。
問４）例１) においてサービス率を２倍としたときの L, Lq , W, Wq を求めなさい。
第 6 章金融システム
本章では、金融システムにおけるデリバティブと呼ばれるものについて簡単に述べる。金融システ
ムの最大の役割は、経済全体で資金を無駄なく利用することを可能にすることだ。経済の中には、
余裕資金を持っているがそれをうまく利用することができない経済主体（家計部門）と、資金は
持っていないがもし持っていれば有効に利用して価値を生むことができる経済主体（企業部門）が
存在し、両者の間の資金を移転し、経済全体としての資金を効率的に利用できるようにするのが金
融システムの役割の 1 つで、これが、金融システムの「資金仲介」機能というものだ。
もう１つの重要な機能として、「流動化」がある。これは、資金仲介にともなってすでに発行さ
れている証券を売買して、満期以前に換金できるようにすることだ。流動化が可能な場合には、必
要になった時点で証券を売却することによって資金を得ることができ、いつ資金が必要になるのか
が分からないといった「流動性リスク」が軽減されて、資金仲介も促進されるのだ。
こうした金融システムの「資金仲介」や「流動化」は金融市場を通して実現する。
さらに、金融システムでは「お金の時間価値」は大きな要因の１つである。例えば、今もってい
る 1 万円は 1 年後の 1 万円より価値があるということだ。つまり、お金は箪笥にしまっておくと
時間とともに目減りすることになるのだ。そこで、お金を運用する、つまり何かに投資することに
よって、目減りを解消するだけでなく増やすこともできるのだ。例えば、銀行に預金すれば利子が
付き、株式を買うと値上がりするのだ。この両者には根本的な違いがある。それは預金の場合は、
ペイオフは別にして、元金は保障されるが、株式は大きく値上がりもするが、購入時の価格を大き
く割る可能性もある。つまり、預金は「ローリスク・ローリターン」商品であるのに対して、株式
は銘柄にもよるけれど、一般的に「ハイリスク・ハイリターン」商品であるのだ。金融工学では、
金融商品の取引によってリスクをコントロールすることが主たる目的の１つとなっているのだ。
6.1
ファイナンスの用語
金融商品は大別すると 2 つのタイプがある。1 つは株式、債券、物資、外貨などの原資で、もう
1 つは原資を基礎とし、その将来の振舞いに付随する決済や譲渡を約束する請求権であるところの
デリバティブ（派生証券）とよばれるものである。株価、物価、外貨交換率などは時間とともに変
動していて、将来の価値は誰にも正確に予測できるものではない。こうした状況の下で、デリバ
ティブはその保有者に対して、将来の取引価格を現時点で固定させることで、リスクを軽減するこ
とができる。あるいは場合によっては増大することにもなるのだ。
定義 6.1 （フォワード契約）ある資産を将来の定められた時点 T に決められた価格 K で買う
（または、売る）という取決めのことをフォワード契約という。このとき、買い手はロング・ポジ
ションを保持するといい、売り手はショート・ポジションを保持するという。
55
56
endow-05
フォワードは一般に交換によって取引することはないので、フォワード契約の開始にはコストがか
からない。フォワードの「価格決定問題」は契約に書くべき価格 K をいくらに決めるかというこ
とだ。
フォワードはデリバティブ証券の最も簡単な例を与えてくれ、この価格決定に使われる数学も簡
単なものだ。さらに複雑なものに、オプションの価格決定問題がある。オプションはその保有者に
何かをする権利を与えるものであるが、義務を強要するものではない。オプションにはいろいろな
種類があるが、1997 年のノーベル経済学賞で一躍有名になった Black-Scholes の公式はヨーロピ
アン・コール・オプションの価格を決定する公式のことだ。
定義 6.2 （ヨーロピアン・コール・オプション）将来の定められた時点 T において決められた
価格 K で、ある資産を買う権利を与え、義務を負わせない契約のことをヨーロピアン・コール・
オプションという。
一般に、コールは買いを意味し、プットは売りを意味する。ヨーロピアンという用語は契約の満
了時点 T において保有者にもたらされる価値が、時点 T における市場の状態だけに依存するオプ
ションに対して使われる。オプションにもいろいろあり、例えばアメリカン・オプションやアジア
ン・オプションは、そのペイオフが期間 [0, T ] 全体にわたる原資の挙動を条件として決まるもので
ある。
定義 6.3 デリバティブが行使される時点 T のことを行使期日、あるいは満期という。また、価格
K のことを行使価格という。
（価格決定問題）
それでは、ヨーロピアン・コール・オプションの価格決定問題とはいったいどんなものか？ある
会社が日常的に石油のような本質的にリスクをともなう資産をあつかっているものとする。この会
社は 3ヶ月以内に 1000 バレルの原油が必要な状況にある。原油の価格は大きく変動するが、たと
えば行使価格 K のヨーロピアン・コール・オプションを買うことにより、会社は（3ヶ月の間に）
1000 バレルを買うために必要とする金額の最高額を K と知ることができるのだ。（その理由は？）
つまり、このオプションは高騰する原油価格に対する保険とみなすことができるわけだ。そこでこ
の価格決定問題は、与えられた T と K に対してこの会社はそのような保険にいくら支払うつもり
があるか、を決めることにある。
この例にはさらに、石油を貯蔵するための費用という付加的な複雑さがある。問題をより簡単に
するために、付加的な費用を必要としない株式のような資産をもとにしたデリバティブの価格決定
について考える。また、株式を所有することによる付加的な利潤も生じないとする。つまり、配当
も支払われないとするのだ。
