Problema n°1 Un condensatore 1 di capacità C1 =0.7 mF è collegato in serie con un condensatore 2 di capacità C2=0.3mF. Questa combinazione è collegata in parallelo con un condensatore 3 di capacità C3=0.4m F . Ai capi di tale sistema viene applicata una tensione V0=24 V. Si calcoli a) La capacità risultante C del sistema; b) Le tensioni V1, V2, V3 ai capi di ciascun condensatore. Supponendo che ai capi dell’intero sistema sia mantenuta la tensione V0 , il condensatore 2 viene, poi, riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 2 In tali condizioni, si calcolino: c) Le cariche q’1, q’2, q’3 presenti sulle armature di ciascun condensatore C1 = 0,7 mF = 710-7 F capacità numero 1 C2 = 0,3 mF = 310-7 F capacità numero 2 C3 = 0,4 mF = 410-7 F capacità numero 3 V0 = 24 V tensione ai capi del circuito Ceq = ? capacità del sistema (capacità equivalente) V1 = ? - V2 = ? - V3 = ? tensioni ai capi dei condensatori La capacità equivalente si determina risolvendo prima la serie tra C1 e C2 1 1 1 𝐶1 ∙ 𝐶2 = + 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝐶12 = 𝐶12 𝐶1 𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 Questa è in parallelo con C3 quindi: 𝐶1 ∙ 𝐶2 21 ∙ 10−14 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶3 + 𝐶12 = 𝐶3 + = 4 ∙ 10−7 + = 6,1 ∙ 10−7 𝐹 𝐶1 + 𝐶2 10 ∙ 10−7 La tensione ai capi del tratto in cui vi è solo C3 e del tratto in cui vi sono C1 e C2 è uguale a quella fornita dal generatore, quindi: 𝑉3 = 𝑉0 = 24 𝑉 𝑉12 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉0 = 24 𝑉 (1) La carica presente su C1 e C2 è uguale, quindi: 𝑞1 = 𝐶1 ∙ 𝑉1 𝑞2 = 𝐶2 ∙ 𝑉2 𝑉1 = 𝐶2 ∙ 𝑉2 𝐶1 𝑐ℎ𝑒, 𝑖𝑛𝑠𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎 1 , 𝑑𝑎: 𝑉2 = 𝑉0 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝐶1 ∙ 𝑉1 = 𝐶2 ∙ 𝑉2 𝐶2 ∙ 𝑉2 + 𝑉2 = 𝑉0 𝐶1 = 16,8 𝑉 𝑒 𝑉1 = 𝐶2 ∙ 𝑉2 = 7,2 𝑉 𝐶1 𝐶2 + 1 𝑉2 = 𝑉0 𝐶1 𝐶2 𝐶1 + 1 Relativamente al quesito c) si deve considerare che inserendo un dielettrico in un condensatore, questo vede modificata la propria capacità secondo la relazione 𝐶2′ = 𝜀𝑟 ∙ 𝐶2 = 6 ∙ 10−7 𝐹 ’ Sostituendo C2 a C2 nelle relazioni che permettono di calcolare V2 e V1 si otterrano le V2’ e V1’ e da queste si possono calcolare q1’ e q2’ ---- eseguite i calcoli!!! PROCESSO DI CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE (cap. 6 pagg. 199-200 del libro di testo) PROCESSO DI CARICA Un condensatore può essere caricato per mezzo di un generatore di f.e.m., con resistenza interna trascurabile, collegato tramite un resistore. Durante il processo, la carica sulle armature cresce nel tempo ed è quindi una funzione Q(t) Possiamo scrivere la relazione della carica in funzione del tempo: 𝑡 𝑡 𝑄 𝑡 = 𝑄0 ∙ 1 − 𝑒 −𝑅𝐶 = 𝐶 ∙ ℰ ∙ 1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ℰ ≡ 𝑉0 𝑛𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑖 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜 Q0 carica massima accumulabile su C RC = costante di tempo La corrente, variabile dal valore massimo data dalla relazione: ℰ 𝑅 a zero (quando le armature sono completamente cariche) è 𝑖 𝑡 = ℰ −𝑡 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑅 PROCESSO DI SCARICA Un condensatore può essere scaricato per mezzo di un circuito come in figura, nel momento che l’interruttore