Eagle Strike

Revisione
gen. 2015
Le SEZIONI CONICHE reali
Elementi e metodi operativi
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
Apollonio da Perga
Perga (~ 262-190 a. C.)
1
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
2
LE SEZIONI CONICHE REALI
1.
LA SUPERFICIE CONICA GENERATRICE
Seguendo la presentazione classica, le caratteristiche geometriche di una sezione conica reale sono
determinate a partire da una superficie conica infinita, circolare-retta e a due falde. La scelta che
la superficie conica sia a due falde è necessaria affinché il piano secante, e.g., il piano X ×Y di
rappresentazione cartesiana, incontri la superficie quale che sia l’inclinazione dell’asse del cono.
Fig. 1.1 – Superficie conica a due falde
Fig. 1.2 – Asse del cono
Una superficie conica circolare-retta a due falde, Ξ , può essere definita con metodi vettoriali
elementari. Poi, tagliando Ξ con il piano X ×Y , si determina una linea piana K , detta sezione
conica, ottenendo una conoscenza dettagliata della struttura dei coefficienti nella rappresentazione
della sezione in termini dei parametri caratteristici di Ξ .
Parametri sufficienti per una costruzione dell’equazione di una superficie conica circolare-retta a
due falde sono:
1.1
1.2
1.3
le coordinate spaziali del vertice: V ≡ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ≡ r0 ;
ˆ ≡ (n x ; n y ; n z ) . Le misure delle componenti di nˆ sono i
il versore assiale assegnato n
coseni direttori dell’asse del cono nello spazio X ×Y × Z ;
l’angolo di semi-apertura del cono, polare vs. l’asse direttore nˆ e di ampiezza (in rad)
α ∈ ( 0 ; π /2 ) , che fornisce il parametro di proiezione assiale κ := cos α ( > 0 ).
Pertanto, se r ≡ (x ; y ; z ) è un punto generico di Ξ , l’equazione scalare di questa superficie si
scompone sinteticamente in
(r − r0 ) ⋅ nˆ = ± | r − r0 | κ .
Fig. 2.1 – Ellisse
Fig. 2.2 – Parabola
(1)
Fig. 2.3 – Iperbole
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
3
Fig. 2.4 – Circonferenza
L’ambiguità di segno nell’Eq. (1) indica la simmetria centrale della superficie conica rispetto al
suo vertice V . Tale ambiguità viene mascherata elevando al quadrato i membri dell’Eq. (1),
((r − r0 ) ⋅ nˆ )2 = (r − r0 )2κ 2 ,
(2)
i.e., in rappresentazione scalare cartesiana implicita,
((x − x 0 ) n x + (y − y 0 ) n y + (z − z 0 ) n z )2 − ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ) κ 2 = 0 .
(2.1)
L’espansione dei quadrati nell’Eq. (2.1) fornisce l’equazione quadrica implicita completa
Ax 2 + Cy 2 + M 1 z 2 + Bxy + M 2 xz + M 3 yz + D x + Ey + M 4 z + F = 0 ,
(3)
nella quale, le identificazioni dei coefficienti corrispondono alle espressioni reali seguenti:
A ≡ n x2 − κ 2 ,
(4.1)
B ≡ 2n x n y ,
(4.2)
C ≡ n y2 − κ 2 ,
(4.3)
D ≡ − 2 ((n x2 − κ 2 ) x 0 + (y 0n y + z 0n z ) n x ) ,
(4.4)
E ≡ − 2 ((n − κ ) y 0 + (x 0n x + z 0n z ) n y ) ,
2
y
2
(4.5)
F ≡ (x 0 n x + 2y 0 n y ) x 0n x + (y 0 n y + 2 z 0 n z ) y 0n y + (z 0 n z + 2 x 0 n x ) z 0 n z − (x + y + z ) κ , (4.6)
2
0
2
0
2
0
2
M 1 ≡ n z2 − κ 2 ,
(4.7)
M 2 ≡ 2n x n z ,
(4.8)
M 3 ≡ 2n y n z ,
(4.9)
M 4 ≡ − 2 ((n z2 − κ 2 ) z 0 + (x 0n x + y 0n z ) n z ) .
(4.10)
Imponendo z = 0 nell’Eq. (3), i.e., intersecando la superficie Ξ del cono con il piano X ×Y , si
determina l’equazione – a coefficienti reali – della sezione conica generica K nel piano stesso,
K : Ax 2 + Bx y + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
(5)
nella quale, almeno uno dei tre coefficienti A , B e C deve essere ≠ 0 .
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
2.
4
CLASSIFICAZIONE DELLE SEZIONI CONICHE
La natura di una conica K generata nel piano X ×Y è determinata da n z . Più precisamente, dal
confronto tra α e l’ampiezza sin −1|n z | dell’angolo compreso tra l’asse del cono e il piano X ×Y
(sarà utile un controllo grafico personale), si distinguono tre tipi di coniche:
se sin −1|n z | < α
ellisse,
parabola,
iperbole,
(con |n z | = 1 per la circonferenza ) , 

se sin −1|n z | = α ,


−1
se sin |n z | > α .

(6)
Ora, definito il parametro fondamentale
∆ := B 2 − 4 AC ,
(7)
detto il discriminante o l’invariante (isometrico) quadratico della conica K , si può scrivere, per
mezzo delle identità (4.1), …, (4.10),
∆ = 4 n x2 n y2 − 4 (n x2 − κ 2 ) (n y2 − κ 2 ) = 4 κ 2 (n x2 + n y2 − κ 2 )
= 4 κ 2 (1 − n z2 − (cos α )2 ) ≡ 4 κ 2 (( sin α )2 − n z2 ) .
Da ciò segue che il segno di ∆ coincide con quello del fattore (( sin α )2 − n z2 ) e, poiché
( sin α )2 − n z2 ⋚ 0 , rispettivamente, nel caso in cui sin −1|n z | ⋛ α ,
allora, il confronto con le relazioni (6) porta a concludere che,
 un’ ellisse (nel caso, una circonferenza) ,

se ∆ ⋚ 0 , K è, in modo corrispondente,  una parabola ,
 un’ iperbole ,

indipendentemente dal fatto che essa sia ordinaria o degenere.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
3.
5
ORTO-RIDUZIONE DELL’EQUAZIONE GENERALE
DI UNA CONICA ROTO-TRASLATA O RUOTATA
Nell’Eq. (5), il monomio rettangolare (o misto) Bxy costituisce l’indicatore dell’obliquità degli
assi di simmetria di K rispetto alle rette X e Y di riferimento cartesiano.
Ora, poiché ogni conica possiede due direzioni di simmetria ortogonali (per la parabola, la retta
direttrice può fungere da direzione di simmetria, associata all’asse ordinario), viene spontaneo
ruotare il sistema di riferimento xOy di un angolo di ampiezza ϕ opportuna – anti-orariamente
od orariamente – così che la rappresentazione di K nel sistema di riferimento ruotato, uO v ,
risulti ridotta (canonica) o, almeno, semi-ridotta (traslata), i.e., che non contiene più il monomio
rettangolare ( B ≡ 0 ). Una tale rotazione è quella generatrice di un’orto-riduzione di K .
Applicando le Eq. (A.6) per l’affinità rotazionale di parametro ϕ all’Eq. (5) e riordinando i termini
in forma implicita rispetto alle nuove variabili u e v , si determina la rappresentazione generale
trasformata (a coefficienti reali)
K : A'u 2 + B 'uv + C ' v 2 + D 'u + E ' v + F ' = 0 ,
(8)
nella quale, le espressioni dei coefficienti sono date, mediante i vari parametri originari, da
A'
B'
C'
D'
E'
F'
=
=
=
=
=
≡
(1/2) (A + C + (A − C ) cos 2ϕ + B sin 2ϕ ) ,
(C − A) sin 2 ϕ + B cos 2 ϕ ,
(1/2) (A + C − (A − C ) cos 2ϕ − B sin 2ϕ ) ,
D cos ϕ + E sin ϕ ,
− D sin ϕ + E cos ϕ ,
F.
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.5)
(9.6)
Imponendo la condizione B ' = 0 , i.e., (C − A) sin 2ϕ + B cos 2ϕ = 0 , segue,
● per A ≠ C , che
tan 2ϕ = B /(A − C ) e, quindi, che ϕ = tan −1 (B /(A − C )) + k π /2 ;
● per A = C , che
cos 2ϕ = 0 e, quindi, che ( ± 1 + 2 k ) π / 4 ( k ∈ Z ).
La scelta k = 0 , con A ≠ C , fornisce l’ampiezza minore possibile dell’angolo di rotazione del
sistema di riferimento xOy , sufficiente per determinare un’orto-riduzione di K :
 (1/2) tan −1 (B /(A − C )) , se A ≠ C ,
ϕ =
se A = C .
 π /4 ,
(10)
I valori delle varie quantità goniometriche che intervengono nella descrizione dell’orto-riduzione
(minore) di K , si ricavano osservando che 2 ϕ ∈ [− π /2 , π /2] e, quindi, che 0 ≤ cos 2ϕ ( ≤ 1 ).
Segue che 1/ 2 ≤ cos ϕ ( ≤ 1 ), mentre sin ϕ e tan ϕ hanno lo stesso segno di ϕ , risultando
|sin ϕ | ≤ 1/ 2 , |tan ϕ | ≤ 1 e, dalle Eq. (10), σ := sgn ϕ ≡ sgn (B /(A − C )) .
Pertanto, dopo aver calcolato, nell’ordine,
cos 2 ϕ ≡
1
1 + (tan 2ϕ )2
≡
sin 2ϕ ≡ σ 1 − (cos 2ϕ )2 =
|A − C |
(A − C )2 + B 2
σ |B |
,
(11.1)
,
(11.2)
(A − C )2 + B 2
a partire dalla prima delle condizioni (10) e tenendo conto del caso-limite costituito dalla seconda,
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
6
si esprimono, ∀ ϕ ∈ [ − π / 4, π / 4] ,
1 + cos 2ϕ
1
=
1+
2
2
cos ϕ ≡
sin ϕ ≡ σ
|A − C |
,
(A − C )2 + B 2
1 − cos 2ϕ
σ
=
1−
2
2
|A − C |
(A − C )2 + B 2
(12)
,
(13)
sin 2 ϕ
 A −C  A −C
= … = σ 1+
tan 2ϕ ≡
 −
 B 
1 + cos 2ϕ
B
2
(14)
e, quindi, la matrice di rotazione minima ( k = 0 ) generatrice di orto-riduzione, in forma generale,
 cos ϕ
R (ϕ ) := 
 sin ϕ
 1
1+

2

− sin ϕ 
 =
cos ϕ   σ
 2 1−

|A − C |
(A − C )2 + B 2
|A − C |
(A − C ) + B
2
2
−
σ
2
1−
1
1+
2
|A − C |
(A − C )2 + B 2
|A − C |
(A − C )2 + B 2



 .



↳ (15)
Invertendo l’Eq. (14) vs. la funzione tan , sostituendo le espressioni (12) e (13) e tenendo presente
che è B ≠ 0 , risulta, in forma sintetica equivalente alla coppia di Eq. (10),
2

A −C
 A −C 

ϕ = tan  σ 1 + 
 −
 B 
B

−1

 .

