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Title
鉄損を考慮した誘導モータの数学モデルとベクトル制御
Author(s)
辻, 峰男; 本城, 隆; 泉, 勝弘
Citation
長崎大学工学部研究報告 Vol.32(59) p.67-73, 2002
Issue Date
2002-07
URL
http://hdl.handle.net/10069/5212
Right
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長崎大学工学部研究報告
第32巻
第59号
67
平成 1
4年 7月
鉄損 を考慮 した誘導 モー タの数学モデル とベ ク トル制御
辻
泉
峰 男 *･本 城
勝 弘 ***
隆 **
Ma
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e
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hod.
1. まえが さ
かれたベ ク トル制御や省エ ネルギー制御 には,磁束制
最近のマ イクロエ レク トロニ クス技術 の進歩 は,高
御が考慮 されていない ものやベ ク トル制御演算が一般
機能の制御 アルゴリズムをオンラインで実現可能 とし,
の滑 り周波数制御形のベ ク トル制御 と大 き く異 なって
モー タの トル ク制御技術 に新 しい可能性 を提供 してい
複雑 である ものな どがあ り十分 とは言 い難 い"
卜`
5
'
る. また,エ ネルギー問題 は世界的 な課題 で,特 に電
本稿では,鉄損 を考慮 した数学 モデルの中で最 も一
力消費のか な りの部分 を占めるモー タ応用製品の高効
率化が強 く望 まれてい る.誘導モー タは構造が簡単で
般 的 と考 え られ る等価 うず電流 回路 で表 したd-qモ
テリレか ら,定常等価 回路 を含めた他の数学モデルを導
安価 であることか ら広 く利用 されてお り, トル ク制御
出 し,モデル相互の関連 を明確 にす る.次 に,鉄損 を
と省エ ネルギー制御 の研究が,電気 自動車 な ど新 しい
考慮 したd-qモ デルか ら出発 して,理論 の一般性 を
応用 を考 える うえで も注 目を集めている.
保 ちなが ら,鉄損 を考慮 していない従来の滑 り周波数
高性能 トル ク制御 や省エ ネルギー制御 を実現す るた
制御形のベ ク トル制御 を包含 した新方式 を碇案す る.
めには,誘導モー タの精密 な数学モデルを必要 とし,
また,最大効率制御 に関 し,本方式 に基づ く磁束指令
トル ク精度や効率 に重大 な影響 を及ぼす鉄損 を考慮す
の制御法 も提案す る.
る必要があ る. しか し,定常状態のみ な らず過渡状態
で も利用で きる二軸理論 では,一般 に鉄損 が重視 され
ている.鉄損 を考慮 したモデル も幾つか提案 されてい
るが,各モデルの特徴 や関連が不明確で, これか ら導
2.誘導 モータの数学 モデル
本章では,誘導モー タの基本 モデル と鉄損 を考慮 し
たモデルについて述べ る.
平成 1
4年 4月 1
9日受理
*電気電子工学科 (
De
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c
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**有明工業高等専 門学校電気工学科 (
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alCol
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e
geofTe
c
hnol
ogy)
68
辻
峰男 ･本城
2.
1基 本 モデル
勝弘
隆 ･泉
2.
2鉄損 を考慮 したモデル
W - Oも含 め任 意 の角速度 W で回転 す る d-q座 標
図 1に固定子鉄損 を考慮 す るための等価 うず電流 回
系 で表 され た誘導機 の電圧方程式 は,次式 で与 え られ
路 を もった誘 導機 の巻線 モ デ ル を示 す'
)
a
.図で s
d,s
q
る.
は固定子 ,r
d,r
qは回転子 ,c
d,c
qは うず電 流 回路 を
ち q
J
ao o
示 す.
d.
叩
d
.
∼
∼.
,
..■
( )
1
叩
. Jr
一
α-β静止座標系 の場合 には, (1)式 で ,W -0とお き,
d-q量 を a
-β量 に置 き換 え れ ば よい . (
例 えば,
ea- e
,
a,e
s
q- eか
i
,
a- i
.
f
aな ど)･ (
1
)式 で, 二次 電
流 の代 わ りに二次鎖交磁束 を用 いる と次式が得 られる.
触 q
a
,o o
Fi
g.I Wi
n
d
i
n
gmo
de
lo
fi
n
d
u
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g
i
n
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c
c
o
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ti
r
o
nl
os
s
.
.
3 .
㍉振 れ
W - Oも含 め任 意 の角速度 W で 回転 す る d-q座 標
(
J
_
T
)
系 で表 された図 1の誘導機 の電圧方程 式 は次式 で与 え
られ る.
