11prova

FISICA
A.A. 2013-2014
Ingegneria Gestionale
11° prova del 23 Maggio 2014
a
1. Calcolare la capacità del condensatore descritto in figura. Le due armature
entrambe quadrate di lato a=10cm, ma non parallele, si trovano ad una distanza
minima d=2cm. Indicando con  l’angolo fra le due armature, notiamo che
esse non si affacciano perfettamente. In questo caso possiamo assumere che
l’effetto di induzione completa tipico nei condensatori riguarda solo una parte
dell’armatura inferiore corrispondente alla distanza L=a cos().
L
b
d
+ + + + + + + + a/2
- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - -
a
3. Un condensatore sferico è costituito da due conduttori sferici concentrici
di raggi R1=2mm e R2=4mm. Le due armature si trovano inizialmente ad
una differenza di potenziale Vo=V1-V2=360 V, che diminuisce del 20%
quando viene inserita una lastra omogenea di costante dielettrica relativa r e
di spessore =1mm. Determinare i valori della costante r, della carica libera
Qlib sulle piastre.
5. Un condensatore piano è costituito da due armature quadrate di
sezione S=1cm2 distanziate d=1mm. Avendo a disposizione 4 blocchi
dielettrici di medesima forma parallelepipeda di materiali differenti con
costanti dielettriche relative r1=1.5, r1=2, r3=3, r4=1.2 ma con sezioni
S/2 e spessori d/2 che ben si adattano a riempire completamente lo spazio
fra le armature, determinare quale sequenza di dielettrici garantisce la
capacità minima e quale la capacità massima.
d
+++++++++++++++
- - - - - - -- - -
2. Calcolare la capacità del condensatore piano costituito da due armature
quadrate di lato a poste alla distanza d come riportato in figura. All’interno
del condensatore è posizionato un conduttore metallico parallelepipedo di
spessore b e di sezione rettangolare a X a/2. (suggerimento: ipotizzare la
presenza di carica sulle armature superiore ed inferiore e per induzione sulle
superfici del condutture metallico)
4. Un condensatore a facce piane e parallele ha nel vuoto una capacità
di Co=8F. Successivamente viene riempito per metà superficie con un
dielettrico di costante r1=1.4 e per l’altra metà con un altro dielettrico
di costante dielettrica relativa r2=1.6 secondo lo schema in figura (a).
Calcolare la nuova capacità ed il rapporto fra le cariche di
polarizzazione sui due dielettrici. Ripetere l’esercizio per il caso (b) in
cui i due dielettrici sono disposti uno sull’altro. Dimostrare che il
rapporto fra le capacità dei due condensatori nei due casi vale sempre
Ca/Cb >1 per qualunque valore delle costanti dielettriche.

R2

1
2
r 
R1
A
(a)
r1
r2
B
d
A
r1
r2
d/2
d/2
B
A
d
B
6. Un condensatore è formato da due cilindri coassiali di lunghezza comune L=5cm, e di raggio
rispettivamente R1=5mm ed R2=8mm. Esso è riempito con un dielettrico non omogeneo di costante
dielettrica relativa funzione della distanza r dall’asse dei cilindri r(r)= R2/r. Determinare la capacità
complessiva del condensatore in esame.
(b)
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Ingegneria Gestionale
Soluzioni della 11a prova
y
1. L’armatura obliqua superiore A può pensarsi scomponibile in una
serie infinita di gradini di lunghezza dx ed altezza dy. Ciascun gradino
forma con l’armatura inferiore B un condensatore piano (regione grigia)
di sezione adx, e capacità dC   o adx y , dove la distanza fra le
armature è variabile y  x   d  x  tg . La capacità dell’intera struttura
è data dalla somma di tutte le capacità dC di tutti gli infiniti
condensatori piani in parallelo, da cui si ottiene
A
y(x)
x
dx
L
B
a cos 
a
dx
 a
 a  asin 
a cos 
C   dC    o dx   o a 
 o ln d  x  tg 0
 o ln1 
 =3.66 pF
y
d  x  tg tg
tg 
d 
0
0
L
2. Il dispositivo può essere visto come un condensatore di capacità
a2 2
C1   o
locato nel semispazio sinistro in parallelo con la serie dei due
d
a2 2
a2 2
condensatori del semispazio destro C2   o
e C3   o
. Questi d
L2
L3
ultimi
sono
dotati
di
una
capacità
complessiva
2
2
CC
a 2
a 2
Cserie  1 2   o
 o
. La capacità totale è quindi data dal
C1  C2
L2  L3
d b
2d  b
parallelo di C1 e Cserie Ctot  C1  Cserie   o a 2
.
2d  b 
A
a2/2
a2/2
C
C
L2
C
L3
B
(a)
3. In un condensatore sferico in presenza o meno del dielettrico (casi a,b) le
linee di forza del campo elettrico E sono sempre radiali dirette dalla carica
positiva +Qlib verso la carica negativa -Qlib. Per Gauss il campo elettrico è
non nullo solo nello spazio interno e vale E r   Qlib 4 o  r r 2 valida per
tutti i punti interni del condensatore (R1<r<R2). In particolare nel caso a) il
campo elettrico è nel vuoto e vale Eo r   Dr   o  Qlib 4 o r 2 mentre in
presenza di dielettrico (caso b) vale E r   Qlib 4 o  r r 2 In generale la
differenza di potenziale fra i due conduttori si ottiene integrando il campo
elettrico lungo un percorso radiale da R1 ad R2; nel caso (a) in assenza di
R
R2
Qlib 2 dr
Q R  R1
dielettrico si ottiene V1  V2   Eo dr 
dove è stato
 lib 2
2