(16)
Infine, si costruiscono i coefficienti dell’Eq. trasformata (8) con la sostituzione delle Eq. (11), (14),
(12.1) e (12.2) nelle Eq. generali (9.1), …, (9.5),
A' =
B' =
C' =
D' =
E' =
1
(A − C )|A − C | + σ B |B | 
A +C +

 ,
2
2
2
−
+
(
A
C
)
B


0,
1
(A − C )|A − C | + σ B |B | 
A +C −

 ,
2
2
2
−
+
(
)
A
C
B


1 
|A − C |
|A − C |
+σE 1 −
D 1 +
2
2
2
(A − C ) + B
(A − C )2 + B 2

|A − C |
|A − C |
1 
−σD 1 −
E 1 +
2
2
2
(A − C ) + B
(A − C )2 + B 2

(17.1)
(17.2)
(17.3)

 ,



,


(17.4)
(17.5)
corrispondenti all’orto-riduzione minore possibile.
Chiaramente, per ogni rotazione rigida – che costituisce un’isometria – vale l’identità F ' ≡ F .
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
4.
7
CONICHE REALI DEGENERI
Una sezione conica K nel piano generalmente secante X ×Y è degenere se
4.1
4.2
X ×Y passa per il vertice V della superficie conica generatrice Ξ . Questa può essere
ordinaria o degenere (i.e., Ξ è una superficie cilindrica infinita, o cono improprio). Questo
corrisponde al fatto che V sia, rispettivamente, un punto o ordinario o improprio (i.e.,
all’infinito) [carattere geometrico di K ];
l’Eq. (5) nel piano X ×Y corrisponde al prodotto di due equazioni lineari in x e y (i.e.,
entrambe del tipo ax + by + c = 0 ) [carattere algebrico di K ].
Analizzando le tre coniche più specificamente, si distinguono i casi seguenti:
ellisse degenere:
il piano X ×Y passa per il vertice della superficie conica, V , che è l’unico
punto ordinario in comune. In tal caso, l’ellisse si riduce al suo centro, i.e.,
degenera nel suo centro (v. Fig. 3.1, il caso della circonferenza degenere);
parabola degenere:
il piano X ×Y passa per il vertice V del cono – un punto ordinario – ed è
tangente a questo lungo due sue rette generatrici coincidenti, appoggiate su
entrambe le falde coniche (v. Fig. 3.2),
oppure,
il piano X ×Y è tangente a un cilindro infinito (i.e., a un cono degenere,
con vertice all’infinito) lungo due rette generatrici del cilindro coincidenti
o distinte (in tal caso, parallele). Allora,
il membro sinistro nell’Eq. (5) o è l’espansione del quadrato di un trinomio
lineare, (ax + by + c )2 , o si fattorizza nel prodotto di due trinomi lineari,
(ax + by + c 1 ) (ax + by + c 2 ) , distinti unicamente per avere c 1 ≠ c 2 ;
iperbole degenere:
il piano X ×Y contiene l’asse del cono, i.e., passa per il vertice V del
cono – un punto ordinario – tagliandolo lungo due sue rette generatrici
distinte (ovviamente, concorrenti in V ) e tangenti a entrambe le falde
coniche. In altri termini, l’iperbole degenera nei suoi asintoti.
Pertanto,
il membro sinistro nell’Eq. (5) è separabile nel prodotto di due trinomi
lineari, distinti per almeno uno dei coefficienti delle variabili, i.e., risulta
(a 1 x + b1y + c 1 ) (a 2 x + b2 y + c 2 ) , con a 1 ≠ a 2 ∨ b1 ≠ b 2 .
Fig. 3.1 – Circonferenza degenere
Fig. 3.2 – Parabola degenere
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
5.
8
L’INVARIANTE CUBICO DI UNA CONICA
Una verifica diretta mostra che le Eq. generali (5) e (8) condividono, oltre ai parametri invarianti
lineare, Λ := A + C ≡ A' + C ' := Λ ' , e quadratico, ∆ := B 2 − 4 AC ≡ B ' 2 − 4 A' C ' := ∆ ' , anche
il parametro invariante cubico, Q , esprimibile come il determinante simmetrico
2A B
Q := B 2C
D E
≡
≡
D
E = 2 (BDE − AE 2 − C D 2 − F ∆ ) ,
2F
∆ (D 2 − 4 AF ) − (BD − 2 AE )2
2A
∆ (E 2 − 4CF ) − (BE − 2CD )2
2C
(18)
,
se A ≠ 0 ,
(18.1)
,
se C ≠ 0 .
(18.2)
≡ 2 (B ' D ' E ' − A' E ' 2 − C ' D ' 2 − F ∆ ' ) := Q ' .
(18.3)
Ora, si possono ricavare i fattori lineari in cui si scinde l’equazione di una sezione conica
degenere risolvendo l’Eq. (5) rispetto all’una o all’altra delle variabili x e y .
Infatti, con A ≠ 0 , si ottiene
x =
−By − D ± Φ (y )
,
2A
(19)
dove,
Φ (y ) := ∆ ⋅ y 2 + 2 (BD − 2 AE ) y + D 2 − 4 AF ,
(19.1)
mentre, con C ≠ 0 , vale l’espressione analoga
y =
−Bx − E ± Ψ (x )
,
2C
(20)
nella quale,
Ψ (x ) := ∆ ⋅ x 2 + 2 (BE − 2CD ) x + E 2 − 4CF .
(20.1)
La condizione di degenerazione di K implica che Φ (y ) e Ψ (x ) siano trinomi quadratici perfetti
vs. x e y , rispettivamente. In quanto segue, la discussione viene riferita alle Eq. (19) e (19.1). Per
simmetria evidente di scambio tra i termini dell’Eq. (5) ( x y , A C , D E , B B ,
F F ), l’analisi si applica in modo identico alle Eq. (20) e (20.1), con modificazioni ovvie nei
dettagli di procedimento.
Dunque, nel caso di un’iperbole o di una parabola degeneri, le equazioni delle due rette di
degenerazione sono specificate dalle soluzioni (19), con Φ (y ) ≥ 0 .
Nel caso di un’ellisse reale degenere (nel suo centro), si avrà, in generale, che Φ (y ) ≤ 0 perché,
tenuto conto che Φ (y ) deve essere un trinomio quadratico perfetto, l’unico valore (doppio) reale
di y che annulla Φ (y ) corrisponde all’ordinata del centro (di degenerazione) dell’ellisse. Il
valore dell’ascissa di tale centro si calcola dall’Eq. (19).
Il problema dell’ellisse reale degenere è risolto, in modo equivalente, dalle formule (23), v. p. 13.
D’altra parte, quando l’Eq. (5) (a coefficienti reali!) rappresenta un’ellisse, questa potrebbe essere
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
9
costituita da punti non-reali (ellisse complessa). In tale eventualità, conviene sfruttare l’invarianza
per roto-traslazione dei parametri Λ e Q , costruendo il parametro invariante composto Λ ' Q '
corrispondente, per semplicità, alla forma canonica dell’ellisse.
Così, considerata la rappresentazione implicita specifica dell’ellisse reale,
b 2u 2 + a 2v 2 − a 2b 2 = 0 ,
dalle Eq. (18) e (18.3), vale sempre l’identità
Λ Q ≡ Λ ' Q ' = (A' + C ' ) ⋅2 ( B ' D ' E ' − A' E ' 2 − C ' D ' 2 − F ' ( B ' 2 − 4 A'C ' ))
≡ − 8 (a 2 + b 2 ) a 4 b 4 < 0 ,
essendo, evidentemente, F ' ≡ − a 2b 2 < 0 .
D’altra parte, l’eventualità opposta di trovare Λ Q > 0 , i.e., che l’orto-riduzione canonica fornisca
il termine costante F ' > 0 e, da questo, che sia, necessariamente, F ' ≠ − a 2b 2 , porta al criterio
sufficiente di riconoscimento seguente:
 reale
< 0
l’ellisse è 
se Λ Q 
.
 > 0
 complessa
Infine, quando A ≡ 0 ∧ C ≡ 0 (purché sia B ≠ 0 ), si trova che Q ≡ B (DE − BF ) = 0 , i.e.,
che DE = BF . Questa circostanza corrisponde alla degenerazione di una particolare iperbole
equilatera roto-traslata nei suoi asintoti paralleli agli assi di riferimento, di equazioni rispettive
x = − E /B e y = − D /B (iperbole omografica rettangolare, v. p. 16). Infatti, l’equazione di K è
ridotta alla forma fattorizzata (x + E /B ) (y + D /B ) = 0 .
Altrimenti, nel caso in cui sia, almeno, A ≠ 0 ∨ C ≠ 0 , sussiste l’importante
necessaria e sufficiente affinché la sezione conica K a coefficienti
reali sia degenere è che risulti Q = 0 . ▼
Teorema Condizione
Dimostrazione
(caso A ≠ 0 ; per il caso C ≠ 0 , si procede in modo analogo)
●
La condizione è necessaria perché,
se K è degenere, allora, Φ (y ) è un trinomio quadratico perfetto, i.e., Φ (y ) ≡ ( | ∆ | y ± |D 2 − 4 AF | )2 .
Questo implica, dall’Eq. (19.1), che 0 = ∆ (D 2 − 4 AF ) − (BD − 2 AE )2 = … = 2 AQ . Ma, poiché è A ≠ 0 ,
segue che Q ≡ 0 ;
●
la condizione è sufficiente perché,
se Q ≡ 0 , allora, si deduce che 0 = 2 AQ = … = ∆ (D 2 − 4 AF ) − (BD − 2 AE )2 , i.e., il trinomio quadratico
Φ (y ) := ∆ ⋅ y 2 + 2 (BD − 2 AE ) y + D 2 − 4 AF è perfetto. Quindi, la conica K , che, attraverso la coppia delle
Eq. (18) e (18.1), costituisce una rappresentazione alternativa ed equivalente dell’Eq. (5), è degenere.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
10
Come completamento degli argomenti discussi, i tre Teoremi di G. P. Dandelin (1794-1847),
significativi nel contesto delle proiezioni stereografiche, in Cartografia, sono proposti al lettore per
una loro dimostrazione (piuttosto semplice) [†]:
Teorema De
I fuochi dell’ellisse generata tagliando una falda della
superficie conica circolare retta Ξ con un piano (e.g.,
X ×Y ) sono i punti di contatto delle due sfere tangenti
sia al piano X ×Y sia al piano Ξ , internamente,
entrambe, a una stessa falda. ▼
Fig. 4.1 – Le sfere di Dandelin per l’ellisse
Teorema Dh
I fuochi dell’iperbole generata tagliando una superficie conica
circolare retta Ξ con un piano (e.g., X ×Y ) sono i punti di
contatto delle due sfere tangenti sia al piano sia a Ξ , interne,
ciascuna esclusivamente, all’una o all’altra falda. ▼
Fig. 4.2 – Le sfere di Dandelin per l’iperbole
Teorema D p
Il fuoco della parabola generata tagliando una superficie
conica circolare retta Ξ con un piano (e.g., X ×Y ) è il punto
di contatto della sfera tangente sia al piano sia a Ξ
internamente a una stessa falda.
La retta direttrice della parabola risulta essere l’intersezione
tra il piano X ×Y e il piano in cui giace la circonferenza di
contatto tra Ξ e la sfera. ▼
Fig. 4.3 – La sfera di Dandelin
per la parabola
[†] Sugg.:
Si sfruttino le proprietà elementari di tangenza a una sfera vs. un punto esterno ad essa e la definizione
fondamentale di ciascuna sezione conica.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
6.
11
CONDIZIONE PUNTUALE SUFFICIENTE PER LA
DETERMINAZIONE DI UNA CONICA
Proposizione
Cinque punti ordinari distinti in un piano, qualsiasi terna dei quali non sia allineata, determinano
una e una sola conica non-degenere. ▼
Una formulazione equivalente di tale proposizione è:
Cinque rette distinte in un piano, determinano univocamente una conica non-degenere, quella
tangente ad esse, che determina i cinque punti di tangenza [†]. ▼
L’asserto segue dal fatto che, nell’Eq. generale (5), almeno uno dei coefficienti degli addendi
quadratici, A , B o C , deve essere ≠ 0 . Supponendo, e.g., che sia A ≠ 0 e dividendo i membri
dell’Eq. (5) per A , si ottiene la rappresentazione equivalente della conica
x 2 + κ 1 xy + κ 2 y 2 + κ 3 x + κ 4 y + κ 5 = 0 ,
nella quale, κ 1 ≡ B /A , κ 2 ≡ C /A , etc..
La normalizzazione vs. x 2 riduce a cinque il numero dei coefficienti incogniti da determinare e
implica la sufficienza di cinque equazioni vincolari lineari di appartenenza puntuale alla conica,
i.e., la conoscenza di una cinquina di punti ordinari distinti qualsiasi della conica, {(x j ; y j )} , con
j = 1, ..., 5 .
Inoltre, considerato che la curvatura di una conica reale non-degenere ∈ R + [‡], non può esistere
una terna di tale cinquina che appartenga a una stessa retta (linea a curvatura nulla!).
■
In Geometria Proiettiva, dall’inversione del Teorema di Pascal, si arriva all’equazione canonica di
una sezione conica non-degenere, della quale, sia nota una cinquina qualsiasi di suoi punti distinti.
L’equazione, contratta in forma generale di determinante, è
x2
x 21
x 22
C (x , y ) ≡ 2
x3
x 24
x 25
xy
x 1y 1
x 2y 2
x 3y 3
x 4y 4
x 5y 5
y2
y 21
y 22
y 23
y 24
y 25
x
x1
x2
x3
x4
x5
y
y1
y2
y3
y4
y5
1
1
1
= 0.
1
1
1
(21)
Pertanto, i coefficienti nell’Eq. (5) corrispondono ai sei complementi algebrici C1, n , n = 1 , ..., 6 ,
degli elementi della 1.a riga del determinante C (x , y ) :
A ≡ C1, 1
x 1 y 1 y 21
x 2 y 2 y 22
= x 3 y 3 y 23
x 4 y 4 y 24
x 5 y 5 y 25
x 1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
1
1
1 ,
1
1
B ≡ C1, 2
x 21 y 21
x 22 y 22
= − x 23 y 23
x 24 y 24
x 25 y 25
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
1
1
1 ,
1
1
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
C ≡ C1, 3
x 21
x 22
= x 23
x 24
x 25
x 1y 1
x 2y 2
x 3y 3
x 4y 4
x 5y 5
E ≡ C1, 5
x 21
x 22
= x 23
x 24
x 25
x 1 y 1 y 21
x 2 y 2 y 22
x 3 y 3 y 23
x 4 y 4 y 24
x 5 y 5 y 25
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
x1
x2
x3
x4
x5
1
1
1 ,
1
1
1
1
1 ,
1
1
D ≡ C1, 4
x 21
x 22
= − x 23
x 24
x 25
x 1 y 1 y 21 y 1
x 2 y 2 y 22 y 2
x 3 y 3 y 23 y 3
x 4 y 4 y 24 y 4
x 5 y 5 y 25 y 5
F ≡ C1, 6
x 21
x 22
= − x 23
x 24
x 25
x 1 y 1 y 21
x 2 y 2 y 22
x 3 y 3 y 23
x 4 y 4 y 24
x 5 y 5 y 25
12
1
1
1 ,
1
1
x1 y1
x2 y2
x3 y3 .
x4 y4
x5 y5
Le riduzioni dei complementi algebrici C1, j (coefficienti) alle forme numeriche esplicite rispettive
sono operazioni elementari, facilmente programmabili.
■
____________________
[ †]
È nota una costruzione classica geometrico-proiettiva di una sezione conica non-degenere a partire da cinque
punti distinti qualsiasi di questa, la Costruzione di Braikenridge-Maclaurin.
[‡ ]
Derivando implicitamente vs. x l’Eq. generale (5), si trova che il valore ξ (x , y (x )) della funzione curvatura ξ
di K dipende anche – risultato su cui riflettere … – da quello dell’invariante cubico Q (v. Eq. (18)):
ξ (x , y (x )) =
2|AE 2 − BDE + CD 2 + F ∆ |
|Q |
.
≡
((2 Ax + By + D )2 + (Bx + 2C y + E )2 )3 / 2
((2 Ax + By + D )2 + (Bx + 2C y + E )2 )3 / 2
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
7.
13
Coordinate del centro di una conica a-centro
Sia il punto ordinario O ' ≡ (x ; y ) il centro della conica K . Per questa ragione, K viene detta
conica a-centro (o centrata) e corrisponde, evidentemente, o a un’ellisse o a un’iperbole. Sia
l’equazione canonica (5) di K a coefficienti reali.
Per la determinazione di espressioni generali dei valori x e y , la traslazione in O ' del sistema di
riferimento è realizzata dall’affinità
x = u +x
.