IWLR.
;
+i.
1
P
R.
Y
+i.
,
P
但 し,p- d^
dt
wL
,
s
MP
wM
￠,
a- Mi
s
d
+L
.
,
i
,
a
Mp
-(
a-W,
)M
R,+L,
P
少,
q=Mi
s
q
+i,t
,
a
(
W-W,
)M
MP
-wM
MP
(
W -W,
)i,
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く
り
M
T
,- L,
/
R,,0- I-M2/
(
Ls
L,
)
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wM
T
e=pM (
l
s
q.
I
,
a L
s
di
,
q
)
=p
M(
i
s
q
Q,
a -i
s
d￠,
q
)/
i,
(
3)
となる.
(
2)
式 に,A,
q- 0を代 入す る と次式 を得 る･
れ7
-
Mi
,
a
1+I
,
P
M sq
w =wr
+玩
L'
ベ ク トル制御 で は,逆 に (
4),(
5)
式 を満 たす よ うに
.- 0を達 成 しよ う とす る
制 御 す る こ とで ,実 際 に 少,
-wM
Mp
-WM
MP
WM
Mp
-(
WIW ,
)L
,
MP
-(
WIW,
)M
R,
+L,
P
(
W W,
)M
Mp
-uM
Rc
+Lc
p
-wL
MP
WLr
Rc
+Lc
P
d.
叩.
d.
a
..
d
a
.
.
'
■■
▼
･■
'
･1
ー
1
■.
■
■
発 生 トル クは,極対 数 を p とす る と
ここで,回転子巻線 と等価 うず電流 回路 の抵抗 及 び
イ ンダクタンスは固定子側へ換算 してい る.簡単 のた
め, うず電流 回路 の漏 れ イ ンダクタンス を無視 し,
Lt
.= M
(
7)
3)式 よ り, トル クは is
.
,
もので,それが実現 で きる と (
と仮定す る. また,励磁 電流 及 び鎖交磁 束 を次式 で定
￠
.
dに比例 す る.
義 す る.
69
鉄損 を考慮 した誘導モー タの数学モデル とベ ク トル制御
q= i
叩+i,
q+i
(
･
q
lm
A- l
Jd+Mi
n
d
￠.
J叩
+Mi
m
q
￠s
q= l
nd
4
1
,
a- I
,
i
,
A+Mi
￠,
q= I
,
i
,
q+Mi
m
q
) ) ) ) ) )
0
0(
0ノ l
0 1
1 2
J
(
1 つ
1
( / t 一
.
_
■
ヽ
i
m
d- i
,
a+i
,
a
+i
(
.
a
を 4次 に近似す ることで制御 に利用 し易 くなる. この
うず電流 回路 の過渡現象 を無視 し,(
1
8
)
,(
1
9
)
式 の微
) ) ) )
/
∩) 7
00
ノ
1
1 0
1
1
(
( ( (
O= MPi
m
q+uMi
m
d+Rl
i
L
q
ため には,電源の周波数 W に同期 した回転座標系で,
)
5
1
(
O= MPi
m
d- WMi
m
q+R,
L
l
(
d
を別 に考慮 したモデルが用い られている.
)
4
1
(
O- R,i
,
a
+PQ,
a- (
u -W,
)
￠,
q
O=R,i
,
q+PQ,
q+ (
W IW,
)
￠,
a
文献 (
8)で は, これ らの式 に さらに ヒステ リシス損
鉄損 を考慮す る と 6次の微分方程式 となるが, これ
この とき, (
6)式 は,以下の ように表せ る.
eq- Rr
i
S
q+P4
,
叩+山吹d
が成立す る.
2.
3鉄損 を考慮 した近似 モデル
ここで ,l
s,I
,:一次 ,二次漏れ インダクタンス
ed=Rs
i
a
+P￠s
d- Wd
,
s
q
分の項 を O と考 えれば よい.
この とき漏れ磁束分 を除いた鎖交磁束 は (
8), (
9)式
よ り次式 で与 え られ る.
Mi
md
=Mm(
i
d+i
,
a
)+a(
i
s
q+i
,
q
)
Mi
m
q=Mm(
i
叩+i,
q
)-a(
L
'
a
+i
,
a
)
モー タが発生す る トル クは次式 で与 え られる.