仮定：とくに断りのないかぎり、原資は付加的なコストや利潤なしに所有できる。
この仮定は、本質的なものではなくて、問題を簡単化するために設定してあり、必要なら緩和する
ことができる。
そこで、この会社が 3ヶ月後に 1 単位の株を価格 K で買う権利を与えられ、義務は負わない契
約に対していくら支払うべきか？
（ペイオフ）
はじめに、この契約は行使期日にいくらの価値があるかを知らなければならない。オプションが満
endow-05
57
了する時点（３ヶ月後）において、その株式の実価格が ST で、しかも ST > K ならば、オプショ
ンは行使される。このとき、オプションはイン・ザ・マネーといい、価値が ST の資産をわずか K
で買うことができる。よって、会社にとってこのオプションの価値は (ST − K) となる。一方、も
し、ST < K ならば、この株式は市場で安く買えるのでオプションは行使されないであろう（オプ
ションとフォワードの違いはこの行使しないという自由にある）。このとき、オプションには価値
がなく、アウトオブ・ザ・マネーという（ST = K のときはアット・ザ・マネーという）。こうし
て、時点 T におけるオプションのペイオフは
def
(ST − K)+ = max{(ST − K), 0}
となる。3 種類のデリバティブの満期におけるペイオフを図 6.1 に示す。
図 6.1: ペイオフの例
（パッケージ）
上ではヨーロピアン・コール・オプションをリスク軽減の一方法として提示した。もちろん、投機
家はオプションを株価の上昇をもくろむ投機対象として利用するものだ。実際、上に述べた「バニ
ラ・オプション」の組み合せ、すなわち、パッケージを保有することによって、さらに複雑な投資
ができる。ここでは一例を示すだけに止めることにする。
例 6.1 ストラッドル投機家は株価に大きな動きを期待しているが、それがどの方向に動くのかは
わからないものと仮定する。このとき、一つの可能性のある組み合せがストラッドルである。す
なわち、同一の行使価格と満期とをもつヨーロピアン・コール・オプションとヨーロピアン・プッ
ト・オプションを同時に保有することである。
解説このストラッドルのペイオフは（コールの）(ST − K)+ と（プットの）(K − ST )+ の和、
すなわち、|ST − K| となる。この組み合せのペイオフはつねに正であるが、もし満期において株
価が行使価格に接近している場合には, このペイオフでオプションの購入費用を十分にまかなえず
に投機家は損することになる。
58
endow-05
6.2
フォワードの価格決定
価格決定問題を解くためには、市場が運営されている方法についてある種の仮定をおくことにす
る。この問題を定式化するために、フォワード契約についてさらに詳しく調べることから始める。
フォワード契約は将来の定められた期日に定められた価格で資産を買う（または、売る）という
合意であることを思い出そう。そこで、私がある資産を時点 T において価格 K で買うことに同意
したとする。時点 T におけるペイオフは ST − K である。ここで、ST はその資産の時点 T におけ
る実価格を表わす。このペイオフは正にも負にもなり得る。そして、フォワードをはじめるための
コストはゼロであるから、このペイオフがフォワードの総利益（または損失）となる。問題は K
の公正な値を決めることにある。
（期待値価格決定）
契約が交わされる時点において我われには ST の値は分からず、せいぜいそれを推量したり、もつ
と形式的に言えば、その確率分布を与えることができるだけである。よく使われるモデルでは、株
価は対数正規分布に従っている。つまり ST /S0（時点 T での株価と時点 0 での株価の比、ふつう、
収益と呼ばれている）の対数は平均 ν と分散 σ 2 の正規分布に従うような定数 ν と σ が存在するこ
とを仮定している。これを式で表すと次のようになる；
P
ST
∈ [a, b]
S0
=
P log
log b
=
log a
ST
S0
∈ [log a, log b]
(x − ν)2
1
√
exp −
dx
2σ 2
2πσ
ここに株価は正でなければならないので a, b はともに正であり、右辺の積分は有限な確定値である
ことに注意。
第１の考え方として、E[ST ] は契約時点での公正な価格を示しているとすることだ。しかし、こ
の値が市場価格と一致するのは稀である。実際に以下で、価格決定問題のカギとなるのは借り入れ
コストだ、ということを示す。
（無リスク金利）
ここで、お金の時間価値について考慮しなければならない。すなわち、現時点の 1 万円は将来の 1
万円より価値があるということである。この将来を約束された市場（債券市場）では価格はある利
率から導かれると仮定する。もっと正確には次のように言うことができる。
貨幣の時価：将来の時点 T で保証された 1 万円は現時点ではある定数 r > 0 について e−rT
万円の価値がある。このとき、率 r はこの期間における連続複利率とよばれるものである。
たとえば、国債から生ずる市場は債務不履行となるリスクはないと考えられる。だから、現在の
−rT
e
万円は将来の T 時点では 1 万円を保障している。このことを重視して、我われは r のことを
しばしば無リスク金利とみなすのだ。もっとも、国債が本当に無リスクかどうかは分からないので
あるが。
もちろん、現実の金利市場はこれほど単純ではない。
（裁定価格決定）
いまや、フォワード契約における行使価格 K の値を決めるのは無リスク金利、すなわち、債券の
価格であって、対数正規モデルではないことがわかる。
endow-05
59
金利は通貨毎に異なるので、明確にするために、ここでは（無リスク）金利が r の市場で運営さ
れているものとする。