y = v +y
Questa, applicata all’equazione (5) di K ,
A(u + x )2 + B (u + x ) (v + y ) + C (v + y )2 + D (u + x ) + E (v + y ) + F = 0 ,
dà luogo alla forma implicita trasformata
Au 2 + Buv + C v 2 + (2 Ax + By + D ) u + (Bx + 2Cy + E ) v +
+ (Ax 2 + Bx y + Cy 2 + Dx + Ey + F ) = 0 .
(22)
Ora, una conica a-centro è intrinsecamente simmetrica vs. il suo centro O ' . In altre parole, poiché
O ' costituisce la nuova origine di riferimento cartesiano, l’Eq. (22) risulta invariante attraverso la
simmetria centrale (u , v ) ֏ (− u , − v ) . Questo implica che l’Eq. (22) sia priva dei termini lineari,
i.e., che valgano le condizioni
 2 Ax + By + D = 0
.

 Bx + 2Cy + E = 0
(22.1)
Pertanto, la soluzione del sistema (22.1) corrisponde al vettore delle coordinate del centro O ' di
K espresse rispetto al vecchio sistema di riferimento xOy :
 2C D − BE 2 AE − BD 
O ' ≡ (x ; y ) ≡ 
;
.

∆
∆

(23)
Si osservi che le espressioni (23) implicano che la distanza del centro di una parabola da qualsiasi
suo punto ordinario è infinita, essendo, in questo caso, ∆ ≡ B 2 − 4 AC = 0 .
Se K è un’ellisse complessa, le coordinate di O ' sono comunque reali, i.e., O ' ∈ X ×Y ! Inoltre,
sostituendo x = x e y = y nell’equazione canonica E (x , y ) = 0 dell’ellisse, si verifica, in modo
significativo, che O ' è un punto esterno ad essa, i.e., che E (x , y ) = − Q ∆ ≡ − Q ' ∆ ' > 0 . Gli
invarianti Q ' ≡ 8A' C ' F ' ≡ 8 a 2b 2F ' > 0 (quindi, è F ' ≠ − a 2b 2 ) e ∆ ' ≡ − 4 A' C ' ≡ − 4 a 2b 2 sono
entrambi riferiti alla rappresentazione canonica della conica (cfr/c discussione alle p. 7-8).
Analogamente, si verifica che gli assi di un’ellisse complessa sono luoghi di punti reali esterni
all’ellisse stessa.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
8.
14
Equazioni degli asintoti di un’iperbole
Si supponga che l’Eq. (5), qui di seguito indicata sinteticamente con H (x , y ) = 0 , sia quella di
un’iperbole ( ⇒ ∆ > 0 ), i cui asintoti siano posti nella forma esplicita y = mx + q ≡ y (x ) .
Quanto più è |x | ≫ 1 tanto meglio il valore y (x ) dell’ordinata del punto generico dell’iperbole è
approssimato dal valore del binomio mx + q , essendo x il valore dell’ascissa del punto generico
stesso mentre m e q sono valori parametrici da determinarsi.
Pertanto, all’Eq. (5) nel regime asintotico |x | → + ∞ , corrisponde l’infinitesimo
H (x , y (x )) := Ax 2 + Bx (mx + q ) + C (mx + q )2 + Dx + E (mx + q ) + F
≡ (Cm 2 + Bm + A) x 2 + (2Cmq + Em + Bq + D ) x + Cq 2 + Eq + F = o (1) ,
dal quale, diventando la quantità costante Cq 2 + Eq + F definitivamente trascurabile rispetto agli
altri due addendi (tra l’altro, (… )x 2 è un infinito di ordine superiore vs. ( … )x ), segue che la
rappresentazione asintotica minimale dell’Eq. (5),
(Cm 2 + Bm + A) x 2 + (2Cmq + Em + Bq + D ) x ~ 0 ,
(24)
implica l’esistenza di valori parametrici costanti m e q tali da soddisfare, ∀ x , le condizioni
simultanee
 Cm 2 + Bm + A ≡ 0
.

 2Cmq + Em + Bq + D ≡ 0
8.1.
(25)
Sia C ≠ 0 .
Le soluzioni formali del sistema (25) sono costituite dai due vettori


−B ± ∆


2C
m  
 .
  =
q
   −E ∆ ± (BE − 2C D ) 


2C ∆


Così, la coerenza dei segni, + + e − − , consente di scrivere prontamente le equazioni
degli asintoti (obliqui) dell’iperbole:


2C

.
∆ +B
E ( ∆ + B ) − 2C D 
y = −
x−

2C
2C ∆

y =
8.2.
∆ −B
x−
E ( ∆ − B ) + 2C D
2C ∆
Sia C = 0 .
Allora, il sistema (25) si riduce alla forma lineare
 Bm + A = 0
,

 Em + Bq + D = 0
la cui soluzione regolare, espressa dal vettore generale
(26)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
15
−A /B
m  

,
  = 
2
 q   (AE − BD )/B 
individua l’asintoto genericamente obliquo (od orizzontale, quando A ≡ 0 ),
y = −
A
AE − BD
.
x+
B
B2
(27)
L’altro asintoto, verticale, è determinabile in corrispondenza di quel valore di x per quale la
rappresentazione equivalente esplicita vs. y dell’iperbole,
Ax 2 + Dx + F
y = −
,
Bx + E
non è definita in R , i.e. (cfr/c p. 20), per
x = − E /B .
(28)
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
9.
16
L’iperbole omografica rettangolare
L’equazione algebrica implicita
pxy − rx + qy −s = 0 ,
(29)
con (p , q , r , s ) ∈ {R \{ 0 } × R 3 } , rappresenta un’iperbole, come è immediato verificare dal segno
del suo discriminante: ∆ ≡ p 2 − 4 ⋅ 0 ⋅ 0 = p 2 > 0 . L’eventuale degenerazione della conica nei suoi
asintoti corrisponde all’annullamento dell’invariante cubico (cfr/c Eq. (18))
p −r
0 q = 2 p (ps − qr ) ,
q − 2s
0
Q := p
−r
(30)
i.e., a quando ps = qr .
Esplicitando l’Eq. (29) vs. y , si ottiene la rappresentazione della cosiddetta funzione omografica
rettangolare,
y =
rx + s
.
px + q
(31.1)
Le caratteristiche di tale iperbole sono messe in evidenza mediante divisione polinomiale:
y ≡
r
s − qr /p
r
k
,
+
≡ +
p p (x + q / p )
p x + q /p
(31.2)
dove si è posto
k :=
ps − qr
Q
≡
.
2
p
2p3
Poiché l’Eq. (31.1) equivale alla scrittura y −
(32)
r
k
=
, con la traslazione
p
x + q /p
 u = x − q /p
,

 v = y − r /p
si trova l’equazione trasformata
v = k /u ,
(33)
che è quella di un’iperbole equilatera riferita al sistema uO ' v dei suoi asintoti (v. Fig. 5).
Le equazioni degli asintoti, orizzontale e verticale, si determinano calcolando, dall’Eq. (26) o
dall’Eq. (32), rispettivamente, lim y (x ) = (r /p) ± e lim ± y (x ) = ± ∞ , precisando con cura i
x →±∞
x → − (q /p )
versi di tendenza al punto di accumulazione (i.e., se per difetto o per eccesso).
Evidentemente, risultano le equazioni
 y = r /p
.