ここで ,a- Rm/u
Tp- pM (
i
,
a(
i
s
q+i
叩)-i
,
q(
,
l
s
d+,
'
(
A
)
)
Rm=
= p(
￠,
qi
,
d-Q,
ai
,
q
)
-p(
M/L,
)(
￠,
a(
i
s
q+i
c
q
)-Q,
q(
l
s
d+i
(
A
)
)
(
32)
￠,- I
,
I
,+ML
'
m
(
2
0
)
なお ,(
8
)
-(
2
0
)
式 は ,i
`
d
,i
.
qをそれぞれ, -i
`
J,
(
35)
Rt
.
2十 (
uM )2
M
R,
2
(
36)
Rr2+ (
wM )
2
F
-i
,
qと定義 し直す ことに よ り,文献 (
5),(
6)で用 い ら
Mm=
R(
(
wM )
2
れた式 と一致す る.文献 (
6)
が参照 している文献 (
8)で
上式 を用いて,(
1
4)
-(
1
7
)
式の鎖交磁束 を電流で表す
は空間ベ ク トルによるモテリレを使用 している. なお,
と次式の電圧方程式が得 られる川.
束の飽和 も考慮 されている.
α-β 静止 座 標 系 の場 合 には, 上 記 の式 で ,W - 0
o
とお き,文字 d,qをそれぞれ α,β に置 き換 えればよい･
ed A
)o
5)が参照 している文献 (
7)では,回転子鉄損 や磁
文献 (
空 間ベ ク トルを用 いたモデル も容易 に導出で きる.
(
R(
.- -で E M - 0の とき,上式 は基本 モデル に一致す
る. (
37)式 で,更 に aP - 0 と した近似 式 が文献 (
9)
で用 い られている.
これ を用いる と,(
1
4)
-(
1
9)
式 は次式 となる.
0=Rci
`
･
+MPi
m+jwMi
m
l ヽ
I .ー
0
0 0ノ 0
2 (
2 .
t
J
t
し
0- R,
i
,
+PQ
,
+j(WIW,
)
4
,
,
28)-(
3
0)
式 で ,W -0の
定常状態の等価 回路 は , (
w (
W :電源 角周波
静止座標 系 で考 え,改 めて p-j
敬) とお き, さらに空 間ベ ク トルをフェ-ザ に置 き換
えるこ とで次式が得 られる.
なお , (1
0)- (
1
3)式 よ り
￠Y- L
T
i
T+Mi
m
d
(
37)式 は,後述の直列励磁 回路 の定数 を含 む. なお,
+
広 - RJ+P41S+ju41
,
ここで ,LS- L
s
+Mm,L,= I
,+Mm,us=W-W,
(
im
(
￠,
R,+叫.
a+i,
P
叩 叩
+
-W∫
L,十 aP
2
4,
wJ,-aP
Rm+Mmp
(
a j￠叩
￠,
= ￠,
d
+j q
i
m= d
+jimq
i(= L
'
(
･
d j
i
(
･
q
晩-
(
,= i,
d
+ji
,
q
l
Mm aP
*R,w+u
s
a+L,
P
d
+
(
i
､= L∫d j
L
'
叩
) ) ) ) ) ) )
1 2
2 3
4 5
07
2
2 ′
2
2
2
(
.
,= es
d
+ jes
q
e
-wMm+aP
Rm+MmP
空間ベ ク トルを次式 で定義す る.
E- R,
I
一
十j
wV!
(
31)
0- R,
I
,+j(
W-W,
)V,
70
辻
峰男 ･本城
隆 ･泉
勝弘
とお ける. (
1
6)式 に (
8),(
1
2)
式 を用 い る と
￠d =
〟
諦 丁(Lsd+L'cd)
(
42)
が得 られ る. また , (
9)
,(
1
3)
,(
1
7)
式 よ り,次式 が求
まる.
(
a
) Pa
r
a
l
l
e
le
x
c
i
t
i
n
gc
i
r
c
u
i
t
･Z
･
c
q
,
蓋
W - wr･
(,
･
s
q
(
43)
鉄損 回路 の過渡現 象 を無視 し, (
1
8)
,(
1
9)式 の微 分項
を Oとお くと,鉄損 回路 の電流 は次式 で表せ る.
icd
- :
i
-:A: -
一豊
叩+icq,
(
44)
(i
千
(
b
) Se
r
i
e
se
x
i
一
i
n
gc
i
r
c
u
i
t
･
C
.- 一芸
(
Qr
d
･L
r(
i
s
d･i
c
d,
)
(
45)
t
･
Fi
g.
2 St
e
a
d
y
s
t
a
t
ee
q
u
l
V
a
l
e
n
tc
i
r
c
u
i
トル クは (
2
0)
式 より
0- RcI【
･
+jwMIm
(
40)
これ よ り, 図 2 (
a)が得 られ る.励磁 回路 を直列 回路
に変換 す る と (
b)が得 られ る.Rn
.