• はじめに K > S0 erT とする。このとき、時点 T で 1 単位の株式に K 円を支払う義務を負っ
ている売り手は次のような戦略をとる；時点 0 で S0 円借りて（つまり、債券を S0 円で売っ
て）1 単位の株式を買う。時点 T では S0 erT 円支払わなければならないが、K 円で売れる株
を持っているので、(K − S0 erT ) 円だけ確実な利益が残る。
• もし K < S0 erT とすると、買い手は逆の戦略をとる；時点 0 で 1 単位の株式を S0 円で売り、
債券を買う。時点 T において、債券の価値は S0 erT 円で、この中から 1 単位の株式を買い戻
すのに K 円を使うから、(S0 erT − K) 円だけ確実な利益が残る。
よって、K = S0 erT でない限り、どちらか一方に利益を保証することになってしまうのだ。
定義 6.4 一般に、無リスク利益をもたらす機会のことを裁定機会という。
現代的ファイナンス理論においてモデルを構築するための出発点は、裁定が存在しないことを明記
することである。実際、裁定機会を有効に利用して生活している人々がいるが、そのような機会は
市場価格が動いて裁定機会を消滅させるまでのわずかな時間しか存在し得ない。こうして、以下の
補題が証明されたことになる。
補題 6.1 裁定が存在しないとき、時点ゼロでの価値が S0 の株式にもとづいた満期 T のフォ
ワード契約の行使価格は K = S0 erT である。ここで r は無リスク金利だ。
この価格 S0 erT はしばしば裁定価格とよばれる。あるいは株のフォワード価格としても知られ
ているものだ。
注意事項：補題 6.1 の証明において、買い手は株を売ってしまっていて、所有していないかもし
れない。これは空売りとして知られている。空売りができる理由は、お金と同じように株を「借り
る」ことができるからだ。
もちろん、フォワードはデリバティブの中で非常に特別なものだ。上の議論はオプションの価格を
決める方法を教えてくれるものではないが、以下でも、双方に無リスク利益をもたらさないような
価格を見つけるという戦略が原則となるのだ。
これまでの議論を要約しておく。フォワードの価格を決めるために、株式 1 単位と −S0 の債券
からなるポートフォリオを組むと、満期においてその価値が丁度フォワード契約の価値そのものと
なる。すなわち、
ST − S0 erT = ST − K
となる。このようなポートフォリオを完全ヘッジとか、複製ポートフォリオという。この考え方は
現代的数理ファイナンスの中心的なパラダイムであって、今後、たびたび繰り返される。
6.3
１期間 2 値オプション・モデル
ヨーロピアン・コール・オプションの公正な価格を定めるために、以下では非常に簡単な市場モ
デルについて考える。これまでと同じように市場は 2 時点において、すなわち、契約時点と契約を
60
endow-05
行使する時点だけで観測される。そして、時点 T において株価は２つの値だけをとるものとする。
簡単な例をあげる。
(ヨーロピアン・コールの価格決定)
例 6.2 ある株式の現在価格は日本円で 2500 円とする。6ヶ月満期のヨーロピアン・コール・オプ
ションは 3000 円の行使価格である。ある投資家は 6ヶ月後の株価は 1/2 の確率で 4000 円に、1/2
の確率で 2000 円になると考えている。したがって、
（それが行使されたとき）オプションの期待価
値 500 円と見積もっている。日本の無リスク金利は現在のところゼロであり、彼はオプションに対
して 500 円支払うことに同意している。これは公正な価格だろうか？
解答：前節の説明から、読者はおそらくこの質問の答えは誤りと考えるであろう。この契約では
片方に無リスク利益をもたらすことがわかる。というのは、売り手はいろいろな手の中から次のよ
うな戦略がとれるからだ。
戦略：時点ゼロにおいて、オプションを売り、2000 円を借りて 1 単位の株を買う。
• まず満期での株価が 4000 円とすると、契約は行使されて株を 3000 円で売る。そうすると
(−2000 + 3000) 円、つまり 1000 円を手にする。
• 一方満期における株価が 2000 円とすると、オプションは行使されないで、持ち株を 2000 円
で市場に出す。すると正味の取り分は (−2000 + 2000) 円、つまり引き分けとなる。
いずれの場合も売り手は損をするリスク無しに利益をあげるチャンスがある。つまり、オプション
の価格は高すぎるのだ。
それでは、このオプションの公正な価格はいくらか？
売り手の立場で考えてみよう。契約が行使されるときの株価を ST で表すと、時点 T において、
売り手は請求権に見合うためには (ST − 3000)+ 円が必要となる。考え方はとしては、株と債券を
組み合わせて所有してこの必要額を満たすために、時点ゼロにおいていくらのお金が必要となるか
を計算することだ。
このときオプションを売って得たお金で、x1 円の債券と x2 株からなるポートフォリオを組む。
もし満期において株価が 4000 円とすると、時点 T でのポートフォリオの価値は x1 erT + 4000x2
となる。オプションの売り手はこのために少なくとも 1000 円が必要だ。つまり、金利はゼロであ
るから
x1 + 4000x2 ≥ 1000
と表される。もし株価が 2000 円ならば、ポートフォリオの価値は非負でなければならないので、
x1 + 2000x2 ≥ 0
となる。点 (x1 , x2 ) が図 6.2 の斜線領域の内部に位置するならば、売り手にとって（リスクなしに）
利益が保証される。境界上においては、2 直線の交点以外のすべての点において利益を得る確率は
正で、損する確率はゼロである。点 (x1 , x2 ) により示されるポートフォリオは、時点 T において請