 x = − q /p
(34)
Il centro O ' dell’iperbole è il punto di intersezione tra gli asintoti: O ' ≡ (x ; y ) ≡ ( − q /p ; r /p ) ; i
punti di intersezione della conica con gli assi sono ( − s /r ; 0) e (0; s /q ) .
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
17
Comunque, il segno di k specifica la posizione dei rami dell’iperbole nei quadranti appropriati del
piano U ×V .
Fig. 5
Gli assi dell’iperbole sono paralleli alle bisettrici dei quadranti e passano per O ′ . Quindi, dalla
y − r /p
= ± 1 , seguono le equazioni degli assi,
specificazione dei coefficienti angolari,
x + q /p
y = ±x +
r ±q
,
p
(35)
Ora, per stabilire quale dei due assi sia quello trasverso, basta osservare che, secondo che si abbia
k ≷ 0 , l’equazione corretta è, rispettivamente,
y = σx +
r + σq
,
p
(35.1)
avendo definito, per brevità, σ := sgn k ≡ sgn (ps − qr ) .
Le coordinate dei vertici, indicando l’uno o l’altro con V , si determinano intersecando l’iperbole
omografica con il suo asse trasverso,
rx + s

 y = px + q

.

 y = σ x + r + σq

p
(36)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
18
Eliminando y tra le Eq. (36), si arriva all’equazione risolvente:
σ px 2 + 2 σ qx + σ (q 2 /p ) = (ps − qr )/p , i.e., σ (x + q /p )2 ≡ k ,
e, infine, a
(x + q /p)2 = |k | .
(37)
L’Eq. (37) fornisce immediatamente i valori delle ascisse dei vertici,
x V = ± |k | − q /p ;
(38.1)
introducendo tali valori nell’equazione dell’asse trasverso, si calcolano le ordinate associate,
yV = ± σ |k | + q /p .
(38.2)
Poiché la funzione omografica discussa è un’iperbole equilatera, la sua eccentricità ε vale 2 .
Inoltre, il centro, i vertici e i fuochi sono allineati.
Quindi, per il Teorema di Talete applicato alla coppia delle rette del riferimento cartesiano e
all’asse trasverso, si ha, per l’uno o l’altro fuoco, F ,
O' F
≡ε =
O 'V
 xF

 xV
2 = 
 yF
 yV

−x
−x
−y
,
(39)
−y
da cui, si ottengono i valori associati delle coordinate dei fuochi,
 x F = x + 2 (x V − x ) = ± 2|k | − q /p
.

 y F = y + 2 (y V − y ) = ± σ 2|k | + r /p
(40)
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
19
10. L’eccentricità dell’Iperbole come parametro geometrico invariante
Senza perdita di generalità, per fissare le idee, si consideri il 1.o quadrante cartesiano del sistema
di riferimento xOy e l’arco illimitato di iperbole, in rappresentazione canonica
x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1,
contenuto in tale quadrante.
Poi, si considerino il vertice V ≡ (a ; 0) e il fuoco F ≡ (c; 0) dell’iperbole. Il punto K ≡ (a ; b)
appartiene sia alla circonferenza di centro O e di raggio OF che all’asintoto avente coefficiente
angolare m = b /a ≡ tan α (v. Fig. 6).
Fig. 6
Dunque, risultano
OV = a , VK = b = a tan α e OK ≡ OF = c = (a 2 + b 2 )1/ 2 .
Da queste uguaglianze, segue immediatamente che
ε = (a 2 + b 2 )1 / 2 /a ≡ (1 + (b /a )2 )1/ 2 = (1 + (tan α )2 )1/ 2 = sec α .
(41)
Tale proprietà è puramente geometrica e non dipende dal sistema di riferimento ortogonale in cui
sia rappresentata l’iperbole. Semplicemente, essa esprime una relazione generale tra l’eccentricità
ε dell’iperbole e l’angolo (acuto) di ampiezza α tra ciascun asintoto e l’asse trasverso.
■
20
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
11. L’iperbole omografica obliqua
Una funzione del tipo
x ֏ f (x ) :=
ax 2 + bx + c
,
px + q
(42)
quando sia ap ≠ 0 , rappresenta un’iperbole roto-traslata (v. Fig. 7), come è immediato verificare
riscrivendo l’Eq. (42) nella forma equivalente, per x ≠ − q /p ,
ax 2 − pxy + bx − qy + c = 0
(43)
e controllando il segno del discriminante di quest’ultima, ∆ ≡ (− p )2 − 4 ⋅ a ⋅ 0 = p 2 > 0 .
Dunque, l’Eq. (42) implica che la conica possiede un asintoto verticale di equazione x = − q /p .
Per la determinazione dell’equazione dell’altro asintoto, evidentemente obliquo, si può eseguire la
divisione polinomiale espressa dall’Eq. (42), scrivendo
y = µ x − α − ω (x ) ,
(44)
dove,
µ := a /p , α := (aq − bp )/p 2 , ω (x ) := k /(x + q /p ) ,
con k := − (c + α q )/p , e riconoscere la parte lineare della rappresentazione (44) come dominante
quando x → ± ∞ :
y ~ µx − α .
Il calcolo dei limiti
(45)
lim ω (x ) = ∓ ∞ consente di stabilire in quale delle due coppie di regioni
x → ( −q /p ) ±
simmetriche rispetto al suo centro, O ' ≡ (x ; y ) , siano situati i rami dell’iperbole (non-degenere).
Le coordinate di O ' , ottenibili dall’Eq. (23) o dall’intersezione dei due asintoti, risultano
(x ; y ) ≡ (− q /p; p − 2aq /p 2 ) .
Gli assi dell’iperbole sono le bisettrici degli angoli tra gli asintoti. Se (x ; y ) rappresenta il punto
generico appartenente all’uno o all’altro asse-bisettrice, allora le equazioni preliminari di questi si
determinano nelle forme
| x + q /p | =
y − µx + α
|y − µ x + α |
, i.e.,
= ± (x + q / p ) .
2 1/2
(1 + µ )
(1 + µ 2 )1 / 2
Quindi, posto Μ := (1 + µ 2 )1 / 2 , si deducono le equazioni delle rette reciprocamente ortogonali
y = (µ + Μ ) x − α + (q /p ) Μ ≡ m 1 x + β 1 
 .
y = (µ − Μ ) x − α − (q /p ) Μ ≡ m 2 x + β 2 
(46)
Essendo evidente che m 1 > 0 mentre m 2 < 0 , ∀ {a , p } ammissibile, risulta alternativamente,
per l’equazione dell’asse trasverso dell’iperbole
 y = m 1 x + β 1

 y = m 2 x + β 2
k < 0
secondo che sia, rispettivamente, 
.
k > 0
L’ampiezza ϕ ≶ 0 dell’angolo acuto tra l’asse trasverso dell’iperbole e il versore xˆ dell’asse di
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
21
riferimento X si trova immediatamente essere l’uno o l’altro dei valori
 tan −1m 1 ≡ tan −1 (µ + Μ ) ,
ϕ =
−1
−1
 tan m 2 ≡ tan (µ − Μ ),
se k < 0
se k > 0
.
(47)
Fig. 7
Se y = mx + β è l’equazione dell’asse trasverso dell’iperbole, allora il sistema

ax 2 + bx + c
y
=

px + q

 y = mx + β

(48)
è soddisfatto dalle due coppie dei valori delle coordinate dei vertici. Eliminando y tra le equazioni
(47), si ottiene l’equazione risolvente
(a − mp ) x 2 + (b − β p − mq ) x + c − β q = 0 ,
(48.1)
che, espressa coerentemente con le quantità alternative m 1, 2 := µ ± Μ e in termini dei parametri
originari, equivale, nell’ordine, all’una o all’altra delle equazioni
x 2 ∓ 2 (q /p ) x +
aq 2 − bpq + cp 2
p|p| a 2 + p 2
∓
q2
= 0.
p2
(48.2)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
22
Le radici di entrambe le Eq. (48.1) e (48.2), x V 1 e x V 2 , sono le ascisse dei vertici dell’iperbole. Le
ordinate corrispondenti, y V 1 ≡ mx V 1 + β e y V 2 ≡ mx V 2 + β , si calcolano dall’equazione lineare
nel Sistema (48).
L’invariante cubico dell’iperbole omografica obliqua è dedotto dalla forma implicita (43):
2a
−p
b
Q := −p
0
− q = 2 (bpq − aq 2 − cp 2 ) ≡ − 2 (cp 2 + q (aq − bp ))
−q
2c
b
≡ − 2 (cp + q α p 2 ) = − 2 (c + q α ) p 2 ≡ 2 k p ⋅ p 2 = 2 k p 3 .
2
(49.1)
Così, il risultato, coerente con l’Eq. (32),
k =
Q
2p3
,
(49.2)
appare tutt’altro che accidentale. Infatti, la degenerazione ( Q ≡ 0 ) eventuale dell’iperbole nei suoi
asintoti corrisponde a k ≡ 0 e, quindi, a ω (x ) ≡ 0 (cfr/c le Eq. (44) e (45)).
Per determinare un’espressione dell’eccentricità ε della conica, indicata con θ := π /2 − |ϕ | la
misura assoluta dell’angolo acuto compreso tra il semi-asse trasverso e l’asintoto verticale, si ha,
dall’Eq. (41),
ε = 1 + (tan θ )2 ≡ 1 + (tan (π /2 − |ϕ | )2 ≡ 1 + (cot ϕ )2
=
1 + (cot (tan −1 (µ ± Μ )))2 ,
=

1
, se k < 0
 1+
(µ + Μ )2
1

,
1+
≡ 
(µ ± Μ )2
1
 1+
, se k > 0
2

−
µ
Μ
(
)

dalle Eq. (46),
(50)
tenuto conto delle Eq. (47).
Infine, come per l’iperbole omografica rettangolare, una volta trovate le coordinate dei vertici
dell’iperbole omografica obliqua, se ne determinano le coordinate dei fuochi, quelle del centro e
l’eccentricità ε ( > 1 ) appoggiandosi al Teorema di Talete (cfr/c le Eq. (39) e (40)) applicato alla
coppia delle rette del riferimento cartesiano e all’asse trasverso. Risultano
 x F = x + ε (x V − x )
.

 y F = y + ε (x V − y )
(51)
Le formule (50) si riferiscono, ovviamente, all’uno o all’altro ramo dell’iperbole.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
23
12. Equazione di una retta tangente a una conica generica
La determinazione dell’equazione della retta tangente a una conica K generica in un punto
P ≡ (x 0 ; y 0 ) comune a entrambe è un problema fondamentale e classico dell’Analisi Matematica
ma può essere ricondotto a un problema algebrico di 2.o grado corrispondente al sistema risolvente
 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

 y = mx − mx 0 + y 0
(52)
dell’Eq. implicita (5) di K e di quella del fascio proprio di rette con supporto in P .
Il procedimento, elementare e ben noto, consiste nell’individuazione delle radici, necessariamente
identiche, m 1 ≡ m 2 , dell’equazione ∆r (m ) = 0 , essendo ∆r (m ) il trinomio di 2.o grado, nella
variabile m , che costituisce il discriminante dell’equazione parametrica risolvente equivalente al
sistema (52). In altri termini, se P ∈ K , ciò implica che ∆r (m ) è un trinomio quadratico
perfetto. Così, la soluzione algebrica doppia rappresenta la congruenza-limite di due rette passanti
per P e costituenti, insieme, una singola retta tangente a K in P stesso.
È chiaro che tale corrispondenza algebrico-geometrica non dipende dal sistema rappresentativo
specifico di riferimento cartesiano ortogonale. Pertanto, anche nel caso generale dell’Eq. (5),
l’unicità (geometrica) della retta tangente a K in un suo punto P deve corrispondere, comunque,
alla duplicità sia di x 0 che di y 0 come coordinate-soluzione che verificano il sistema parametrico
(52) o l’equazione risolvente equivalente associata.
Comunque, per coerenza con la presentazione dell’argomento del paragrafo successivo, conviene
sviluppare un procedimento alternativo.
L’appartenenza di P alla conica K implica l’identità
Ax 20 + Bx 0 y 0 + Cy 20 + Dx 0 + Ey 0 + F = 0 ,
dalla quale, il sistema generale (52) può essere riscritto nella forma
2
2
2
2
 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = Ax 0 + Bx 0 y 0 + Cy 0 + Dx 0 + Ey 0 + F
,

=
−
y
m
(
x
x
)

0
e, quindi, con raccoglimenti evidenti nell’equazione quadratica,
 A(x 2 − x 20 ) + B (xy − x 0y 0 ) + C (y 2 − y 20 ) + D (x − x 0 ) + E (y − y 0 ) = 0
.

