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` DI BRESCIA - FACOLTA
` DI INGEGNERIA
UNIVERSITA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R)
si considerino le rette(
(
(
x−y =1
x+y−z =0
x+y−z =1
r:
, s:
et:
. Si determini
x−z =1
x=0
x=0
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
y−z =0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
y+z+2=0
risposta: (pt. 4)
x=0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : y+3z = 0, β : x+y = 1
e γ : x + ky + 3z = 1 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k=2
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= 2
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
x=1
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 4
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (1, 0, 0) r = 3
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (1, 0, 3)
(
x=1
√
risposta: (pt. 4)
x + 3z − 4 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x+y =1
descritta dal punto P (2, 2, 2) nella rotazione di asse s :
x+z =0
(
x−y−z+2=0
x2 + (y − 1)2 + z 2 = 9
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
y=1
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : x = y − 1 = 0
z = x2
risposta: (pt. 4)
risposta: (pt. 5)
x2 + (y − 1)2 = z
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` DI BRESCIA - FACOLTA
` DI INGEGNERIA
UNIVERSITA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R) si(considerino le rette (
(
x+y−z =0
y + z = −3
y+z =0
r:
, s:
et:
. Si determini
−y + z = 3
x+z =3
x+z =3
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
2x − y + z − 9 = 0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
x+y−z =0
risposta: (pt. 4)
y+z =0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : 2x+y = 1, β : x+z = 0
e γ : kx + y + z = 1 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k=3
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= 3
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
y=2
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 9
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (0, 2, 0) r = 5
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (0, 2, 5)
(
y=2
√
risposta: (pt. 4)
2y + 5z − 9 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x−y =0
descritta dal punto P (1, 2, 3) nella rotazione di asse s :
x+z =1
(
x+y−z =0
x2 + y 2 + (z − 1)2 = 9
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
z=2
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : y = z − 2 = 0
x = y2
risposta: (pt. 4)
risposta: (pt. 5)
y 2 + (z − 2)2 = x
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UNIVERSITA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R)
si considerino le rette
(
(
(
x−z =2
x + z = −2
x+y =1
r:
, s:
et:
. Si determini
x+y =2
y=2
z = −1
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
x + 2y + z − 2 = 0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
x−y =0
risposta: (pt. 4)
z+1=0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : x − 2z = −2,
β : 2x + y = 1 e γ : kx + y + 2z = 3 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k=1
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= 1
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
z=2
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 16
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (0, 0, 2) r = 2 3
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (2 3, 0, 2)
(
z=2
√
risposta: (pt. 4)
2 3x + 2z − 16 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x+y =0
descritta dal punto P (1, 1, −1) nella rotazione di asse s :
y+z =2
(
x−y+z+1=0
x2 + y 2 + (z − 2)2 = 11
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
x=1
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : x − 1 = y = 0
z = y2
risposta: (pt. 5)
(x − 1)2 + y 2 = z
risposta: (pt. 4)
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UNIVERSITA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R) si( considerino le rette(
(
y + 2z = 2
2y − z = 3
2x − z = 0
r:
, s:
et:
. Si determini
x − 3z = −1
−x + y = 2
−x + y = 2
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
x+y−z−1=0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
x−y+2=0
risposta: (pt. 4)
x + 4y + 5z − 7 = 0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : y−2z = 0, β : x+2y = 1
e γ : kx + y + 2z = 1 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k=1
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= 1
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
z=1
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 4
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (0, 0, 1) r = 3
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (0, 3, 1)
(
z=1
√
risposta: (pt. 4)
3y + z − 4 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x−y =2
descritta dal punto P (2, 1, 1) nella rotazione di asse s :
y−z =0
(
x+y+z−4=0
(x − 2)2 + y 2 + z 2 = 2
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
y=2
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : z = y − 2 = 0
x = z2
risposta: (pt. 5)
(y − 2)2 + z 2 = x
risposta: (pt. 4)
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` DI INGEGNERIA
UNIVERSITA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R)(si considerino le rette
(
(
x + z = −2
x+y =2
x + y = −1
r:
, s:
et:
. Si determini
y+z =0
z = −2
z=1
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
x + y + 2z + 2 = 0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
x−y+2=0
risposta: (pt. 4)
2y − z = 0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : 2x−y = 0, β : y−z = 1
e γ : 4x + y + kz = 3 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k = −3
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= −3
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
y=2
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 16
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (0, 2, 0) r = 2 3
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (0, 2, 2 3)
(
y=2
√
risposta: (pt. 4)
2y + 2 3z − 16 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x+z =1
descritta dal punto P (1, 1, 2) nella rotazione di asse s :
y−z =0
(
x−y−z+2=0
(x − 1)2 + y 2 + z 2 = 5
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
z=1
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : y = z − 1 = 0
x = y2
risposta: (pt. 5)
y 2 + (z − 1)2 = x
risposta: (pt. 4)
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Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2002
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO
1. In E3 (R)(si considerino le rette
(
(
2x + z = 1
x+z =1
x+z =0
r:
, s:
et:
. Si determini
x−y =1
2x − y = 1
x − y = −1
a. un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed s;
risposta: (pt. 3)
3x − y + z − 2 = 0
b. una rappresentazione
cartesiana della retta h incidente r e t e ortogonale ad entrambe;
(
x+y+1=0
risposta: (pt. 4)
z−1=0
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si dica per quali valori reali di k i piani α : x−y = 0, β : x+2z = 2
e γ : 2x − y + kz = 2 appartengono
a. ad uno stesso fascio proprio;
risposta: (pt. 4)
k=2
b. ad una stessa stella propria.
risposta: (pt. 4)
k 6= 2
(
ESERCIZIO 3. In E3 (R), data la circonferenza C :
x=2
, si determinino
x2 + y 2 + z 2 = 9
a. centro e raggio di C
√
risposta: (pt. 2)
C = (2, 0, 0) r = 5
√
b. una rappresentazione
cartesiana della tangente a C in P = (2, 0, 5)
(
x=2
√
risposta: (pt. 4)
.
2x + 5z − 9 = 0
ESERCIZIO 4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza
(
x−z =0
descritta dal punto P (2, 1, 1) nella rotazione di asse s :
y+z =2
(
x−y+z−2=0
x2 + (y − 2)2 + z 2 = 6
ESERCIZIO 5.
In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della superficie descritta
(
z=2
dalla curva C :
nella rotazione di asse a : x = z − 2 = 0
y = x2
risposta: (pt. 5)
x2 + (z − 2)2 = y
risposta: (pt. 4)

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