求権に対して正確に見あう額の富をもたらす。
endow-05
61
図 6.2: ポートフォリオの条件
この連立方程式を解くと x1 = −1000, x2 = 1/2 となり、これが請求権にちょうど見あうものだ。
時点ゼロにおいてこのポートフォリオを組むためのコストは (−1000 + 2500/2) 円、すなわち、250
円である。250 円以上ならば、売り手は無リスク利益を得ることができる。
もし、オプション価格が 250 円以下ならば、買い手はポートフォリオ (x1 , x2 ) を「借りて」、オ
プションを買うことにより無リスク利益を得ることができる。したがって、裁定が存在しない場合
オプションの公正な価格は 250 円である。
フォワード契約の場合と同じように公正な価格を決めるためには、市場がとるであろう可能な動
きに対して定められる確率は使わない。むしろ、簡単なポートフォリオによって請求権を複製でき
るという事実だけが必要なのだ。売り手は x1 円の債券と x2 単位の株式から成るポートフォリオ
によって条件付き請求権 (ST − 3000)+ 円をヘッジできるのだ。
同じような議論によって次の結果を証明できる。
(ヨーロピアン・コールの価格決定公式)
62
endow-05
補題 6.2 無リスクドル建て金利（将来のある時点の T における）を r とする。時点ゼロでの
資産価値を S0 とする。時点 T での資産価値は S0 u か S0 d のいずれかであるとし、さらに
d < erT < u
とする。満期でのペイオフを C(ST ) とするヨーロピアン・オプションの時点ゼロにおける市
場価格は
1 − de−rT
u−d
C(S0 u) +
ue−rT − 1
u−d
C(S0 d).
さらにオプションの売り手はオプションから得た金で、時点ゼロにおいて
def
φ =
C(S0 u) − C(S0 d)
S0 u − S0 d
(6.1)
単位の株を買って残りを債券で所有することにすれば、時点 T での価値がちょうど (ST − K)+
となるポートフォリオを構成できる。
証明は演習問題とする。
6.4
3 値モデル
2 値モデルにはいくつか特有の事情がある。とくに、時点 T において資産価格はたった２つの値
のいずれか１つを取るものとしている。もし、3 つの値を許すとどうだろうか？
6.3 節の解析をくり返えしてみよう。売り手は時点 T における請求権を債券 x1 円と x2 単位の株
とからなるポートフォリオにより複製したいと考えている。この場合 ST の 3 つの可能な取り得る
値に対応してそれぞれのシナリオを考える。金利がゼロとすると、3 つの不等式
x1 + STi x2 ≥ (STi − 3000)+,
i = 1, 2, 3
が得られる。ここで、STi は ST の取り得る値とする。この場合は図 6.3 のようなグラフが描ける。
時点 T での請求権に見あう保証をするために売り手は点 (x1 , x2 ) が斜線領域に位置することを
要求するが、この領域ではどの点も、正の確率で利益が得られ、損失をこうむる確率はゼロであ
る。斜線領域以外のポートフォリオは損失をこうむるリスクが存在する。この場合、請求権を正確
に複製するポートフォリオは無く、このオプションには一意的な「公正」価格は存在しないという
わけだ。
このような市場は完備ではない。すなわち、この市場には完全にヘッジできないような条件付き
請求権があるということだ。
（大きいモデル）
それでも、請求権をヘッジするためにどうすればよいか考えてみよう。まず、この市場は原資と債
券だけから成るポートフォリオを組むことが許されているが、現実の市場はこれよりもっと大き
い。もし、第３の「独立した」資産をあつかうことができるならば、R3 空間の中に 3 つの平行で
ない平面ができる。この 3 平面は請求権を正確に復製する 1 つのポートフォリオを表す 1 点で交
わることもあるであろう。そこで、次の問題が起こる。大きい市場にはいつ裁定が存在するか？1
endow-05
63
図 6.3: ポートフォリオの条件
期間モデルに対するこの質問には次節で答えることにする。もう１つの制約は、契約時点と満期と
の中間でポートフォリオを調整することはできない、ということだ。実際、もしゼロ時点と T 時
点の中間で市場を観察することができて、（その価値を変えないで）ポートフォリオを再構築する
ことができるならば、時点 T における株価の取り得る値はいくつあっても許されるし、その原資
と債券だけから成るポートフォリオによって時点 T におけるそれぞれの請求権を複製できるのだ。
しかし、このことについては以下では触れないことにする。
6.5
無裁定の条件
2 値モデルではオプションの公正価格は 2 本の連立方程式を解くことによって容易に求めること
ができた。しかしながら 2 値モデルはきわめて特殊であり、3 値モデルの検討から、いろいろ注意
すべきことがある。2 値モデルはただ 1 つの株式（と 1 つの債券）の動きだけを記述していること
だ。3 値問題の困難さを解決する 1 つの方法は、さらにもう１つの「独立な」資産を取引できるよ
うにすることである。この節では、この考え方を大きな市場に拡張して、任意のオプションが公正
な価格をもつために十分な個数の独立な資産を考慮したモデルの特徴付けを行なう。定義??と定
理 6.1 以外については詳しい議論を省略する。
（N 資産の市場）
さて、市場は有限（かなり大きい）個数の取引可能な資産から構成されているが、時点ゼロと固定
された未来時点 T の 2 時点のみで観測される 1 期間モデルに限定して考える。
さて、市場には取引できる資産が N 種類あるとする。ゼロ時点におけるこれらの価格は列ベク
64
endow-05
トル