−
=
−
y
y
m
(
x
x
)

0
0
(53)
Poi, per l’identità xy − x 0y 0 ≡ (x − x 0 ) (y − y 0 ) + y 0 (x − x 0 ) + x 0 (y − y 0 ) , il sistema (53) diventa
 A(x − x 0 ) (x + x 0 ) + B [(x − x 0 ) (y − y 0 ) + y 0 (x − x 0 ) + x 0 (y − y 0 )]

+ C (y − y 0 ) (y + y 0 ) + D ( x − x 0 ) + E ( y − y 0 ) = 0 .

 y − y = m (x − x )
0
0

(54)
Eliminando il termine y − y 0 tra le equazioni del sistema (54), si ottiene l’equazione risolvente,
equivalente al sistema (52) originario,
(x − x 0 ) (A (x + x 0 ) + Bm (x − x 0 ) + By 0 + Bmx 0 + Cm (y + y 0 ) + D + Em ) = 0 .
(55)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
24
Poiché la condizione di tangenza in P richiede che il vettore (x 0 , y 0 ) sia soluzione doppia
dell’Eq. risolvente (55), allora, tale vettore, oltre ad annullare il fattore lineare (x − x 0 ) , deve
annullare, necessariamente, anche l’altro fattore, lineare vs. x e y , nella stessa equazione; in altre
parole, per (x ; y ) ≡ (x 0 ; y 0 ) , deve valere l’identità
(A (x + x 0 ) + Bm (x − x 0 ) + By 0 + Bmx 0 + Cm (y + y 0 ) + D + Em )
(x ; y ) ≡ (x 0 ; y 0 )
=
= 2 Ax 0 + By 0 + Bmx 0 + 2Cmy 0 + D + Em ≡ 0 .
Da questa, si ricava il coefficiente angolare m ≡ m (x 0 , y 0 ) della retta tangente a K in P ,
m = −
2Ax 0 + By 0 + D
Bx 0 + 2Cy 0 + E
≡ y ' (x 0 ) ,
(56)
con il quale, si scrive l’equazione esplicita della retta tangente cercata,
y = −
2Ax 0 + By 0 + D
Bx 0 + 2Cy 0 + E
(x − x 0 ) + y 0 .
(57.1)
La forma implicita corrispondente all’Eq. (57.1) è
(2Ax 0 + By 0 + D ) (x − x 0 ) + (Bx 0 + 2C y 0 + E ) (y − y 0 ) = 0 .
(57.2)
Eseguendo i prodotti contenuti nell’Eq. (57.2), aggiungendo ai termini risultanti la quantità nulla
0 ≡ Dx 0 − Dx 0 + Ey 0 − Ey 0 e raccogliendo gli addendi vs. i coefficienti A , B , C , D , E , risulta
2Ax 0x + B (y 0x + x 0y ) + 2Cy 0y + D (x + x 0 ) + E (y + y 0 ) −
− 2 (Ax 20 + B x 0y 0 + Cy 20 + Dx 0 + Ey 0 ) = 0 .
(57.3)
Infine, osservato che Ax 20 + B x 0y 0 + Cy 20 + Dx 0 + Ey 0 ≡ − F , dividendo per 2 i membri dell’Eq.
(57.3), si arriva alla cosiddetta forma di sdoppiamento della retta tangente a K in P ,
Ax 0 x + B
y 0x + x 0y
2
+ Cy 0 y + D
x +x0
2
+E
y + y0
2
+ F = 0.
(58)
Il risultato formale è interessante: quando P ≡ (x 0 ; y 0 ) ∈ K è noto, l’Eq. (58) può sempre essere
dedotta dall’Eq. fondamentale (5) – e viceversa – mediante le corrispondenze mnemoniche
quadratiche:
x2 x 0x ,
lineari:
1
x (x + x 0 ) ,
2
1
(y 0 x + x 0 y ) ,
2
1
y (y + y 0 ).
2
xy 
y 2 y 0y , 




(59)
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
25
13. Equazione della retta polare di un punto vs. una conica generica
La breve discussione che segue è rivolta al caso di un punto P ≡ (x 0 ; y 0 ) ∈ R 2 , detto polo, noninterno a una conica generica K di equazione (5) a coefficienti reali, i.e., tale che, da esso, siano
tracciabili due e due sole rette reali tangenti a K , distinte (ma non parallele) o coincidenti (si
ricordi che il sistema (52) è di 2.o grado!).
Per fissare le idee, siano tQ e t S le due rette distinte tangenti a K condotte da P esterno a K e
siano Q ≡ (x 1 ; y 1 ) e S ≡ (x 2 ; y 2 ) i punti di tangenza rispettivi.
La retta passante per Q e S (v. Fig. 8), qui di seguito indicata come rQS , è detta polare del punto
P rispetto a K e la sua equazione si scrive immediatamente nella forma fondamentale
y −y1
=
x −x1
y2 −y1
x2 −x1
.
(60)
L’Eq. (58) dà le equazioni di tQ e di t S immediatamente,
t Q : Ax 1x + B
y 1x + x 1y
2
+ Cy 1y + D
x + x1
2
+E
y + y1
2
+ F = 0 , i.e.,
t Q : (2Ax 1 + By 1 + D )x + (Bx 1 + 2Cy 1 + E )y + Dx 1 + Ey 1 + 2F = 0 ,
e
t S : Ax 2x + B
y 2x + x 2y
2
+ Cy 2y + D
x + x2
2
+E
y + y2
2
(61)
+ F = 0 , i.e.,
t S : (2Ax 2 + By 2 + D )x + (Bx 2 + 2Cy 2 + E )y + Dx 2 + Ey 2 + 2F = 0 .
(62)
Ora, poiché i valori delle coordinate di P devono soddisfare entrambe le Eq. (61) e (62), se si
sottraggono tra loro membro a membro le identità
 (2Ax 1 + By 1 + D ) x 0 + (Bx 1 + 2Cy 1 + E ) y 0 + Dx 1 + Ey 1 + 2F ≡ 0
,

 (2Ax 2 + By 2 + D ) x 0 + (Bx 2 + 2Cy 2 + E ) y 0 + Dx 2 + Ey 2 + 2F ≡ 0
si ottiene (2Ax 0 + By 0 + D ) (x 2 − x 1 ) + (Bx 0 + 2Cy 0 + E ) (y 2 − y 1 ) = 0 , e, da questa, il rapporto
y2 − y1
x2 − x1
= −
2Ax 0 + By 0 + D
Bx 0 + 2Cy 0 + E
≡m.
(63)
Il risultato espresso dall’Eq. (63) è notevole perché indica che il coefficiente angolare di rQS è,
formalmente, identico a quello rappresentato dall’Eq. (56).
D’altra parte, è elementare osservare che l’equazione della retta passante per P e parallela a rQS
ha come espressione
y2 − y1
x2 − x1
=
y −y0
x − x0
, i.e., dall’Eq. (63),
y −y0
x −x0
= −
2Ax 0 + By 0 + D
Bx 0 + 2Cy 0 + E
.
Infine, mediante l’Eq. (57.3), l’Eq. (64) può essere posta nelle forme equivalenti
(64)
26
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
Ax 0 x + B
y 0x + x 0y
2
+ Cy 0y + D
x + x0
2
+E
y + y0
2
+F = 0
(65)
ovvero
(2Ax 0 + By 0 + D ) x + (Bx 0 + 2Cy 0 + E ) y + Dx 0 + Ey 0 + 2F = 0 ,
(66)
fornendo la conclusione evidente:
Le rappresentazioni (65) e (66) sono quelle della retta polare di P rispetto alla conica K o della
retta tangente a K in P secondo che P è esterno o appartiene a K .
I risultati formali espressi dalle Eq. (66), (61) e (62) consentono di risolvere immediatamente il
problema generale inverso della
determinazione delle equazioni delle rette tangenti a una conica K , avente equazione assegnata
di tipo (5), e appartenenti al fascio proprio di rette con supporto in P ≡ (x 0 ; y 0 ) , esterno a K :
1.
si risolve il sistema delle equazioni di K e della retta polare di P vs. K ,
 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

