（2）−2 正規部分群、剰余群（商群） - Xrea

（２）−２　正規部分群、剰余群（商群）
（ｉ）　２次の対称群　S２ S２＝｛（１），（１２）｝＝｛（１）｝∪｛（１２）｝
このとき、｛（１）｝は恒等置換（何も動かさない）であり、｛（１２）｝は１←→２交換、
１回の交換ですから、これは奇置換です．
（ｉｉ）３次の対称群Ｓ３
Ｓ３＝｛（１），（１２），（２３）、（１３），（１２３）、（１３２）｝　の６個でした。
偶置換Ａ３
・・・・（１）、（１２３）、（１３２）　の３個
奇置換 A3 ・・・・（１２）、（２３），（１３）　の３個
したがって、 S３＝ A３  Ａ３であり、ともに元の個数が同じ部分集合です。
元の個数が同じ部分集合
(iv）　４次の対称群
S４
（２）−１続き　でやりましたが、もう１回やりましょう。 S４を作ります。
（ア）　｛１、２、３、４｝を並べます。
（１２３４）、（１２４３）、（１３２４）、（１３４２）、（１４２３）、（１４３２）　（２１３４），（２１４３），（３１２４），（３１４２），（４１２３），（４１３２）
（２３１４），（３２１４），（３４１２），（４３１２），（２４１３），（４２１３）
（２３４１），（２４３１），（３２４１），（３４２１），（４２３１），（４３２１）　の２４個の並べ方
があります。　（４！＝４×3×2×1＝２４）
（イ）　置換を作ります
[
]
[
]
その作り方は、　1234 や　1234 のように、上に１２３４を固定し
1234
1243
下に移動先の数字を置き、これを（１）、（３４）と簡略して表しました。（１）は特別な表
記であり、（３４）は１，２が動いていないのでこう書きます。
したがって、（ア）を簡略して表すと、同じ順で
（１）、（３４）、（２３）、（２３４）、（２４３）、（２４）
（１２）、（１２）（３４）、（１３２）、（１３４２）、（１４３２）、（１４２）
（１２３）、（１３）、（１３）（２４）、（１４２３）、（１２４３）、（１４３）
（１２３４）、（１２４）、（１３４）、（１３２４）、（１４），（１４）（２３）
となります。
また、偶置換Ａ４と奇置換 A４の個数を調べましょう。
Ａ４＝｛（１）、（２３４），（２４３）、（１２）（３４），（１３２），（１４２），（１２３），（１３）（２４），
（１４３）、（１２４）、（１３４）、（１４）（２３）｝の１２個
A４＝｛（３４）、（２３）、（２４）、（１２）、（１３４２）、（１４３２）、（１３）、（１４２３）、（１２４３）
（１２３４）、（１３２４）、（１４）｝の１２個
Ａ４、 A ４の個数がまた同じ個数なりました。｛１，２，３，・・・・、ｎ｝の並べ替えは
ｎ！となりますので偶数この並べ替えがあります。つまり、置換の個数は元の個数によ
らず偶数個です。だから、偶置換と奇置換の個数が同じになるのは十分予想ができ
ることなのです。しかし、予想は予想でしかありませんので証明が必要になります。
次回はその証明から始めましょう。　２０１３．５．１３
＊＊＊Ｓｎの同じ個数の偶置換と奇置換の元から成ること＊＊＊
（証明）　偶置換の個数をｉ個、奇置換の個数をｊ個として、偶置換の元をａｉで奇
置換の元をｂｉとましょう。証明の方法としては背理法に当たります。
（注意）　偶置換とは偶数個の互換の積からなり、奇置換は奇数個の互換の積か
らなる。
かってなａ k （１≤k ≤ｉ）に、例えば、互換（１２）をかけましょう。すると、は奇置換
になりその個数はｉ個です。仮定により、奇置換の全体は j 個でしたのでａ k と（１２）
の積でできる奇置換の個数が j をこえることはありません。したがって、
ｉ≤ j ・・・①　が成立します。
次に、互換（１２）を bm （１≤m ≤ j ）にかけましょう。今度は偶置換になります。互換の
個数がｔｏｔａｌで偶数個になるからです。上と同じで、できる偶置換の個数はｉをこえる
ことはありません。　ｉ≥ j ・・・②　が成立です。
したがって、　①、②より　ｉ＝j　で、偶置換と奇置換の個数は同じになります。
Q。E。D
２０１３．５．１６
個数が２４個とサイズが十分になったところで正規部分群、商群の話に移りましょう。
【覚書】
仕事に向かう車の中で思いついたこと
ここは、記述の流れから無理があります。体とか同型写像とかが入ってきますのでと
ばしても結構です。ここは自分のためのメモのつもりでやっています。
解が、ｘ＝2+ √ 3 を例にします。これには、共役な解ｘ＝2- √ 3 があります。そこ
で、σ（ √ 3 ）＝- √ 3 なる写像を考えます。実は、これは準同型写像と呼ばれる
写像で、後で本格的にやりますので今は少し我慢してください。
a ∈ Q （Q は有理数）のとき、　定義によって（これも後で）σ（a）＝a　が自然に
導かれます。つまり、有理数 Q 上では σ は代入された値を変えません。例えば、ｙ＝
ｘみたいなものです。Q 上で σ は恒等写像なのです。
そこで、方程式が解けるという事はどんなことなのか？それを簡単な例で考えてみま
しょう。
方程式は、ｘ２ −４ｘ＋１＝０　とします。解は、ｘ＝２±√ ３。
σ（ √ ３）＝ー √ ３、е（ √ ３）＝ √ ３とします。ｅは恒等写像。
Q（ √ ３）＝｛
} なる集合（正確には体という）を考えます。方程
−４ｘ＋１＝０である以上、今までは Q（ √ ３）がこの方程式に付随した体
a+b√3
|
a , b∈ Q
式が、ｘ２
であるとしか見れませんでした。しかし、ルートの中が３になる方程式は他にも沢山
あるはずです。例えば、２次の項が１（モニックといいます）以外は考えませんので、
ｘ 2ａｘｂ＝０
２
から、判別式 D＝ａ −4 ａｂ＞０を満たす（ａ，ｂ）は無
数にあります。何故なら、 a  a−4b 0 は、ａ＞０ならａ＞４ｂと同値です。これを
満たすａ，ｂは無数。このａ，ｂで決まる無数の方程式にｅ、σ は対応しているのです。
**なぜ解けるのか＊＊
少々、先走った印象を与えるかもしれません。方程式がなぜ解けるのか、その概略を機会がある都度記述してい
きます。私のイメージもそれによって整理されるだろうと思うからです。結構苦しんでいます。でも、水泳の北島選
手じゃないけれど、「キモチイー！」のです。
ここでの中身については、後で正式に取り上げますので、まだ習っていない人はこんなものかぐらいで読み過ご
して下さって結構です。
例１）　x２ー２ x ー３＝０  （ x＋１）（ x ー３）＝０  x ＝ー１、３
これは、有理数(分数までの数）だから中学生以上であればいつでもできます。

例 2）　x２ー2 2x 2=0
2
 （ｘ − ２） =0
 x = 2
これも、
２
そこで、Q（
Q（
という数が四則演算まで分かっていれば解けます。
２
）＝｛ａ＋ｂ
２
：ａ，ｂａ，ｂ ∈ Q 、Q は有理数｝
２
）は、体（field）と呼ばれるもので四則演算で閉じています。代表的なものは実数全体の集合です。
実数そのものと言って良いでしょう。
逆に言うと、Q（
２

）が用意できるから x２ー2 2x 2=0 は解けるのです。

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