viene posizionato su B, quindi il condensatore (carico) si scaricherà direttamente su R. Durante il processo, la carica sulle armature decrescerà nel tempo, fino ad annullarsi, sempre in funzione del tempo Possiamo scrivere la relazione della carica in funzione del tempo: 𝑡 𝑄 𝑡 = 𝑄0 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶 La corrente, variabile dal valore massimo data dalla relazione: ℰ 𝑅 a zero (quando le armature sono completamente scariche) è 𝑖 𝑡 = 𝑄0 − 𝑡 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑅𝐶 Poiché ℰ 𝑡 =𝑅∙𝑖 𝑡 𝑠𝑖 ℎ𝑎 ℰ 𝑡 = 𝑅 ∙ 𝑄0 − 𝑡 𝑄0 − 𝑡 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 = ∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶 Problema n°2 Due condensatori di capacità C = 6 F, due resistenze R = 2,2 k ed una batteria da 12 V sono collegati in serie come in Figura. I condensatori sono inizialmente scarichi. Calcolare: 1. la corrente iniziale nel circuito (cioè non appena il circuito viene chiuso) 2. il tempo necessario perchè la corrente scenda al valore I = 1,2 mA C = 6 F = 610-6 F capacità dei condensatori -3 R = 2,2 k = 2,210 resistenza dei resistori I0 = ? corrente iniziale t = ? tempo necessario affinché I scenda a 1,2 mA Semplifichiamo, dapprima, il circuito, calcolando la resistenza equivalente e la capacità equivalente. 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4,4 𝑘Ω 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 ∙ 𝐶2 𝐶2 𝐶 = = = 3 ∙ 10−6 𝐹 𝐶1 + 𝐶2 2 ∙ 𝐶 2 Il circuito si semplifica come in figura Alla chiusura dell'interruttore, il condensatore Ceq inizia a sentire la differenza di potenziale fornita dal generatore, e dunque inizia ad accumularsi carica sulle sue armature, permettendo il passaggio di corrente lungo il circuito. Per 𝑡 ∞ , fra le armature del condensatore vi sarà una d.d.p. pari alla tensione fornita dal generatore; a quel punto, nel circuito non scorrerà più corrente. La presenza della resistenza ha l'effetto di distribuire nel tempo il caricamento del condensatore; se i collegamenti fra il generatore e il condensatore non presentassero resistenza, la carica del condensatore avverrebbe idealmente in un tempo istantaneo. La corrente al tempo t=0 si determina dalla relazione di i in funzione di t: 𝑖 0 = ℰ −0 12 𝑉 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 = ∙ 1 = 2,7 𝑚𝐴 𝑅 4,4 ∙ 103 Ω La corrente al tempo tx sarà uguale a 1,2 mA, quindi: 𝑖 𝑡𝑥 = 𝑡 ℰ − 𝑡𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 → 1,2 ∙ 10−3 = 2,7 ∙ 10−3 ∙ 𝑒 0,0132 𝑅 (1) Poiché: 𝑅 ∙ 𝐶 = 𝑅𝑒𝑞 ∙ 𝐶𝑒𝑞 = 4,4 ∙ 103 ∙ 3 ∙ 10−6 = 0,0132 𝑠 Risolvendo la (1): 𝑒 𝑡 − 𝑥 0,0132 = 0,44 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 − 𝑡𝑥 = log 𝑒 0,44 0,0132 → 𝑡𝑥 = 0,011𝑠 Risolvere il seguente problema: Nel circuito in Figura si hanno R1 = 850 , R2 = 250 , R3 = 750 , C = 150 F, V = 12 V. Inizialmente, l'interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All'istante t = 0 si apre l'interruttore ed il condensatore comincia a scaricarsi. Determinare: 1. quanto vale la costante di tempo per la scarica 2. quanto vale la tensione ai capi del condensatore dopo che è trascorso un tempo pari ad una volta la costante di tempo (cioè dopo un tempo t =
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