 (2Ax 0 + By 0 + D ) x + (Bx 0 + 2Cy 0 + E ) y + Dx 0 + Ey 0 + 2F = 0 ,
ottenendo le coordinate dei due punti di intersezione, Q ≡ (x 1 ; y 1 ) e S ≡ (x 2 ; y 2 ) ;
2.
si determinano le equazioni delle rette tangenti a K in Q e in S mediante l’Eq. (61)
e, rispettivamente, (62).
Chiaramente, se Q ≡ S , allora, P ∈ K .
Fig. 8
■
27
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
14. L’N-rappresentazione polare di una conica generica
La rappresentazione polare-piana, {ϕ , ρ } ≡ [ 0, 2 π ) × R 0+ , nello studio delle sezioni coniche non
fornisce, semplicemente, una modalità alternativa (talvolta, più agevole e trasparente del Sistema
Rettangolare) per la deduzione di proprietà geometriche interessanti ma apre la strada a modelli
applicativi di grandissima importanza, e.g., nella Meccanica Analitica e, soprattutto, nella Teoria
Classica (Newtoniana) delle Orbite in campi di forze centrali.
Si considerino due rette ortogonali, α e δ , e sia F ∈ α , con F ≡/ α ∩ δ , un punto ordinario.
Definizione
Una sezione conica K del piano α × δ (euclideo-cartesiano) è il luogo di punti, P , per i quali, il
rapporto ε delle distanze da F e da H ∈ δ è isometricamente invariante (Fig. 9):
( 0 ≤ ) ε := PF /PH ⋚ 1 . ▼
(67)
Fig. 9
La retta α costituisce l’asse principale di simmetria di K , F è il fuoco associato alla retta
direttrice δ mentre il rapporto invariante ε misura l’eccentricità di K .
Ora, risulta cruciale introdurre un sistema di riferimento duplice, polare-rettangolare, nel piano
α × δ , facendo coincidere sia il polo che l’origine cartesiana, entrambi detti O , con il fuoco F di
K , mentre, l’asse polare e l’asse cartesiano X delle ascisse vengono scelti congruenti con la
retta α di simmetria di K . Tale sistema ortogonale sarà indicato come il Riferimento Newtoniano
(sinteticamente, il ‘ΣN’) associato a K .
Considerando la Fig. 10, la Definizione generale (67) di sezione conica nel suo ΣN si riscrive, per
un punto P qualsiasi di K ,
OP = ε PH .
(67.1)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
28
Quando φ = π /2 , i.e., P ≡ M , allora, OP ≡ OM ∧ PH ≡ MK , così che la proporzionalità
generale (67.1) assume la forma specifica
OM = ε MK .
(67.2)
Fig. 10
D’altra parte, dall’Eq. (67.2), segue che
MK = OP ′ + PH = OP cos φ + OP /ε
= (OP /ε ) (1 + ε cos φ ) .
(68)
Eliminando MK tra le Eq. (67.2) e (68) e risolvendo vs. OP , si ottiene
OP =
OM
MN /2
≡
.
1 + ε cos φ
1 + ε cos φ
(69)
Chiaramente, OP ≡ ρ è la coordinata polare radiale (variabile con P ) mentre il segmento MN è
il ‘latus rectum’ di K , associato agli elementi-base α , δ e F , i.e., è la corda di K ortogonale
all’asse α in F e, quindi, parallela a δ .
Definita λ := MN la misura del latus rectum, l’equazione polare generale di una sezione conica
nel suo riferimento ΣN si scrive
ρ =
λ /2
≡ ρ (φ )
1 + ε cos φ
(70)
e costituisce una rappresentazione equivalente dello stesso luogo geometrico descritto dall’Eq. (5).
La questione della classificazione di una sezione conica dipende dal valore assunto da ε . A livello
elementare, ci si può appoggiare alle proprietà di invarianza isometrica dei parametri (positivi) che
29
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
compaiono nelle equazioni standard delle sezioni coniche in rappresentazione cartesiana.
●
Facendo riferimento alla Fig. 10, si faccia l’ipotesi che il tratto di sezione conica mostrato sia
quello di un’ellisse, con l’asse maggiore traslato lungo l’asse X così da far coincidere il fuoco
destro con l’origine. Allora, l’equazione di tale ellisse è del tipo
(x + c )2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 ,
(71)
con {a , b, c } ⊂ R + , senza perdita di generalità. La determinazione della lunghezza (di metà)
del latus rectum si esegue elementarmente, imponendo x = 0 nell’Eq. (71). Risulta
y2 =
b 2 (a 2 − c 2 )
a 2 (a 2 − c 2 ) (a 2 − c 2 )
2
2
≡
b
a
≡
= a 2 (1 − ε 2 )2 ≡ (λ /2)2 ,
(
/
)
2
2
2
a
a ⋅a
(71.1)
dove, è evidente che deve essere ε ∈ [ 0 , 1) .
Pertanto, l’equazione polare di un’ellisse nel suo riferimento ΣN si scrive
ρ =
a (1 − ε 2 )
,
1 + ε cos ϕ
(72)
essendone a la misura del semi-asse maggiore.
Quando ε = 0 , l’Eq. (70) (o (72)) si riduce alla forma
ρ = λ /2 ≡ a = costante ,
che rappresenta una circonferenza.
●
Analogamente, si supponga che la Fig. 10 mostri una porzione del ramo sinistro di un’iperbole,
con l’asse trasverso traslato lungo l’asse X in modo tale da far coincidere il fuoco sinistro con
l’origine. Allora, l’equazione di tale iperbole è del tipo
(x − c )2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1 ,
(73)
con {a , b, c } ⊂ R + , come per l’ellisse. Il calcolo della lunghezza (di metà) del latus rectum si
esegue prontamente, imponendo x = 0 nell’Eq. (73). Risulta
y2 =
b 2 (c 2 − a 2 )
a 2 (c 2 − a 2 ) (c 2 − a 2 )
2
2
(
/
)
≡
b
a
≡
= a 2 (ε 2 − 1)2 ≡ (λ /2)2 ,
2
2
2
a
a ⋅a
(73.1)
dove, è evidente che deve essere ε ∈ ( 1 , + ∞) .
Quindi, l’equazione polare di un’iperbole, nel suo sistema ΣN , si scrive (cfr/c Eq. (72)),
ρ =
a (ε 2 − 1)
,
1 + ε cos φ
(74)
essendo a la misura del semi-asse trasverso (i.e., la semi-distanza tra i vertici) dell’iperbole.
●
Nel caso in cui la Fig. 10 corrisponda a una parabola con la sua retta direttrice, allora, dalla
definizione standard, devono valere le congruenze OM ≑ MK , OV ≑ VD , etc.. Con altre
parole, deve aversi OP ≑ PH , ∀ φ . Da ciò, segue che ε = 1 , così che l’equazione generale di
una parabola nel suo sistema polare ΣN si scrive
ρ =
λ /2
1 + cos φ
.
(75)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
30
Poiché è F ≡ O , l’equazione cartesiana della parabola concava mostrata è sempre del tipo
x = − η y 2 + 1/(4η ) ,
(75.1)
con η ∈ R + . Ponendo φ ≡ 0 nell’Eq. (75), i.e., y ≡ 0 nell’Eq. (75.1), è immediato ricavare,
dalla Fig. (10), che
OM ≡ λ /2 = 1/(4η ),
OV ≡ VD = λ / 4 = 1/(8η ) .
(75.2)
λ e η sono entrambi invarianti isometrici, legati dalla proporzionalità reciproca
λ ≡ 1/(2η ) .
(75.3)
Il confronto tra le Eq. (72) e (74) si presta a considerazioni interessanti, di natura analitica:
sebbene ε sia un parametro continuo ( ∈ R 0+ ), i limiti unilaterali ellittico\iperbolico,
lim ρ (φ ) ,
ε →1 ∓
sono palesemente nulli, ∀ φ , in modo inconsistente con l’Eq. (75)! Si può risolvere questa
criticità singolare imponendo, nell’invariante isometrico λ , che a = a (ε ) sia tale che
lim a (ε ) = + ∞ .
ε →1 ±
La divergenza delle misure dei semi-assi focali è causa della confluenza degenere di entrambi
i grafici delle coniche ‘a centro’ nel grafico parabolico. Pertanto, se tale confluenza grafica si
manifesta analiticamente, vs. la variabile indipendente ε , nella forma indeterminata [ ∞ ⋅ 0 ]
dei prodotti ‘bilaterali’
a (ε )|ε 2 − 1| ≡ a (ε )|1 − ε 2| ,
questa è eliminabile assegnandole il valore-limite finito previsto geometricamente:
lim a (ε ) (ε 2 − 1) = lim− a (ε ) (1 − ε 2 ) = λ /2 .
ε →1+
ε →1
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
31
Applicazione 1 – Area di un settore di N-sezione conica
Nella Teoria Newtoniana della Gravitazione, la 2.a Legge di Kepler (‘La distanza ρ tra il centro
di forza di attrazione centrale e un corpo celeste in moto (su un’orbita ellittica) spazza aree uguali
in tempi uguali’) rimanda prontamente all’Eq. (72).
L’Analisi fornisce il risultato generale seguente: l’area della regione (piana) compresa tra le due
direzioni polari ρ 1 = ρ (φ 1 ) e ρ 2 = ρ (φ 2 ) e la curva di equazione ρ = ρ (φ ) , essendo ρ una
funzione continua e non-negativa nell’intervallo (φ 1 , φ 2 ) , con 0 < φ 2 − φ 1 ≤ 2π , è data da
A =
●
1
2
φ2
∫ φ ( ρ (φ ) ) d φ .
2
(76)
1
Mediante l’Eq. (72) e il risultato parametrico generale IG-11 in Esercizi di Calcolo Integrale
(dell’autore), si ha, per un settore N-ellittico (Fig. 11), con ε ∈ [ 0 , 1) ,
φ
a 2 (1 − ε 2 )2 ⌠ 2
dφ
Ae =

2
8
⌡φ 1 (1 + ε cos φ )
φ2
φ

a 2 (1 − ε 2 )2 
ε sin φ
1 ⌠ 2
dφ
=
− 2
 2


 (ε − 1) (1 + ε cos φ ) φ ε − 1 ⌡φ 1 1 + ε cos φ 
8
1


φ2
1/2



a 2 (1 − ε 2 ) 
ε sin φ
2
−1  1 − ε 
tan
tan
(
/
2
)
φ
=
−
+


 1 + ε 
 1 + ε cos φ φ (1 − ε 2 )1 / 2
8




1

2

b
sin φ 
 bc
−1 
tan (φ /2)  −
⋅
=  ab tan 

a +c
 2a a + c cos φ 


 =…

φ1 
φ2
,
φ1
dove, al solito, è c 2 = a 2 − b 2 = a 2ε 2 e, quindi, λ = 2b 2 /a .
Fig. 11
φ2
(77)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
32
Il caso dell’orbita circolare di raggio r corrisponde ad a ≡ b = r e a c = 0 nell’Eq. (77).
●
Il procedimento precedente è applicabile anche al calcolo dell’area di un settore N-iperbolico
(Fig. 12), con ε ∈ (1 , + ∞) e tan −1 (b /a ) < φ 1 < φ 2 < 2 π − tan −1 (b /a ) .
Dall’Eq. (74) e, ancora, dall’integrale IG-11 in Esercizi di Calcolo Integrale, si trova
Fig. 12
φ
a 2 (ε 2 − 1)2 ⌠ 2
dφ
Ah =

2
8
⌡φ 1 (1 + ε cos φ )
φ2
φ

a 2 (ε 2 − 1)2 
ε sin φ
1 ⌠ 2
dφ
=
− 2
 2


 (ε − 1) (1 + ε cos φ ) φ ε − 1 ⌡φ 1 1 + ε cos φ 
8
1


φ2
 (ε 2 − 1)1 / 2 tan (φ /2) + ε + 1 
a 2 (ε 2 − 1)  ε sin φ
1
=
−
ln 

8
 1 + ε cos φ φ 1 (ε 2 − 1)1 / 2  (ε 2 − 1)1 / 2 tan (φ /2) − ε − 1 

1  b 2c
sin φ
 b tan (φ /2) + a + c  
=
⋅
− ab ln 


2  a a + c cos φ
 b tan (φ /2) − a − c  
φ2

 =…

φ1 
φ2
,
(78)
φ1
essendo, al solito, c 2 = a 2 + b 2 = a 2ε 2 e, ancora, formalmente, λ = 2b 2 /a .
●
Infine, il calcolo dell’area di un settore N-parabolico (Fig. 13), per il quale ε = 1 , discende
direttamente dalle Eq. (75), (75.3) e dall’integrale IG-4 in Esercizi di Calcolo Integrale:
Ap =
λ p2 ⌠ φ

8 ⌡φ 1
2
λp
dφ
=
2
16
(1 + cos φ )
2
1

3
 tan (φ /2) + (tan (φ /2)) 
3


φ2
(79)
φ1

1 
1

≡
1 + ( tan (φ /2))2  tan (φ /2) 
2 
64η  
3


φ2
.
φ1
(79.1)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
33
Fig. 13
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
34
Applicazione 2 – La lunghezza di un arco di N-sezione conica
Anche la lunghezza Lγ di un arco γ di linea piana generalmente regolare (i.e., γ ∈ C 1 a tratti) è
di interesse fondamentale in vari modelli della Fisica Classica, e.g., nella Dinamica Newtoniana
delle orbite soggette a forze centrali di intensità dipendente dal reciproco del quadrato della
distanza dal centro di forza, r − 2 , e in problemi svariati di Elettromagnetismo.
≡ γ (Fig. 14), sotteso da un N-settore convesso (i.e., ϕ ∈ [ 0, π ] )
La rettificazione di un arco AB
di una sezione conica qualsiasi, richiede un calcolo un po’ più impegnativo di quello areale per le
due sezioni coniche a-centro, l’ellisse e l’iperbole, con il ricorso alle Funzioni integrali Ellittiche
di Legendre di 1.o e di 2.o tipo.
Fig. 14
L’espressione analitica generale esatta di Lγ ( γ ∈ C
∫ φ ( ( ρ (φ ))
φ2
Lγ =
2
1
a tratti) è, in coordinate polari,
+ ( ρ ′(φ ))2 ) d φ .
1/ 2
(80)
1
●
Nel caso sia di una N-ellisse che di una N-iperbole, si calcola, dall’Eq. (80),
Le \ h
φ2
φ1
λ e \ h ⌠ φ (ε 2 + 1 + 2 ε cos φ )1 / 2
λe\h
dφ ≡
I (φ )

2
(1 + ε cos φ )
2 ⌡φ
2
2
=
φ2
φ1
(81)
1
in modo formalmente identico per entrambe le coniche, dall’Eq. (70), con λ e \ h = a |1 − ε 2| .
Il calcolo di I (φ )
ξ
0
è sviluppato, e.g., dall’autore in: Esercizi di Calcolo Integrale, IE-10.
Applicando quel risultato all’Eq. (81) due volte, si trova
Le \ h
φ2
φ1
=
λe\h
2
I (φ )
φ2
φ1
≡
λe\h
2
(I (φ )
φ2
0
− I (φ )
φ1
0
)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
λe\h 
φ 2 /2
φ 2 /2
1
1

1/ 2
R
(
φ
)
−
R
(
φ
)
−
Λ
(
ψ
)
d
ψ
+
Λ −1 / 2(ψ ) dψ 
2
1
∫
∫

φ
φ
2
2
/
/
ε −1 1
ε +1 1
2 

2
1/ 2
2
1/ 2
ε λ e \ h  (ε + 1 + 2 ε cos φ 2 ) sin φ 2 (ε + 1 + 2 ε cos φ 1 ) sin φ 1
=
−
−