S0 = S01 , S02 , . . . , S0N


= 


t def
S01
S02
..
.






S0N
で与えられる。
表記法：ベクトルや行列に対して上付き添え字「t」は転置を意味する。
市場の不確かさは時点 T で市場がとり得る有限個の可能な状態で表現されるが、これらの状態を
1, 2, . . . , N とラベルを付ける。時点 T での証券の価値は N × n 行列 D = (Dij ) で与えられる。こ
こに、Dij は市場が状態 j にあるとき、時点 T における第 i 証券の価値を意味する。2 値モデルの
場合は N = 2（株と無リスク債券）と n = 2（ST の２つの可能な価値により決まる２つの状態）
に対応している。
この表記法を使うと、ポートフォリオとはベクトル θ = (θ1 , θ2 , . . . , θN )t ∈ RN のことで、時点
ゼロにおける市場価値は内積 S0 · θ で表される。時点 T におけるポートフォリオの価値はやはりベ
クトルで表され、そのベクトルの第 i 要素は市場が状態 i のときのポートフォリオの価値を示す。
すなわち、時点 T でのポートフォリオの価値は


D11 θ1 + D21 θ2 + · · · + DN 1 θN


 D12 θ1 + D22 θ2 + · · · + DN 2 θN 

 = Dt θ
..




.
D1n θ1 + D2n θ2 + · · · + DN n θN
と書ける。
表記法：ベクトル x = (x1 , x2 , . . . , xn )t ∈ Rn に対して、すべての i = 1, . . . , n について xi ≥ 0
ならば x ≥ 0、あるいは x ∈ Rn
+ と書く。また、x > 0 は、xi ≥ 0、かつ x = 0 を意味する。ここ
で、x > 0 はベクトル x のすべての要素が正であることを要求していものではない、ことに注意。
すべての要素が正であるような Rn のベクトルは、x >> 0 または x ∈ Rn
++ のように表わす。
この表記法でいうと、
裁定とは
S0 · θ ≤ 0, Dt θ > 0 または S0 · θ < 0, Dt θ ≥ 0
を満たすポートフォリオ θ ∈ RN のことだ。
（裁定価格決定）
このモデルにおける裁定価格決定のカギは状態価格ベクトルの概念にある。
定義 6.5 状態価格ベクトルとは、S0 = Dψ を満たすベクトル ψ ∈ Rn
++ のことだ。
endow-05
65
この用語が自然であることを示そう。まず上式を展開すると
 1 





S0
D11
D11
D1n
 2 





 S0 
 D21 
 D21 
 D2n
 .  = ψ1  .  + ψ2  .  + · · · + ψn  .
 . 
 . 
 . 
 .
 . 
 . 
 . 
 .
S0N
DN 1
DN 2