4 o R1 r
4 o R1  R2
R1
D
Eo
R2
2

1
R1

D
R2
(b)
Eo
E
1
integrato il campo elettrico nel vuoto Eo. Nel caso (b) invece il valore di E nel
dielettrico si abbassa riducendo la differenza di potenziale
R1
S
 
r 
2
R 
R2

Qlib  1 1 dr
dr  Qlib  1
R2  R1   






2
2
  R  R    R     R  .




4
4
r
r
1
1
2
o  R1
r
o  r 1
R1
R1 
R1 

Imponendo che il rapporto fra le due differenze di potenziale (caso b/caso a) debba valere 0.8 si
1


2
da cui semplificando per ,
ricava il valore dir:

 0.8
 r R1  R1    R1     R2
R1  R2
V1  V2 
R1 
 Edr 
R2
 E0dr 
 1 .6

 0.6 R1  1.6 

1
R1
 R1  R1   

 0.7 da
  R1  R1   
  0 .6  1 .6
r
R2
R2
 R1  R2 R1     R2 
 R1     R2  R1 
cui si ricava  r  1.43 . La carica libera si ricava dal valore di Vo=360 nel caso (a) da cui
RR
Qlib  4 o Vo 1 2  5.02 10-10 C.
2
1
4. Un condensatore a facce piane e parallele ha nel vuoto capacità
Co   o S d dove S è la sua sezione e d la distanza fra le armature.
Quando viene riempito con due dielettrici di costanti dielettriche relative
r1 r2 come in figura a, la capacità complessiva può pensarsi come il
parallelo delle due capacità che competono ai due condensatori di metà
superficie S/2:
S 2
S 2
S   
  
Ca  C1  C2   o r1
  o r 2
  o  r1 r 2   Co  r1 r 2  =
d
d
d
2
2



=1.5 Co=12F.
A
r1
d
A
(b)
+Qlib A
Nel caso (b), posta sul conduttore A la carica Qlib,, i campi elettrici nei due
dielettrici sono rispettivamente a E1   lib  o r1  Qlib S o r1 e d/2
E2  Qlib S o r 2 (campi uniformi). La differenza di potenziale che si
B
r2
B
d/2
instaura fra le due armature è VA  VB   Edl  E1
(a)
S/2
S/2
d
d Q d  
 E2  lib r1 r 2
2
2 2S o  r1 r 2
r1
E1
r2
E2
-Qlib B
e quindi la capacità
 2  
Qlib
S  2  
Cb 
  o  r1 r 2   Co  r1 r 2  =11.95F e
VA  VB
d   r1   r 2 
  r1   r 2 
      2  
E’ facile trovare che vale sempre Ca>Cb. Ciò corrisponde alla condizione  r1 r 2    r1 r 2 
2

   r1   r 2 

da cui  r21  2 r1 r 2   r22  0 e quindi  r1   r 2

2
 0 che è sempre vera se  r1   r 2 .
5. Il condensatore può essere visto come formato da 4 condensatori di
S 2
sezione S/2 e spessore d/2 di capacità generica C   o r
  r Co
d 2
I condensatori sono disposti in modo tale che A e B sono in serie tra
loro dando vita ad una capacità del lato sinistro
 
C ACB
Cs 
 Co A B così come i condensatori C e D sono tra
C A  CB
 A  B
S/2
d/2
CA
CC
CB
CD
 
CC CD
 Cd C D
C   D
CC  CD
La capacità totale del sistema si ottiene calcolando il parallelo complessivo
  
  
     A B D   A C D   B C D
. Si noti che il
Ctot  Cs  Cd  Co  A B  C D   Co A B C
 A   B  C   D 
  A   B C   D 
numeratore è indipendente dalla disposizione di ABCD mentre per minimizzare/massimizzare la
capacità occorre massimizzare/minimizzare il denominatore. Nel nostro caso il valore minimo del
denominatore si ha per  r1   r 4  r 2   r 3   13.5 cui corrisponde la capacità Cmax=1.65pF
ed il massimo  r1   r 2  r 3   r 4   14.7 cui corrisponde la capacità Cmin=1.52pF
loro in serie dando luogo ad una capacità complessiva del lato destro Cd 
6. Il vettore campo elettrico, come in ogni condensatore ideale, è non nullo solo nello spazio fra le
Q
Q
armature del condensatore, avendo intensità E r  

(per R1<r<R2)
2 o rLR2 r  2 o LR2
risulta inaspettatamente di intensità costante in tutto il condensatore. Questa condizione è dovuta
alla particolare disomogeneità del dielettrico che compensa il tradizionale andamento 1/r che E
avrebbe avuto se non ci fosse stato il dielettrico. La differenza di potenziale fra le due armature si
R2
Q R2  R1
calcola quindi come V   Edr 
, da cui la capacità
2 o L R2
R1
C
Q
R2
 2 o L
 7.4 pF
V
R2  R1

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