↲
2 (ε 2 − 1) 
1 + ε cos φ 2
1 + ε cos φ 1
1
1



−  1 +  ( E (φ 2 /2, k ) − E (φ 1 /2, k ) ) +  1 −  ( F (φ 2 /2, k ) − F (φ 1 /2, k ) )  ,
↳ 
ε
ε


=
35
(82)
essendo, qui, k := 2 ε 1 / 2 /(ε + 1) ∈ [ 0, 1] ∧ ψ := φ /2 , con φ ∈ [ 0, π ] per X - simmetria assiale.
F ed E rappresentano le Funzioni Ellittiche di Legendre in forma integrale-goniometrica,
rispettivamente, di 1.o e di 2.o tipo. Espresse sinteticamente, mediante il Simbolo Λ ≡ Λ (φ ) di
Gudermann (†), si scrivono:
F (ξ , k ) :=
E (ξ , k ) :=
∫
∫
ξ
0
ξ
0
Λ −1 / 2 (φ ) d φ ≡
Λ 1 / 2 (φ ) d φ ≡
∫
∫
ξ
0
ξ
0
(1 − k 2 ( sin φ )2 ) −1 / 2 d φ ,
(83.1)
(1 − k 2 ( sin φ )2 )1 / 2 d φ .
(83.2)
Come funzioni integrali, F ed E dipendono entrambe dall’estremo superiore di integrazione,
l’amplitudine ξ , e sono caratterizzate dal parametro k ∈ C ( |k | < 1 ), il modulo.
Sia F (ξ , k ) che E (ξ , k ) risultano rappresentabili in serie in un intervallo compatto opportuno
[ 0 , ξ ] espandendo le potenze binomiali integrande rispettive vs. la variabile |k |2 ( sin ϕ )2 ≤ 1 e,
quindi, integrando termine-a-termine. La condizione |k | < 1 , richiesta dalla Teoria, è verificata,
qui, dalla disuguaglianza elementare
4ε
4ε
≡
< 1.
2
(ε + 1)
(ε − 1)2 + 4 ε
Le espansioni in serie reali (convergenti uniformemente in [ 0 , ξ ] ⊆ [ 0 , π /2 ] ) sono (†)
+∞
F (ξ , k ) = ξ + ∑
n =1
+∞
E (ξ , k ) = ξ − ∑
n =1
(2 n )!
S2n (ξ ) k 2n ,
(2 n n !)2
(84.1)
(2 n )!
S2n (ξ ) k 2n .
(2 n − 1) (2 n n !)2
(84.2)
Il termine generale di entrambe le serie (84.1) e (84.2) contiene la somma 2 n - sima di Wallis
(John, 1616-1703), S2n (ξ ) , facilmente esplicitabile per-parti iterativamente:
S2n (ξ ) :=
∫
ξ
0
( sinη )2n dη = −
1
2n − 1
(cos ξ ) ⋅ ( sin ξ )2n − 1 +
S2(n − 1) (ξ ) = …
2n
2n
n −1

(2 n )! 
1
(2 r r !)2
= n 2  ξ − ( sin 2 ξ ) ∑
( sin ξ )2r 
(2 n !) 
2
r = 0 (2 r + 1)!

r
n −1

1   2n 
( − 1)  2n 
sin (2 (n − r ) ξ )  .
= 2n    ξ + (− 1)n ∑


r 
2  n 
r =0 n − r 

(n ∈ Z + )
(85.1)
(85.2)
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
●
36
Il calcolo della lunghezza di un arco N-parabolico in coordinate polari si rivela notevolmente
più semplice di quello ellittico\iperbolico. Eseguendo la trasformazione
1 + cos φ ≡ 2 (1 + cos φ )/2 = 2 (cos (φ /2))2 := 2 (cosu )2 ,
i.e., con u := φ /2 , si ottengono d φ = 2du e (1 + cos φ )3 / 2 = 2 3 / 2 (cosu )3 .
Iniziando dalla forma specifica dell’Eq. (80), dedotta dall’Eq. (75), si scrive
Lp
φ2
φ1
=
=
=
λp 2 ⌠ φ
2
dφ

3/2
⌡φ 1 (1 + cos φ )
λ p ⌠ 2u
2

2 ⌡2u 1
λp 
2u 2

2  ∫ 2u 1

2
λ par ⌠ 2 (cos u )2 + ( sin u )2
du
du
≡

2 ⌡2u 1
(cos u )3
(cos u )3
2u
2u 2
1
⌠


sec u du + 
( sin u ) ⋅ d 
.
2 
⌡ 2u 1
 2 (cos u )  
Quindi, mediante l’integrale IG-2 (Esercizi di Calcolo Integrale) e un’integrazione per-parti
evidente, ancora con φ ∈ [ 0, π ] per X - simmetria assiale, risulta,
Lp
φ2
φ1
=
λp
4
( ln ( tan (φ / 4 + π / 4)) + tan (φ /2) ⋅ sec (φ /2))
φ2
φ1
.
(86)
■■■
____________________
( †)
Si veda, dell’autore, Esercizi di Calcolo Integrale, IE, Introduzione, Eq. (4.1) e (4.2).
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
37
APPENDICE
Come si è mostrato, le trasformazioni isometriche piane elementari, la riflessione, la traslazione e
la rotazione, possono riguardare le sezioni coniche per la loro riduzione a forme più maneggevoli
o per operazioni di simmetria specifiche. Poi, la necessità di ripristinare la rappresentazione
geometrica iniziale conduce a operazioni di inversione delle trasformazioni iniziali.
Qui di seguito, sono dettagliati alcuni metodi matriciali elementari per la manipolazione delle
trasformazioni isometriche affini più frequenti e per la loro inversione. Esse, trovano impiego nella
Cristallografia e nelle modellizzazioni reticolari variamente ricorrenti, dalla Fisica (dello Stato
Solido, Molecolare, della Struttura Nucleare, etc.) alla strutturistica microscopica della Meccanica
del Continuo (elasticità, plasticità, dislocazioni, etc.) e della Scienza dei Materiali.
____________________
I.
INVERSIONE di una matrice (quadrata) reale
Sia A una (n × n ) - matrice (quadrata) con elementi tutti ∈ R e non-singolare (i.e., det A ≠ 0 ).
I.1 -
Il minore complementare Μ jk dell’elemento a jk di A (j , k = 1, 2, … , n ) è il determinante
della matrice di ordine n − 1 estratta da A sopprimendone la j - esima riga e la k - esima
colonna. Il numero di tali determinanti ottenibili variando i valori degli indici j e k in modo
indipendente è n 2 .
I.2
- Il co-fattore (o complemento algebrico) Α jk dell’elemento a jk di A è il numero
Α j k := ( − 1) j + k Μ j k ,
coincidente_con od opposto_a Μ
I.3 -
jk
(A.1)
secondo che j + k è pari o dispari.
La matrice inversa A − 1 della matrice A è data da
A −1 =
1
A†,
det A
(A.2)
dove A † , detta matrice aggiunta della matrice A , è la (n × n ) - matrice trasposta della
matrice degli n 2 co-fattori (complementi algebrici) di A :
A † := ( Α jk ) ≡ ( Αkj )
T
 Α11

 Α12
≡  Α13

 ⋮
 Α1n

Α21
Α22
Α23
Α31 … Αn 1 
Α32 … Αn 2 
…
Αn 3  .
⋮
Α 2n
Α 3n

⋮ 
… Αnn 
(A.2.1)
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
II.
L’AFFINITÀ INVERSA generica in R
38
2
Data l’affinità piana generica
 u = ax + by + p
,
 v = cx + dy + q
Ω: 
(A.3)
qui indicata convenzionalmente come diretta, avente rappresentazione matriciale
 u   a b  x   1 0  p 
x 
p
x   p 
  =
  + 
  ≡ A   + I   ≡ A   +   ,
 v   c d  y   0 1  q 
y 
q 
y  q 
(A.3.1)
per la quale, sia ∆ := det A ≠ 0 (i.e., A sia non-singolare), la matrice dei coefficienti dell’affinità
inversa Ω − 1 si scrive (v. Eq. (A.2))
−1
A
−1
a b 
1  d − b   d /∆ − b / ∆ 
≡
≡
.
 = 
∆  − c a   − c /∆ a /∆ 
c d 
(A.4)
Quindi, dal sistema (A.3), ponendo
 ax + by = u − p := s
,

 cx + dy = v − q := t
segue l’uguaglianza matriciale
x 
s 
A − 1 A   = A −1  
y 
t 
o, in forma equivalente,
 x  1  d −b  s 
  = 
  ,
 y  ∆  − c a  t 
corrispondente al sistema inverso di equazioni lineari
d
b
d
b

 x = ∆ s − ∆ t ≡ ∆ (u − p) − ∆ (v − q )
.

 y = − c s + a t ≡ − c (u − p ) + a (v − q )

∆
∆
∆
∆
Pertanto, quest’ultimo definisce l’affinità inversa cercata,
d
b
d p − bq

x = u− v−


∆
∆
∆
Ω −1 := 
,
 y = − c u + a v − aq − cp

∆
∆
∆
(A.5)
la cui rappresentazione matriciale si scrive
 ∆ x /∆ 
x 
1  d − b   u  1  1 0   ∆x 
−1  u 
  = 
  − 
  ∆  ≡ A   −  ∆ /∆  .
 y  ∆  −c a   v  ∆  0 1   y 
v   y 
I numeri ∆x =
p b
e ∆y =
a p
provengono da ∆ ≡
a b
(A.5.1)
p
, sostituendovi la colonna   dei
q d
c q
c d
q 
termini traslazionali in Ω alle colonne dei coefficienti delle incognite x e y , rispettivamente.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
39
III. TRASLAZIONE da un vecchio a un nuovo
sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy sia considerato come primitivo.
Secondo la terminologia convenzionale, si intende come traslazione diretta lo spostamento finito e
rettilineo, di vettore rappresentativo O − O ' = r0 ≡ (x 0 − 0; y 0 − 0) ≡ (x 0 ; y 0 ) assegnato, che porta
il sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy , a sovrapporsi rigidamente a un certo sistema
di riferimento cartesiano ortogonale uO ' v , i.e., xOy ֏ uO ' v .
Le equazioni di traslazione diretta (di sistema di riferimento) sono espresse dall’affinità
 x = u + x 0 ≡ x (u , v )
,

 y = v + y 0 ≡ y (u , v )
(A.6)
e sono equivalenti alla trasformazione-identità, posta in forma matriciale ortogonale,
x 
u 
  = T (r0 )   :=
y 
v 
u + x 0   1 0  u   x 0 
I
 =
  +   .
 v + y 0   0 1   v  y 0 
(A.6.1)
Analogamente, la traslazione inversa (di sistema di riferimento) uO ' v ֏ xOy , di vettore − r0 ,
corrisponde all’affinità, inversa della (A.6), corrispondente all’Eq. generale (A.5),
 u = x − x 0 ≡ u (x , y )
.

 v = y − y 0 ≡ v (x , y )
(A.7)
L’affinità (A.7) equivale alla rappresentazione matriciale ortogonale, inversa della (A.6.1),
u 
u 
x 
−1
  = T ( − r0 )   ≡ T (r0 )   :=
v 
v 
y 
x − x 0  1 0x  x 0 
I
 = 
  − y  .
y
y
−
0
1
0


y   0 


(A.7.1)
Entrambe le traslazioni di sistema di riferimento (A.6.1) e (A.7.1) sono rappresentabili come
traslazioni puntuali (i.e., come modificazioni delle coordinate cartesiane): la prima, di vettore
− r0 ≡ ( − x 0 ; − y 0 ) , del vecchio punto (x ; y ) nel nuovo punto (u ; v ) , i.e., dall’Eq. (A.7.1),
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
 x − x 0   1 0  x   x 0 
x 
u 
≡
֏
I