,


(6.2)
DN n
定数 ψi 倍したベクトル D(i) は市場が状態 i にある場合の証券の価格ベクトルである。定数 ψi は、
市場が状態 i にあるとき、期間の終りにおいてさらに 1 単位の富を得るための時点ゼロにおける
限界コストと見なすことができる。いいかえると、期間の終りにおいて市場の状態が i であるなら
ば、ポートフォリオの価値は時点ゼロにおける投資を ψi 追加することによって１増増加する。こ
のことを確めるために
θ(i) · D(j) =
1,
i=j
0,
その他
をみたすベクトル {θ(i) ∈ RN }1≤i≤n が存在するとしよう。すなわち、時点 T におけるポートフォ
リオ θ(i) の価値は市場が状態 i にあるということを示す指標関数だ。方程式 (6.2) を使うと、時点
ゼロにおいて θ(i) を購入するコストは確かに S0 · θ(i) =
n
j=1
ψj D(j) · θ(i) = ψi だ。このような
ポートフォリオのことを {θ(i) }1≤i≤n を Arrow-Debreu 証券という。
6.6 節において状態価格ベクトルについて考えるために便利な方法を紹介するが、さしあたって、
ここではカギとなる結果だけを述べておく。
定理 6.1 上で述べた市場モデルに対して、裁定が存在しないための必要十分な条件は状態価
格ベクトルが存在することだ。
Harrison & Krep (1979) によるこの結果は、しばしば「資産価格決定の基礎定理」として知られて
いる一連の定理の中でもっとも単純な表現だ。この証明は超平面分離定理とよばれる Hahn-Banach
の分離定理を適用する。さらに、Riesz の表現定理も必要だ。次のことを思い出そう。集合 M ⊂ Rd
が円錐体であるとは、x ∈ M のときすべての正のスカラー λ に対して λx ∈ M となること、そし
て Rd 上の線形汎関数とは線形写像 F : Rd → R のことである。
定理 6.2 （超平面分離定理）集合 M と K は原点だけで交わる Rd 内の閉円錐体とする。
もし、K が線形部分空間でなければ、任意の x ∈ M とゼロでない任意の y ∈ K に対して
F x) < F (y) となる非零線形汎関数 F が存在する。
この定理の証明は省略する。
定理 6.3 （Riesz の表現定理）空間 Rd 上の任意の線形汎関数は F (x) = v0 · x と表わされ
る。つまり、F (x) はある固定したベクトル v0 ∈ Rd と x との内積というわけだ。
定理 6.1 の証明定理 6.2 において d = 1 + n として
M = (−S0 · θ, Dt θ) : θ ∈ RN ⊂ R × Rn = R1+n ,
K = R+ × Rn+
66
endow-05
とおく。このとき、K は円錐体ではあるが線形空間ではなく、M は線形空間であることに注意す
る。明らかに K と M が図 6.4 で示されるように原点でのみ交わるとき、かつそのときだけ、裁定
は存在しない。よって K ∩ M = {0} のとき、かつそのときだけ状態価格ベクトルが存在すること
を示せばよい。
図 6.4: 裁定機会の存在しない条件
(i) はじめに K ∩ M = {0} を仮定する。定理 6.2 から線形汎関数 F : Rd → R が存在して、すべ
ての z ∈ M とゼロでない x ∈ K に対して F (z) < F (x) が成り立つ。第 1 ステップとして F
が M 上でゼロとなることを示す。集合 M が線形空間という事実を利用する。まず（F が線
形であることから）F (0) = 0 であり、しかも 0 ∈ M であるから、x ∈ K に対して F (x) ≥ 0
であり、x ∈ K \ {0} に対して F (x) > 0 となる。さて、x0 = 0 なる x0 ∈ K を固定すると、
任意の z ∈ M に対して F (z) < F (x0 ) となる。さらに M は線形空間であるから、すべての
λ ∈ R に対して λF (z) = F (λz) < F (x0 ) である。これが成り立つのは、任意の z ∈ M に対
して F (z) = 0 のときだけである。こうして、F は M 上でゼロとなることが示された。
第 2 ステップとして、以上のことを使って実際に F から状態価格ベクトルを構成する。ま
ず Riesz の表現定理から F がある v0 ∈ Rd によって F (x) = v0 · x と書ける。便利のために
v0 = (α, φ) と書く。ここに α ∈ R、かつ φ ∈ Rn 。そうすると
F (v, c) = αv + φ · c,
∀(v, c) ∈ R × Rn
と表わすことができる。すべてのゼロでない x ∈ K に対して F (x) > 0 であるから、α > 0
endow-05
67
かつ（ベクトルの要素毎に考えると）φ >> 0 を得る。さらに F は M 上でゼロであるから
0 = F (−S0 · θ, Dt θ) = −αS0 · θ + φ · Dt θ,
∀θ ∈ RN .
よって φ · Dt θ = (Dφ) · θ という関係から
−αS0 · θ + (Dφ) · θ = 0,
∀θ ∈ RN
と表わされ、これは −αS0 + (Dφ) = 0 を意味する。すなわち S0 = D(φ/α) となり、ベクト
ル ψ = φ/α は状態価格ベクトルである。
(ii) 次に状態価格ベクトル ψ が存在すると仮定する。そして K ∩ M = {0} を示す。定義により
S0 = Dψ であり、よって任意のポートフォリオ θ に対して
S0 · θ = (Dψ) · θ = ψ · (Dt θ).
(6.3)
いまあるポートフォリオ θ に対して (−S0 · θ, Dt θ) ∈ K とする。このとき、Dt θ ∈ Rn
+ かつ
−S0 · θ ≥ 0 である。ところが ψ >> 0 から、もし Dt θ ∈ Rn+ とすると ψ · (Dt θ) ≥ 0 となり、
これは (6.3) によって S0 · θ ≥ 0 を意味する。よって S0 · θ = 0、かつ Dt θ = 0 でなければな
らない。こうして K ∩ M = {0} が示された。
6.6
リスク中立確率測度
このように状態価格ベクトルは多種資産市場モデルに対する裁定価格決定のカギを握っている。
このベクトルについて経済的な解釈をあたえることはできるが、それでも確率やマルチンゲールを
完全に使いこなすためには別の考え方をしなければならない。
ベクトル ψ のすべての要素は厳密に正であることに注意する。
(状態ベクトルと確率)
n
和を ψ0 = i=1 ψi とおいて（基準化することにより）
def
ψ =
ψn
ψ1 ψ2
,
,...,
ψ0 ψ0
ψ0
t
(6.4)
をそれぞれの状態に対する確率を表すベクトルとみなすことができる。このベクトルはマーケット
の将来の動きについてなんらかの見通しを与えるものではない、ことを強調することは重要だ。は
じめに
ψ0 とは何か？
2 値モデル（では無リスク債券を取り入れた）と同じように、この市場は正の無リスク借入を認
めるものとする。この一般的な設定において、条件
 