,Mm は, (
35)
,(
3
6)
式 で定 義 した もの と- 敦 す る.直列 回路 の R
h
,は,並
列 回路 の Rcに比 べ 周 波 数 に対 す る変化 が大 きい
`■
0'.
なお,鉄損抵抗 を固定子側 の イ ンダクタンス に並列 に
配置す る 4次 のモデル も提案 されてい る州.
T
e=p(M/
L,
)￠,
A(
j
s
q+i
c
q)
となる. これ らの式 か ら鉄損 を考慮 したベ ク トル制御
を図 3の ように提 案す る.
4.最大効率制御
o
s
sと
定常状態 で Rcの鉄損 と Rs,R,の銅損 の和 を p,
す る と,pt
o
s
sは次式 で与 え られ る.
p,
o
s
,- Rs
(
'
'
S
2
d
+i
s
2
q
)
+R,(i,
2
d+i
,
2
q
)+Rc(i
c
2
d
+.
.
C
2
q
) (
47)
3.鉄損 を考慮 したベ ク トル制御
二次磁 束 に同期 して回転 す る d-q座標系 を選 び ,d
軸 を二次磁 束 の方 向 に一致 させ る と
であ る. 定常状態 で, (
41)
式 が成立す る と して, (
47)
m
qで表す と,次式 を得 る･
式 中の電流 をすべ て, i
m
d,i
(
41
)
Q,
q- 0
(
46)
+ Fi
g･
3 Ve
c
t
o
rc
o
n
t
r
o
ls
y
s
t
e
mt
a
k
i
n
gI
n
t
oi
r
o
nl
o
s
s
･
鉄損 を考慮 した誘導 モー タの数学 モデル とベ ク トル制御
71
5.解析結果
- - Ai
l･Bi
か 2 s号
R
p /
晋
(
48)
E
･
-d t
-q
ここで,
1
.
5kW の誘導モー タで,回転速度指令 の ステ ップ変
化 に対す るシ ミュ レー シ ョン応答 を中速及び高速運転
に対 しそれぞれ図 4, 図 5に示す .図 (
a)は鉄損 を制
御器側 に考慮 していない場合で,図 3で
)
2 笠)
2
l
･(
晋
A - RT
t
)･Rc(
当 し, (
b)は制御 器側 に鉄損 を考慮 した提 案方式 の結
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果 であ る.実際 の誘導 モ ー タは, (
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20)式 に よ り
鉄損 を厳密 に考慮 したモデルで計算 してい る.なお,
比較のため効率制御 は省いている.制御器側 に鉄損 を
発生 トル クは, (
41
)式が成立す る とき
考慮 していない場合, トル クと二次磁束の波形 におい
(
49)
TP- P(M 2/
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と表せ る. (
48)式 の第 3項 は発生 トル クに比例す るの
で一定 とし,損失 を最小化す る ように電流 を配分す る
と,次式 を得 る.
て制御器 の演算値 と実際値 に差 が生 じてい るが , (
b)
の提案方式では演算値 と実際値がほ とん ど一致 してい
る.また,図 4より図 5の方が差が大 きくなってお り,
高速時 は鉄損 の影響 を受 けやすい ことが わかる.
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図 6は, 回転数が (
a)
50 叩mの時 と (
b)1
7 r
pmでの
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,
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-正 す
(
50)
よって,磁束電流指令 を次式 で与 える と効率 は最大 と
なる.
負荷 トル クに対す る効率の定常特性 である.最大効率
制御 は (
51
)式 を用 いて磁束分電流指令値 を トル ク指令
値 によって変化 させ て解析 した.磁束一定制御方式で
は,(
a),(
b)とも低 トル ク領域 で効率 が悪化 してい る
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(
51
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の に対 し,最大効率制御 による結果では全 トル ク領域
で最大効率が得 られている.
ただ し,
6.あ とが き
鉄損 を考慮 した誘導モー タの数学 モデルに関 し,系
統的理論展 開 を行 った. この結果,等価 うず電流 回路
を有す る d-qモ デルは一般 的で, これ らの解析 ･制
御 の出発点 と して有用であ る と考 え られ る. また, こ
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のモ デ ル に立脚 し比 較 的簡単 な構 成 のベ ク トル制御 法
を最大効率 制御 を も含 め て提 案 し, シ ミュ レー シ ョン
に よ りその有 効性 を確 認 した.
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2,711
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