 =
 
 
  −   ;
y 
v 
 y − y 0   0 1  y   y 0 
40
(A.8)
la seconda, di vettore r0 ≡ (x 0 ; y 0 ) , del nuovo punto (u ; v ) nel vecchio punto (x ; y ) , i.e., dall’Eq.
(A.6.1),
 u + x 0   1 0  u   x 0 
u 
x 
  ֏   ≡ Iv + y  = 
  +  y  .
v
y
0
1
0
 
 
 v   0 

 
(A.9)
■
IV. ROTAZIONE rigida piana da un vecchio a un nuovo
sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy sia considerato come primitivo.
La posizione dell’estremo P del vettore P − O = r ≡ (x − 0; y − 0) ≡ (x ; y ) genera, vs. l’origine
O , la coppia di misure di segmenti orientati (i.e., ⋚ 0 )
 OM = ON − MN = OQ cos ϕ − PQ sin ϕ
.
(A.10)
  MP = MR + RP = OQ sin ϕ + PQ cos ϕ
In forma algebrica standard, essendo P = (x ; y ) in xOy , le Eq. (A.10) corrispondono all’affinità
 x = u cos ϕ − v sin ϕ ≡ x (u , v )
.

 y = u sin ϕ + v cos ϕ ≡ x (u , v )
(A.11)
Convenzionalmente, esse esprimono, la rotazione rigida intorno a O , di ampiezza ϕ ( ⋚ 0 ), che
porta il sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy a sovrapporsi rigidamente a un certo
sistema di riferimento cartesiano ortogonale uOv , i.e., xOy ֏ uOv .
L’affinità (A.6) equivale alla trasformazione espressa dall’equazione matriciale ortonormale
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
x 
u 
  = R (ϕ )   :=
y 
v 
 cos ϕ − sin ϕ  u 

  .
 sin ϕ cos ϕ  v 
41
(A.11.1)
Analogamente, la rotazione intorno a O inversa della precedente, di ampiezza − ϕ , è intesa,
convenzionalmente, quella di sistema di riferimento uOv ֏ xOy . Ad essa, corrisponde l’affinità
inversa della (A.11), corrispondente all’Eq. generale (A.5),
 u = x cos ϕ + y sin ϕ ≡ u (x , y )
.

 v = − x sin ϕ + y cos ϕ ≡ v (x , y )
(A.12)
L’affinità (A.12) equivale alla trasformazione espressa dall’equazione matriciale ortogonale
u 
x 
 x   cos ϕ sin ϕ  x 
−1
  = R ( − ϕ )   ≡ R (ϕ )   ≡ 
  .
v 
y 
 y   − sin ϕ cos ϕ  y 
(A.12.1)
inversa dell’Eq. (A.11.1).
Entrambe le rotazioni di sistema di riferimento (A.11.1) e (A.12.1) sono rappresentabili come
rotazioni puntuali intorno a O (i.e., come modificazioni delle coordinate cartesiane): la prima, di
ampiezza − ϕ , del vecchio punto (x ; y ) nel nuovo punto (u ; v ) , i.e., dall’Eq. (A.12.1),
x 
 u   cos ϕ sin ϕ   x 
  ֏  ≡
  ;
y 
 v   − sin ϕ cos ϕ   y 
(A.13)
la seconda, di ampiezza ϕ , del nuovo punto (u ; v ) nel vecchio punto (x ; y ) , i.e., dall’Eq. (A.11.1),
u 
 x   cos ϕ − sin ϕ   u 
  ֏  ≡
  .
v 
 y   sin ϕ cos ϕ   v 
(A.14)
Osservazioni
a.
Qualsiasi trasformazione geometrica reale, rappresentabile mediante una matrice ortonormale, A , i.e., tale che
det A = 1 (e.g., la traslazione, la riflessione assiale, la rotazione), ha la caratteristica seguente: A coincide con
la trasposta, A T , della sua (unica) inversa A − 1 , i.e., le righe dell’una vengono scambiate ordinatamente con le
colonne dell’altra. Nella rappresentazione formale delle matrici, da A T ≡ A − 1 , segue che A A T = A T A = I .
b.
Inoltre, vale un’altra proprietà evidente: a ogni trasformazione isometrica di sistema di riferimento ortogonale
corrisponde la trasformazione isometrica puntuale opposta (inversa) dell’insieme (luogo di punti) trasformato, e
viceversa.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
V.
42
RIFLESSIONE vs. una retta nel piano X ×Y
Proposizione
La riflessione di un insieme piano qualsiasi I ⊆ X ×Y rispetto a una retta r0 : y = mx , i.e.,
passante per l’origine, è rappresentabile mediante una riflessione dell’insieme rispetto all’asse X
seguita da una rotazione rigida di ampiezza 2 tan −1 m ( ⋚ 0 ) nel piano X ×Y . ▼
Verifica
Si procede costruttivamente, v. la Figura ↓ , dove m ≡ tan θ ∧ θ ∈ ( − π / 2, π / 2) .
Assegnato il punto generico A′′ , simmetrico del punto A vs. alla retta r0 , la trasformazione
considerata corrisponde alla somma vettoriale A′′ − A ≡ ( A' − A) + (A′′ − A' ) – i.e., della
riflessione puntuale vs. l’asse X , A ≡ (x ; y ) ֏ A' ≡ (x ; − y ) – e della rotazione puntuale
A' ֏ A" intorno all’origine O , di ampiezza (θ − α ) + (θ + α ) = 2θ ≡ 2 tan −1 m .
La rappresentazione cartesiana di tale rotazione rigida è, specificando l’ampiezza − ϕ ≡ 2 θ
nell’Eq. generale (A.13),
A' ≡ (x ; − y ) ֏ A′′ ≡ (u ; v ) ≡ (x cos 2 θ + y sin 2 θ ; − ( − x sin 2 θ + y cos 2 θ ))
≡ (x cos 2θ + y sin 2θ ; x sin 2θ − y cos 2θ )) .
Pertanto, la matrice di riflessione puntuale rispetto alla retta r0 ,
 1 − (tan θ )2
2 tan θ
−

2
1 + (tan θ )2
 cos 2θ − sin 2θ   1 0   1 + (tan θ )
S (m ) := 
=


1 − (tan θ )2
 sin 2θ cos 2θ   0 −1   2 tan θ

2
1 + (tan θ )2
 1 + (tan θ )
 1 − m2
 1 − m2
2m 
2m 
−



2
2 
2
1+m
1 + m 1 0   1 + m
1 + m2 

≡
,

 =
 2m
1 − m 2   0 −1   2m
1 − m2 
−




2
2
1 + m2 
1 + m2 
 1+m
 1+m


1 0 
  0 −1 


(A.15)
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
43
genera la riflessione puntuale ( det S (m ) = − 1 ⇒ isometria inversa!)
1−m2
2m
2m
1−m2 
+
−
(x ; y ) ֏ (u ; v ) = 
x
y
;
x
y .
2
1+m2 1+m2
1+m2 
1 +m
(A.16)
Lo schema rappresentativo della riflessione di I rispetto alla retta generica r passante per
O ' ≡ (x 0 ; y 0 ) ≠ (0; 0) e di coefficiente angolare m , si riporta facilmente a quello fondamentale
precedente. Infatti, osservato che la riflessione rispetto a una retta è un’isometria, i.e., è
geometricamente invariante rispetto alla rappresentazione rettangolare scelta, la trasformazione si
esprime come sovrapposizione della traslazione O ' − O ≡ r0 ≡ (x 0 ; y 0 ) e della riflessione puntuale
di I rispetto a r , di equazione y = m x nella rappresentazione del sistema di riferimento traslato
xO ' y , dove, (x ; y ) ≡ (x − x 0 ; y − y 0 ) :
0 + x 0 
x − x 0 
x 
u 
0
x 
  ֏   ≡ T (r0 )   + S (m )   ≡ I  0 + y  + S (m )  y − y 
0
0 
y 
v 
0
y 


x 0 
x 
= S (m )   + (I − S (m ))  
y 
y 0 
1 −m2
2m 
 2m 2
2m 
−



2
2 
2
1−m
1 − m x   1 − m
1 − m 2 x 0 

≡
  .
 +
 2m
y 0 
2m
2
1 − m 2 y  
−


−

2
2
1−m2 
1−m2 
 1−m
1 −m
(A.17)
Pertanto, la riflessione puntuale di I rispetto alla retta r : y = mx + q , con q ≠ 0 , non è che un
caso particolare della trasformazione puntuale (A.17), quello in cui (x 0 ; y 0 ) ≡ (0; q ) .
Infine, la rappresentazione della riflessione puntuale, inversa della (A.17) vs. r e inclusiva anche
della riflessione puntuale inversa della (A.15), si scrive, in modo prevedibile,
0 + x 0 
u + x 0 
u 
x 
0
u 
−1
−1
  ֏   ≡ T (r0 )   + S (m )   ≡ I  0 + y  + S ( − m )  v + y 
0
0 
v 
y 
0
v 


x 0 
u 
= S (− m )   + (S ( − m ) − I)  
v 
y 0 
 1−m2
2m 
 2m 2
2m 
−



2
2 
2
1+m
1 + m  u   1 + m
1 + m 2 x 0 

=
  ,
 −

2 y 0 
2m
1 − m 2   v   2m
−
−



2
2
1+m2 
+
m
1
1+m2 
1 +m

tenuto conto, cfr/c Eq. (A.10), che
1−m2
−1 
2
1 0   1 + m
−1
S ( − m ) ≡ S (m ) = 

 0 −1   2 m

2
1 +m
2m 
−

1+m2 
1−m2 

1+m2 
(A.18)
−1
, con
det S ( − m ) = 1 ( ⇒ isometria diretta!). La verifica con l’Eq. generale (A.5) è elementare.
■
Le SEZIONI CONICHE reali - Elementi e metodi operativi –
44
VI. La GLISSOSIMMETRIA
La glissosimmetria (~ glide-symmetry) puntuale è la trasformazione piana ottenuta sovrapponendo
una riflessione assiale puntuale e una traslazione puntuale parallela all’asse di simmetria.
L’asse di simmetria costituisce una direzione unita (quindi, invariante) rispetto alla trasformazione
glissosimmetrica. Evidentemente, anche il fascio improprio di rette al quale appartiene l’asse di
simmetria è unito, costituendo una classe di equivalenza. In tal senso, la retta di tale fascio
passante per l’origine viene assegnata come riferimento convenzionale per la traslazione nella
glissosimmetria.
Data l’occorrenza di una riflessione assiale e l’invarianza propria della traslazione associata, si
deduce che la glissosimmetria è una isometria inversa.
Se l’asse di simmetria ha coefficiente angolare m e se il vettore di traslazione assegnato viene
indicato come τ := τ x xˆ + τ y ˆy ≡ τ x xˆ + m τ x ˆy , allora, secondo la notazione dell’Eq. (A.17), la
glissosimmetria corrisponde alla trasformazione puntuale
0
(x ; y ) ֏ (xɶ; yɶ ) ≡ (u ; v ) + T (τ )   ≡ (u ; v ) + (τ x ; mτ x )
0
x 0   τ x 
x 
≡ S (m )   + (I − S (m ))   + 
.
y 
 y 0   mτ x 
(A.19)
Ovviamente (cfr/c l’Eq. (A.18)), la glissosimmetria puntuale inversa della (A.19) è esprimibile
come il vettore
0
(xɶ; yɶ ) ֏ (x ; y ) ≡ T ( − τ )   − (u ; v ) ≡ − (τ x ; mτ x ) − (u ; v )
0
x 0   τ x 
u 
≡ S (− m )   + (S ( − m ) − I)   − 
 .
v 
 y 0   mτ x 
(A.20)
La scrittura cartesiana esplicita delle equazioni vettoriali (A.19) e (A.20) è immediata e, con essa,
quella del sistema affine di equazioni corrispondente all’Eq. generale (A.5).
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