1
 
 1 

Dt θ = 
 .. 
 . 
1
68
endow-05
をみたすポートフォリオ θ によってこのような債券が複製されることだけを仮定する。すなわち時
点 T におけるポートフォリオの価値は、市場がどの状態にあったとしても 1 とするのだ。ベクト
ル ψ が状態価格ベクトルであることを利用して、時点ゼロにおけるこのようなポートフォリオの
コストは
n
S0 · θ = (Dψ) · θ = ψ · (Dt θ) =
ψi = ψ0
i=1
と求まる。つまり ψ0 は無リスク借入割引のことで、6.2 節の記号で表わすと ψ0 = e−rT のことだ。
（期待値）
さて、ベクトル (6.4) で与えられる確率分布のもとで、時点 T における第 i 証券の期待価格は
n
E STi =
Dij
i=1
ψj
1
=
ψ0
ψ0
n
Dij ψj =
i=1
1 i
S
ψ0 0
となる。ここで最後の等式で S0 = Dψ という関係を使った。よって
S0i = ψ0 E STi ,
i = 1, . . . , N.
(6.5)
つまり証券の価格は確率分布 (6.4) に関するペイオフの期待値を割り引いた値である、ということ
だ。これは任意のポートフォリオについても当てはまることに違いないので、この考え方は条件付
き請求権の価格決定に新しい方法を与えてくれるものと期待できる。
定義 6.6 時点 T における請求権 C が達成可能であるというのは、それがヘッジできること、すな
わち時点 T においてその価値がちょうど C となるようなポートフォリオが存在することだ。
表記法確率測度が Q であることを強調するときは、期待値作用素を EQ のように書く。
定理 6.4 無裁定の場合、時点 T で達成可能な請求権 C の時点ゼロにおける一意的な価格は
ψ0 EQ [C] である。ここで、期待値はすべての i に対して S0i = ψ0 EQ [STi ] をみたすような任意
の確率測度 Q についてとられる。また ψ0 は無リスク金利である。
注意事項：請求権が達成可能であるというのはとても重要なことだ。
定理 6.4 の証明定理 6.1 から状態価格ベクトルが存在し、これより S0i = ψ0 E[ST ] をみたす確率
測度 (6.4) が導かれる。この請求権はヘッジできるので、θ · ST = C をみたすポートフォリオ θ が
存在する。無裁定の場合この請求権の時点ゼロでの価格は、時点ゼロにおけるこのポートフォリオ
のコストに等しいので
N
θ · S0 = θ · (ψ0 E[ST ]) = ψ0
θi E[STi ] = ψ0 E[θ · ST ] = ψ0 E[C].
i=1
同じようにして S0i = ψ0 EQ [ST ] をみたす任意の確率ベクトル Q に関して期待値をとると、やはり
同じ値が得られる。というのは裁定が存在しない場合、一意的な無リスク金利が存在するからであ
る。これで定理の証明が完結する。
endow-05
69
（リスク中立価格の決定）
この裁定価格の決定法について次のように言えるだろう。すべての原資について、そのゼロ時点価
値と T におけるその割引された期待値とを等しくするような確率ベクトルを見つけることができ
るならば、任意の達成可能な条件付き請求権のゼロ時点における価値は、請求権の（この確率測度
に関する）期待値を割り引くことにより求めることができる。このとき、請求権の如何にかかわら
ず同じ確率測度で期待値をとることに注意する。
定義 6.7 市場は時点 T において n 個の可能な状態のうちの１つをとるものとする。各証券の（時
点ゼロでの）価格とそのペイオフの割引期待値とを等しくするような任意の確率ベクトル p =
(p1 , p2 , . . . , pn ) >> 0 のことをリスク中立確率測度、または同値なマルチンゲール測度という。
同値なという単語は p >> 0 という条件に反映されている。資産価格決定の基本的定理（定理 6.1)
は簡単にいうと、正の無リスク金利の市場において裁定がないということは、同値なマルチンゲー
ル測度が存在するとき、かつ、そのときに限るということだ。リスク中立確率測度に関して期待値
をとって価格を決定することをリスク中立価格の決定という。
例 6.2 の改定ヨーロピアン・コール・オプションの価格決定の例にもどって上の公式が本当に裁
定価格を与えるかどうか確めてみよう。
この市場は 2 つの証券、つまり債券と原資だけから成る。借り入れ割引率は ψ0 = e−rT と表さ
れるが、円の金利はゼロと仮定したので、この場合は ψ0 = 1 だ。よって T における証券価値の行
列は
D=
1
1
4000 2000
で与えられる。証券価格ベクトルが (1, 4000)t であるリスク中立確率を p と書く。もし株価がその
割引期待値ペイオフに等しいとすると、p は方程式
4000p + 2000(1 − p) = 2500
を解いて、p = 0.25 となる。行使時点の株価が 4000 円ならば、条件付き請求権は 1000 円で、そ
うでないならばゼロである。リスク中立確率の下で請求権の期待値は、したがって（利子率はゼロ
だから）オプションの価格は 0.25 × 1000 = 250 円となってこの結果は前と同じだ。
この方法の利点は確率 p の値が既知ならば、この株を原資とする同一行使期日（6ヶ月間）のす
べてのヨーロピアン・オプションについて、その価格決定にはこの確率測度を用いて期待値をとれ
ばよい、という簡便法が使えることだ。たとえば、行使価格 3500 円のヨーロピアン・プット・オ
プションに対して、その価格は
E[(K − ST )+ ] = 0.75 × 1500 = 1125
円となる。すでに述べた議論から、新しい請求権に対しては新しい同時方程式が導かれるのだ。
（完備市場）
いまや我われは請求権の裁定価格が存在するならば、すなわち、もし請求権が達成可能ならば、そ
れに対する処方箋を得たことになる。しかしこれには少しばかり注意が必要だ。裁定価格は達成可
能な請求権に対してだけ存在するからだ。それでもこの処方箋には意味がある。
70
endow-05
定義 6.8 任意の条件付き請求権が達成可能ならば、すなわち、任意の実行可能なデリバティブ請
求権がヘッジできるならば、市場は完備であるという。
命題 6.1 1 期モデルにしたがって展開する市場において、期末で可能な n 状態のうちの 1 つ
をとるものとする。N 種類の取引可能な資産から成るとき、市場が完備であるのは、N ≥ n
であり、しかも債券価格の行列 D の階数が n のとき、かつ、そのときに限る。
証明：この市場における任意の請求権はベクトル v ∈ Rn によって表現できる。この請求権に対
するヘッジは Dt θ = v をみたすポートフォリオ θ = θ(v) ∈ RN である。このような θ を求めるた
めには未知数が N 個の n 本の方程式を解くことだ。よって v の任意の選択に対してヘッジ・ポー
トフォリオが存在するのは、N ≥ n であり D の階数が n のとき、かつそのときだけとなる。
とくに 1 期間 2 値モデルは完備であることに注意しよう。
いま市場は完備かつ無裁定で、Q と Q は任意の２つの同値なマルチンゲール測度とする。この
とき完備性により任意の請求権は達成可能であるので、任意の確率変数 X に対して、ただ 1 つの
無リスク金利が存在することを用いると
EQ [X] = EQ [X],
つまり Q = Q を得る。よって、完備な無裁定市場において同値なマルチンゲール測度は一意的
である。
（これまでに得られた主な結果）
1 期間市場に対する結果をまとめておく。
1 期間モデルの結果
• 市場が無裁定であるのは、マルチンゲール測度が存在するとき、かつそのときだけである。
• 市場が完備であるのは、Q が一意的であるとき、かつそのときだけである。
• 達成可能な請求権 C の裁定価格は e−rT EQ [C] である。
マルチンゲール測度は強力な道具であるものの、不完全市場においては、請求権 C が達成可能で
ない場合、異なるマルチンゲール測度にたいして同一価格を与えるとはかぎらない。それゆえ公正
価格が無裁定であるという概念は、ヘッジができるときにだけに意味があるのだ。
6.7
連続時間への序章
これまでは、市場の観測は 0 時点と T 時点に限られていたが、実際には、市場の情報は時々刻々
得られるものであるので、連続時間として扱われる。また、価格などのとる値も離散的ではあるが
連続としてモデル化すると数学的に取り扱いやすくなる。株価は連続時間確率過程の 1 つである
Brown 運動 {Wt , 0 ≤ t < ∞} を基にした幾何 Brown 運動
St = S0 exp (νt + σWt )
によって記述される。これは Samuelson モデルと呼ばれる株価の基本的なモデルだ。
(6.6)
endow-05
71
Brown 運動のパスは非常に不規則な挙動を示す。そのパスは連続ではあるが、微分可能ではな
く、有界変分でもない。シミュレーションによる Brown 運動のパスの例を図 6.5 に示す。
Brown 運動を使って、Samuelson モデルを解説しておくことにする。株価の収益率は平均収益
率とランダムな変動部分とに分けられるとすると
St+∆t − St
= c∆t + σ∆Wt
St
(6.7)
と表わすことができる。ここで、c は平均収益率を表し、σ は変動の大きさを表すボラティリティ
を示す。この式において、形式的に ∆t → 0 と極限をとると
dSt = cSt dt + σSt dWt
(6.8)
となる。が、これは Brown 運動の性質から、通常の意味の微分方程式として定義することはでき
ない。そこで、第 2 項に伊藤積分を適用して次の積分方程式の意味で定義する：
t
St − S0 = c
t
Su du + σ
0
Su dWu
0
この方程式を解くと (6.6) が得られるのだ。
日経平均株価を図 6.6 に、その収益と対数収益を図 6.7 に示す。
(6.9)
72
endow-05
図 6.5: Brown 運動のパスの例
図 6.6: 日経平均株価
endow-05
73
図 6.7: 日経平均株価の収益と収益率
演習問題
1. 例 6.1 のストラッドルのペイオフのグラフを描きなさい。
2. ある資産価格が対数正規分布をもつとする。つまり、log (St /S0 ) は平均 ν と分散 σ 2 の正規
分布にしたがう。このとき、E[ST ] を計算しなさい。
3. (a) 補題 6.2 を証明しなさい。
(b) 仮定 d < erT < u を外すとどんなことが起きるか？
4. 石油のような商品に基づくオプションの価格決定をする場合、例題 6.2 の解析方法をどのよ
うに変更すればよいだろうか？
5. 裁定が存在しない市場において、時点 T における請求権 C を正確に複製する時点ゼロで構
築されたポートフォリオは、すべて時点ゼロで同じ価値を持つことを示しなさい。
6. プール・コール・パリティ：満期 T と行使価格 K のヨーロッピアン・コール・オプション
とプット・オプションの時点 t での価格をそれぞれ Ct と Pt とする。無リスク利子率は一定
値 r で、市場には裁定は存在しないとする。このとき、各 t < T に対して
Ct − Pt = St − Ke−r(T −t)
となることを示しなさい。
7. 満期におけるフォワードのペイオフを求めなさい。リスク中立価格決定法を使ってフォワー
ド契約に対する価格決定問題を解きなさい。

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